SE R IA V : D Y D A K T Y K A M A T E M A T Y K I 25 (2003)
Agnieszka Demby
Uniwersytet Gdański
Kształtowanie się umiejętności
przekształcania wyrażeń algebraicznych u uczniów w wieku 13-15 lat
W stęp
Celem tej pracy jest: po pierwsze charakterystyka uczniowskich umiejętno
ści przekształcania wyrażeń algebraicznych w dwóch kluczowych momentach szkolnej nauki algebry1, po drugie zaś dokonanie analizy porównawczej umie
jętności stwierdzonych w tych dwóch momentach nauki algebry. Opieram się tu na obszernym materiale empirycznym uzyskanym w trakcie dwuetapowych badań typu: test plus wywiad (łącznie dysponowałam 2400 pojedynczymi pi
semnymi przekształceniami dokonanymi podczas obu testów oraz swymi no
tatkami z uczniowskich opisów słownych około 1200 z owych przekształceń).
Umiejętności uczniów będę opisywać, używając terminów procedura ucznia i typ procedury; znaczenie tych terminów objaśnione jest w pracy (Demby, 2000b)2. W rozdziale 3 przypominam krótko charakterystykę ośmiu wyróżnio
nych w owej pracy typów procedur algebraicznych. Obecna praca poświęcona jest poszukiwaniu odpowiedzi na następujące pytania:
K o r e la c ja m ię d z y ty p a m i p ro c e d u r a ty p a m i zadań. Jakie typy procedur oraz jakie charakterystyczne procedury szczegółowe stosowane są przez uczniów przy przekształcaniu poszczególnych wyrażeń algebraicznych zamieszczonych w testach?
1 Za te kluczowe momenty przyjęłam: połowę klasy siódmej i koniec klasy ósmej. W io z-
dziale 2 uzasadniam taki wybór terminów badań.
2Niektóre dane dotyczące rozwoju procedur uczniowskich zostały już opublikowane w pia- cy (Demby, 1997).
Opracowanie przedstawionych tu badań było wykonane w ramach projektu badawczego finansowanego ze środków Komitetu Badań Naukowych, grant 2 P03A OdO 25.
R o z w ó j p r o c e d u r a lg e b ra iczn y ch . Czy w klasie ósmej uczniowie sto
sują te same typy procedur i z taką samą częstością, jak w klasie siódmej? Czy, w szczególności, procedury stosowane przy tych typach przekształceń, które powtórzyły się w teście dla klasy ósmej, są podobne do procedur stosowanych w klasie siódmej? Czy w okresie 15 miesięcy między testami procedury tych samych uczniów ewoluowały i - ewentualnie - w jakim kierunku?
1 Przegląd literatury
W przeglądzie badań zamieszczonym w pracy (Demby, 2000b) cytowałam wyniki uzyskane przez innych badaczy, iż co najmniej część uczniów stosuje przy przekształceniach algebraicznych swoje własne procedury, odmienne od sposobów, których uczyli się na lekcjach. Podobne zjawisko zaobserwowałam w czasie moich badań procedur uczniowskich.
Poniżej nawiązuję do niektórych z omawianych już publikacji z literatury, ale omawiam tylko te zagadnienia, które nie były poruszane w (Demby, 2000b).
Są to rozważania związane z problemem r o z w o j u procedur uczniowskich.
Ponadto odwołuję się do nowych prac na ten temat, które nie były omawiane w poprzedniej mojej pracy.
Należy podkreślić, że wszystkie omawiane prace zawierają jedynie dość ogólnikowe dane na temat procedur uczniów. W szczególności nie znalazłam nigdzie systematycznego opisu procedur stosowanych przez uczniów przy p o
szczególnych typach przekształceń algebraicznych (choćby niektórych wybra
nych), ani żadnych danych o tym, jak procedury t y c h s a m y c h uczniów zmieniają się w ich toku dalszej nauki algebry. Natrafiłam natomiast na poje
dyncze ślady rozważań związanych z problemem rozwoju algebraicznych pro
cedur uczniów.
Najbardziej zaskakujące były wnioski z badań, sformułowane przez człon
ków dwóch brytyjskich projektów: CSMP ( „Concepts in Secondary Mathema
tics and Science” — pojęcia w nauczaniu matematyki i przyrody w matema
tyce w szkole średniej) oraz SESM („Strategies and Errors in Secondary Ma
thematics” — strategie i błędy w szkole średniej); uwagi o procedurach uczniów znajdują się np. w pracach (Booth, 1981) oraz (Booth, 1983-1984). Badacze ci stwierdzili, że procedury algebraiczne badanych 13-latków, 14-latków i 15- latków (były to trzy różne grupy uczniów, a nie jedna grupa uczniów badana trzykrotnie) różnią się od siebie niewiele. W szczególności na każdym z tych poziomów zaobserwowali wiele dość prymitywnych procedur typu Konkrety
zacja, które prowadziły do sukcesu tylko w przypadku bardzo prostych prze
kształceń algebraicznych. Wyniki swoich badań interpretują oni zatem, jako
71 brak rozwoju procedur lub też jako ich nikły rozwój w kierunku procedur prowadzących do sukcesu w algebrze.
Z innych prac można jednak wnioskować o ewolucji procedur uczniowskich, przynajmniej u części uczniów. Pierwsza z nich to praca (Byers i Erlwanger, 1989), poświęcona roli pamięci w uczeniu się matematyki. Autorzy piszą tam m.in. o obserwowaniu charakterystycznych zmian w uczniowskich błędach.
Chodzi tu o zmiany pojawiające się pod wpływem uczenia się nowych za
gadnień z danej dziedziny. I tak, na przykład w przypadku nauki przekształ
ceń algebraicznych, błędy typu 2x -f 3x = 5x2 pojawiają się dopiero wtedy, gdy uczniowie rozpoczynają naukę mnożenia jednomianów. Byers i Erlwan
ger przypuszczają, że źródeł takich błędów należy szukać „w transformacjach pamięci i subiektywnej organizacji” , a błędy wynikają z „uczniowskich prób uproszczenia materiału matematycznego” . Piszą: „uczeń próbuje wprowadzić własną unifikację, spójność i zgodność w materiale, którego uczył się w różnych okresach, opierając się przy tym na hipotezach, które wydają mu się zarówno proste, jak i sensowne” . Opisane powyżej zachowania części uczniów określają oni mianem „fałszywych uogólnień” , jak również „wysiłkiem w poszukiwaniu znaczenia” .
Rozwój procedur uczniów sugeruje też praca (Aubree, 1985). Na podstawie analizy błędów uczniów przekształcających wyrażenia typu (a -f b)2, Aubree wyróżniła trzy modele k o n s e k w e n t n e g o postępowania uczniów (w tym dwa błędne). Autorka stwierdziła, że w następnym roku dostrzeżono postęp u uczniów, których błędy mieściły się w tych trzech modelach, a błędne modele stopniowo zanikały. W pracy tej odnajdujemy sugestie, że takie błędne modele wydają się być n a t u r a l n y m e t a p e m rozwoju u części uczniów.
Zbliżony wniosek odnaleźć można również w pracy Kirshnera z 1985 r. Ana
lizował on błędy popełniane przez uczniów rozpoczynających naukę algebry, przytoczone między innymi w pracach (Budden, 1972), (Davis, Mc Knight, 1979), (Laursen, 1978), (Matz, 1980), (Schwartzmann, 1977). Kirshner do
strzegł liczne przykłady stosowania tzw. „uogólnionego prawa rozdzielności”
(termin użyty przez Schwartzmanna, obejmujący błędy typu y/a+b = y/a-\- y/b itp.). Stwierdził, że niektórzy uczniowie osiągający sukces w przekształcaniu wyrażeń algebraicznych mają tendencję do przechodzenia przez fazę nadmier
nych uogólnień, zanim osiągną należytą biegłość w tym w rachunku.
W pracy (Ćwik, 1984) znajdują się dane, pozwalające pośrednio wniosko
wać o rozwoju procedur algebraicznych dziewięciu licealistów. W pracy tej, zawierającej mnóstwo znakomitego materiału empirycznego, można odnaleźć zestawienie zachowań tych samych uczniów w różnych momentach nauki prze
kształceń algebraicznych. Badania ćw ik były bowiem dwuetapowe (odbyły się w odstępie około dwóch tygodni). W pierwszym etapie badan, gdy stwierdziła
ona błędy w pracach pisemnych uczniów, przeprowadziła z nimi wywiady indy
widualne. Celem tych wywiadów było z jednej strony przekonanie się, czy obserwowane błędy są jedynie pomyłkami, czy przeciwnie — głęboko sięga
jącymi nieporozumieniami, z drugiej zaś uzmysłowienie uczniowi, że popełnił błąd oraz próba tego, by uczeń uświadomił sobie przyczyny tego błędu. W dru
gim etapie badań dziewięciu spośród badanych uprzednio uczniów, rozwiązy
wało nowe zadania, w których mieli okazję do popełnienia błędów omawianych w czasie wywiadów. Czterech uczniów nie popełniło już tych błędów, natomiast w pozostałych pracach pojawiły się one ponownie (wszystkie lub ich część), przy czym w dwóch, jak pisze autorka, „w sposób jaskrawy zmasowane” .
W czasie wywiadu przeprowadzonego w pierwszym etapie badań, Ćwik próbowała uzmysłowić uczniowi jego błąd na dwa sposoby:
— zwracając uczniowi uwagę, że po podstawieniu wartości liczbowych do wyrażeń algebraicznych (stron napisanej przez niego równości) otrzymuje on różne wartości liczbowe tych wyrażeń, więc napisana przez niego równość jest fałszywa,
— nakłaniając ucznia do wyciągnięcia wniosków ze szkolnych definicji lub twierdzeń, a następnie do uznania cytowanego przez niego uprzednio twier
dzenia za fałszywe, z uwagi na sprzeczność z dedukcyjnie wyciągniętymi wnio
skami.
W przypadku pięciu uczniów oba te sposoby okazały się mało skuteczne.
Czasem widać to już było na etapie wywiadu (kłopoty ucznia ze zrozumieniem swych błędów), czasem ujawniało się dopiero poprzez błędy popełnione na dru
gim etapie badań. Autorka pisze, że u takich uczniów dochodzi do zautomaty
zowania pewnych złych nawyków, na przykład „automatyzmu rozdzielności” . Analizując badania Ćwik z punktu widzenia rozwoju procedur uczniów (te dwa etapy badań dzielił co prawda bardzo krótki odstęp czasu), zwróciłam uwagę na dwa fakty: (i) w kilku przypadkach interwencja prowadzącej wywiady wpłynęła na korzystną zmianę w procedurach uczniów, (ii) u pozostałych osób użyte argumenty nie wyeliminowały błędów (zapewne przyczynił się do tego również fakt, że była wówczas tylko jedna taka interwencja); nie wiadomo przy tym, czy interwencja ta wpłynęła na zmianę ich procedur.
Ćwik interpretuje zachowania uczniów, popełniających liczne błędy w ra
chunku algebraicznym, jako przejaw tzw. „zdegenerowanego formalizmu” ; jest to termin wprowadzony przez Krygowską, pisałam o tym w (Demby, 2000b).
Tego typu interpretacja (patrz też (Turnau, 1990)) stała się pewną tradycją polskich publikacji na temat uczniowskich błędów w algebrze. Do pełniejszej analizy problemu rozwoju procedur uczniowskich w kontekście pojęcia „zde
generowanego formalizmu” wrócę w końcowej części tej pracy.
73 Na zakończenie przyjrzyjmy się jeszcze dokładniej poglądom na temat tego, w jaki sposób należy kształtować u uczniów umiejętności przekształcania wy
rażeń algebraicznych. W polskiej metodyce nauczania algebry z lat 1949-1990, opisanej np. w pracy (Demby, 2000a), eksponowano naukę dedukcyjnego wnio
skowania z tzw. podstawowych własności działań, tj. przemienności dodawa
nia i mnożenia, łączności dodawania i mnożenia oraz rozdzielności mnożenia względem dodawania.
Również Krygowska i Ćwik podkreślają kluczową rolę korzystania ze zna
nych twierdzeń i definicji oraz dedukcji przy kolejnych krokach przekształcenia oraz — w przypadku błędów — poszukiwania sprzeczności z tymi twierdze
niami (przykładem są opisane powyżej zabiegi Ćwik w czasie wywiadów, słu
żące uzmysłowieniu uczniowi jego błędu). Ponadto Krygowska, Ćwik i Turnau wielokrotnie podkreślają potrzebę powrotu do tzw. intuicyjnego rozumienia obiektów i operacji, czego przykładem może być kontrolowanie poprawności wykonywanych przekształceń za pomocą podstawiania wartości liczbowych za
zmienne. . ( ,
Fischbein >.(1994) także^ podkreśla rolę wnioskowania z definicji i twierdzeń.
Uważa on wręcz, że aby przezwyciężyę błędy (takie jak np. błędne ^upraszczanie ułamka algebraicznego), uczeń musi zrozumieć formalne po,dstawy (definicje 1 twierdzenia), z których wynika poprawność stosowanych algorytmów.
2 Zadania użyte w biadaniach , ( ;
Szczegółowy opis organizacji badań i charakterystyka badanych uczniów znajduje się w pracy (Demby, 2000b); w tej prący kontynuuję analizę mate
riału empirycznego, otrzymanego w czasie tych samych badań. Przypomnę jedynie, że dwukrotnie (.w połowie klasy siódmej orąz,.;na koniec klasy ósmej)
. . > ••Kil , # , r • • • • -I • •« /' ' O O - i -'■ > • . •
uczniowie czterech badanych klas pisali test. Następnie z około połową piszą
cych przeprowadziłam wywiady indywidualne (w .klasie ósmej rozmawiałam z tymi samymi osobami, co w klasie siódmej); rozmawiałam o każdym z wy
rażeń zamieszczonych w teście i pytałam ucznia, jak doszedł do swego wyniku
z pracy pisemnej i Vv( .> s
i T e r m in y b a d a ń w y b r a ła m tak, b y b y ły t o k lu cz o w e n^om enty w tra k cie na
uki a lg e b r y w ó w c z e s n e j szk ole p o d s ta w o w e j (o b o w ią z y w a ł w te d y je s z c z e je d e n ce n tr a ln y p r o g r a m n a u c z a n ia m a te m a ty k i). K o n ie c k lasy ó sm e j b y ł je d n o c z e śnie k o ń c e m n a u k i a lg e b r y w szk ole p o d s ta w o w e j. P o ło w a k la s y sió d m e j b y ła n a to m ia s t m o m e n t e m p r z e ło m o w y m w n a u ce a lg e b ry w szk ole p o d sta w o w e j.
K o ń c z y ła się b o w ie m w te d y , m o c n o ro z c ią g n ię ta w cza sie, nauk a w z g lę d n ie p r o s ts z y c h t y p ó w p r z e k s z ta łc e ń a lg e b ra icz n y ch , w sz cz e g ó ln o ś c i d z ia ła ń n a je d -
nomianach wraz z zastosowaniem redukcji wyrazów podobnych (początek na
uki przekształceń algebraicznych przypadał na koniec klasy piątej). Natomiast od drugiego semestru klasy siódmej dochodziły przekształcenia powszechnie uważane za dużo trudniejsze dla uczniów (np. wzory skróconego mnożenia), a zarazem nauka algebry stawała się znacznie bardziej intensywna.
Poniżej przypominam treści tych zadań z testów, które dotyczyły tożsa
mościowych przekształceń wyrażeń algebraicznych (tylko tymi zagadnieniami zajmuję się w obecnej pracy). Łatwo zauważyć, że przekształcenia wymagane w testach były na ogół dużo łatwiejsze od tych, które uczniowie — zgodnie z wymaganiami programu nauczania (IPS, 1984) — wykonywali na lekcjach szkolnych (np. w teście dla siódmoklasistów nie ma dodawania i odejmowania sum algebraicznych).
Test I (przeprowadzony w połowie klasy V II) Każde z poniższych wyrażeń napisz możliwie zwięźle:
(a) Qx 4- 3rr, (b) 6x • 3 x, (c) 3x — 62:, (d) 3rr • ( -6), (e) §x : 3, (0 —3 4- 62;, (g) 2a; 4 3 — 3x, (h) —x 4- 2 — x 2 4- 1, (i) (6x 4- 3rr)2 0) 2x2 — x — 5x2.
Test II (przeprowadzony w końcu klasy V III) Wykonaj działania:
(k) T to 00 (m) 2x : 8, (n) 8a:2 :: 2x,
(°) —2:c2 -f 8 — Sx — 4 x2, (P) (—4x 4- 3) 4- ( - 1 4- 2x),
(q) ( —4x 4- 3) — ( —1 4- 2rr), W ( - 4 x 4- 3 )(—1 4- 2x),
(s) —2(3x - 8), (t) 2x(3x — 8), (u) (3x -- 8 ) : 2 (v) 00 H 1 CM CS
(w) (8 - 2 x)2,
(y) (2x2 4- 5x) — 3x, (z) (12a:3 — x 2) — 3x{2x f l)(2a: -- 1 ) .
Pierwotnie zamierzałam w klasie ósmej zastosować test, który zawierałby wyrażenia tego samego typu, co test z klasy siódmej (z niewielkimi modyfi
kacjami, np. zmianą współczynników); ewentualnie mogłyby tam być jeszcze jakieś inne wyrażenia. Ułatwiłoby to przeprowadzenie różnorakich porównań osiągnięć uczniów, w szczególności śledzenie rozwoju procedur uczniowskich.
Jednak pod wpływem wyników sondażowych prób przeprowadzonych u ósmo
klasistów (próbnych wywiadów w jednej z klas, uczonej przeze mnie), posta
nowiłam odstąpić od tego zamiaru. Okazało się bowiem, że o ile półtora roku wcześniej uczniowie chętnie i szczegółowo opowiadali o tym, jak doszli np. do tego, że 6x i 3x to razem 9 x) to pod koniec klasy ósmej reagowali na prośbę objaśnienia takiego przekształcenia ze zniecierpliwieniem, a nawet agresją, na
75 przykład: Jak to dlaczego? Przecież to oczywiste, że 3 i 6 to 9.
Pod wpływem tych doświadczeń i przewidywanych kłopotów, postanowi
łam w teście dla klas ósmych zamieścić powtórnie tylko te typy wyrażeń z po
przedniego testu, które okazały się trudne dla uczniów, tj. te, w których prze
szło 30% uczniów nie udzieliło wtedy poprawnej odpowiedzi. Wskaźnik 30%
przyjęłam, kierując się zarówno doświadczeniem nauczycielskim (gdy trudno
ści z zadaniem miało powyżej 30% uczniów, to problem nie dotyczy wyłącznie najsłabszych uczniów, stale mających problemy z matematyką), jak i wyni
kami ilościowymi testu I (wybrane wyrażenia wyraźnie odróżniały się stop
niem trudności od tych, które postanowiłam pominąć). Te przekształcenia, których postanowiłam nie zamieszczać w formie osobnych zadań testu, nie zostały jednak całkiem pominięte; pojawiły się jako części składowe innych, bardziej złożonych przekształceń testu II.
W efekcie, przekształcenia zamieszczone w teście dla klasy ósmej były bar
dziej podobne — niż to uprzednio planowałam — do wyrażeń, którymi ósmo
klasiści zajmowali się na swoich lekcjach algebry. Jednocześnie przekształcenia te, z wyjątkiem ostatniego (z), były zdecydowanie łatwiejsze od tych, które wówczas tradycyjnie zamieszczano wśród zadań na egzaminach wstępnych do szkół średnich (uczniowie przystąpili do tego egzaminu w miesiąc po teście II).
3 Typy procedur uczniowskich
(A) Automatyzacja
Uczeń natychmiast podawał poprawny wynik przekształcenia i był bar
dzo zdumiony moim pytaniem o to, jak doszedł do wyniku z pracy pisemnej.
Odpowiadał zazwyczaj: To oczywiste lub Nie mam pojęcia, skąd to wiem?.
(W ) Wzory
Uczeń powoływał się na wzór zawierający z m ie n n e li t e r o w e , na przy
kład: Skorzystałem ze wzoru skróconego mnożenia na a minus b do kwadratu:
(a ~ b)2 = a2 - 2ab -f b2. Część przytaczanych wzorów była niepoprawna, na przykład: (a - b)2 =. (a - b ) ( a + b).
W przypadku, gdy uczeń podawał tylko słowny opis wykonywanej operacji, bez schematu ze zmiennymi literowymi, procedura ta nie była klasyfikowana jako typu (W ), tylko jako typu (R) Reguły. 3
3We wszystkich tych przypadkach obserwowałam adekwatność i trwałość sądu, jak rów
nież odporność na dysonanse poznawcze. Można zatem twierdzić, iż niektóre równości alge
braiczne, np. 3x + 6x — 9x, ukształtowały się już u tych uczniów jako idee głębokie w sensie (Semadeni, 2002). Procedury typu (A ) wskazywały na istnienie idei głębokich, których uczeń nie umie objaśnić.
A D (OP) Odgadywanie-Podstawianie
Uczeń miał pewien pomysł na to,.jak powinien wyglądać wynik wykonywa
nego przekształcenia lub próbował sobie przypomnieć, jaki był wynik takiego przekształcenia w czasie lekcji. Poprawność przewidywanego wyniku spraw
dzał przez podstawienie pewnej małej liczby naturalnej, czasem dwóch liczb, do wyjściowej wersji wyrażenia i do przewidywanego wyniku przekształcenia, a następnie porównanie wartości liczbowych obu tych wyrażeń.
(OR) Odgadywanie-Rozumowanie
Procedury tego typu przypominały procedury typu (O P): uczeń również miał pewien pomysł na to, jak powinięn wyglądać wynik wykonywanego prze
kształcenia, a następnie sprawdzał, czy to pasuje. Jednakże sprawdzanie było istotnie różne — polegało na przeprowadzeniu r o z u m o w a n i a , które posta
wioną hipotezę potwierdzało lub obalało. Takim rozumowaniem było zazwy
czaj sprawdzenie poprawności wykonanego dzielenia za pomocą odwrotnego mnożenia.
(PM) Przygotowawcza Modyfikacja
Uczeń zmieniał strukturę wyrażenia na bardziej elementarną lub łatwiej
szą do ogarnięcia (najczęściej była to postać sumy, iloczynu lub ułamka). Na przykład, uczeń wskazywał wyrażenie — 2x2 T 8 — Sx — 4 x2 w (o), mówiąc:
Zmienię to sobie na dodaiuanie i pisał —2x2 + 8 + ( —8x) + ( —4x2).
(K) Konkretyzacja
Uczeń wyobrażał sobie pewien model operacji, którą miał wykonać (czę
sto oparty na analogii; pojawiały się charakterystyczne zwroty, np. tak samo jak lub podobnie jak). Było to często odwołanie do związków z konkretnymi przedmiotami z codziennego życia, np. 6x i 3x to razem 9x, tak samo jak 6 jabłek i 3 jabłka to razem 9 jabłek lub traktowanie x jako czegoś konkretnego, bez odwoływania się explicite do zewnętrznych przedmiotów, np. 6 iksów i 3 iksy to razem 9 iksów.
(R) Reguły
Uczniowskie procedury klasyfikowałam jako procedury typu (R ), gdy speł
nione były następujące warunki: (i)
(i) uczeń powoływał się na regułę opisującą sposób przekształcania danego wyrażenia (mówiąc np. Jest taka reguła) i/lu b wskazywał (albo explicite, albo implicite) sposób wykonywania tego w taki sposób, że jasne było, jaka to reguła;
(ii) nie była to żadna procedura z typów (W ), (O P), (PM ), ani (K);
77 (iii) za każdym razem, gdy wyrażenie miało tę samą strukturę (różniło się co
najwyżej współczynnikami) uczeń stosował tę sa m ą r e g u ł ę lub było jasne, że choć wybiera inny sposób postępowania, to jest świadomy, iż
" poprzednia" reguła'daje się tu zastosować, tj. w zachowaniu ucznia nie można^było dostrzec jakiegokolwiek' braku konsekwencji (w przeciwnym przypadku'procedura'była zaliczana do typu (QR) Quasi-Reguly, opisa
nego poniżej). ' 1 •’ I’—- ' : ' ' •
Niektóre reguły! były prezentowane przez uczniów w tej samej postaci, w jakiej wcześniej formułowała to ich nauczycielka, np. Przy odejmowaniu sumy algebraicznej trzęba'przy'każdym‘z wyrazów tej sumy zmienić znak na przeciwny w (q) lub Na podstawie rozdzielności mnożenia względem dodawania przy mnożenm wielomianu prżeź 'jednomian' w' (t ). Jednakże bardzo często byłam przekonana, że sformułowania reguł cytowane przez uczniów pochodziły od nich samych, tfyło to zwłaszęza ewidęntne w przypadku reguł prowadzących do niepoprawnych wyników, na przykłaćł w przypadku (b): Mnożymy te liczby [uczeń wskazuje współczynniki cyfrowe jednomianów] i dopisujemy x.
(QR) Quasi-Reguly . . .
Ten typ procedury można scharakteryzować w następujący sposób: ucznio
wie cytowali regułę (lub łatwo było ją zidentyfikować po wysłuchaniu wyja
śnień), lecz byli n i e k o n s e k w e n t n i.
Na przykład, mając do czynienia z wyrażeniem — 2x2 + 8 — 8x — 4x2 w (o), uczeń mówił': Najpierw trzeba obliczyć potęgę i zastępował pierwszy wyraz
—2x2 przez 4x2; chwilę później przepisywał ostatni wyraz —4x2 (bez „ob
liczenia potęgi” ). Inny uczeń, pracując nad przekształceniem — 4x T 5 T 3x, wyjaśniał: Można redukować tylko —4x 'z 3x, bo 5 nie jest do nich podobne i zajraz po dodaniu —4x do 3x „upraszczał wyrażenie do końca” , „dodając”
do otrzymanej sumy jeszcze 5.
Niektórzy-uczniowie, jak się zdawało, kierowali się przy swych decyzjach tzw. atraktorami ( „przyciągaczami uwagi” ), tj. gdy widzieli obok siebie np.
8 i —8, to „kasowali” to, nie zwracając uwagi na strukturę całego wyrażenia algebraicznego.
4 Procedury stosowane przez uczniów przy prze
kształceniach z testu I
Informacje na temat względnej częstości występowania poszczególnych ty
pów procedur przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych z testu I, można odczytać z diagramu 1. Zaznaczam, że zarówno u siódmoklasistów, jak i u ós
moklasistów, procedury rzadko występowały w postaci czystej, tj. przy prze
kształcaniu jednego wyrażenia uczeń zazwyczaj stosował dwa lub trzy typy procedur. Na przykład w przypadku przekształcenia (g) uczeń mógł stosować procedurę typu (K) przy rozróżnianiu wyrazów podobnych, następnie proce
durę typu (PM ) przy zamianie danego wyrażenia na sumę, w końcu procedurę typu (R) przy zastępowaniu wyrazów podobnych przez ich sumę.
(a) (b)
(c )
(d )
(e)
(f)
(g)
(h )
(j)
0)
D ia g r a m 1. Częstości występowania poszczególnych typów procedur przy wykony
waniu przez uczniów przekształceń algebraicznych z testu I.
Kolejne odcinki na dolnej poziomej linii diagramu przedstawiają poszczególne typy uczniowskich procedur. W kolumnie powyżej takiego odcinka odczytać można informacje na temat tego typu. Poziomy wyróżnione na linii pionowej z lewej strony diagramu - to kolejne przekształcenia z testu I; odpowiadające im rzędy poziome zawierają informacje o częstości typów procedur stosowanych przez uczniów przy tych przekształceniach.
Podwójna linia „ = ” oznacza, że dany typ jest dominujący (dla przekształce
nia wskazanego z lewej strony). Linia ciągła „--- ” oznacza typ, który występował często, lecz nie był dominujący. Linia kropkowana „... ” oznacza typ, który poja
wiał się tylko sporadycznie. Wolna przestrzeń oznacza, że dany typ w ogóle nie został zaobserwowany.
79 U siódmoklasistów nie zaobserwowałam ani procedur typu (W ), ani typu (A )4. Bardzo rzadko stosowane były procedury typu (OR) oraz (OP); po
jawiły się one sporadycznie i wyłącznie w przypadku pojedynczych działań na jednomianach. Z racji wyjątkowo rzadkiego występowania tych procedur, w tym rozdziale nie będę ich dodatkowo opisywać (scharakteryzowałam je w rozdziale 3).
Poniżej omówię szczegółowe procedury stosowane przez uczniów przy po
szczególnych wyrażeniach z testu I. Ograniczę się tu tylko do procedur typów (R), (Q R ), (K) i (PM ).
Pojedyncze działania na jednomianach: dodawanie i odejmowanie jednomianów podobnych, mnożenie jednomianów, mnożenie i dzie
lenie jednomianu przez liczbę (wyrażenia (a) —(e))
Dominowały tu procedury typu (R ), podobnie zresztą, jak w przypadku każdego z wyrażeń testu. Dla dodawania i odejmowania jednomianów ucznio
wie najczęściej formułowali je w następujący sposób: W dodawaniu dodaję te liczby [uczeń wskazuje współczynniki jednomianów w (a)] i spisuję iks.
Przy mnożeniu jednomianów w (b) najczęściej formułowano podobną re
gułę tyle, że tym razem prowadziła ona do błędnego wyniku: Mnożymy współ
czynniki i dopisujemy iks. Natomiast do poprawnego wyniku (dużo rzadsza sytuacja) prowadziła reguła: Liczby się mnoży przez siebie, a iks przez iks.
Przy mnożeniu jednomianu przez liczbę (wyrażenie (d)) do potencjalnie5 poprawnego wyniku prowadziła reguła: Mnożę te liczby [uczeń wskazuje liczby 3 i -6 w (d)] i dopisuję iks; w mnożeniu nie muszą być wyrazy podobne. Analo
giczna reguła dla dzielenia stosowana była w (e). Jednak dużo częściej ucznio
wie podawali błędną regułę: To nie są wyrazy podobne, nie da się tego wykonać.
Przy wyrażeniach (a) i (c) sporadycznie napotkałam też procedury typu (Q R). Natomiast nie zaobserwowałam procedur typu (Q R) przy wyrażeniach związanych z mnożeniem i dzieleniem jednomianu przez liczbę oraz z mno
żeniem jednomianów, ale być może wynikło to z budowy wyrażeń użytych w teście — te działania nie pojawiły się w dalszej części testu, stąd trudno było śledzić konsekwencję w stosowaniu odpowiednich reguł uczniowskich.
Stosunkowo często spotykałam też procedury typu (K), zwłaszcza w przy
4Badani uczniowie nie znali jeszcze wówczas wzorów skróconego mnożenia. Przy prze
kształcaniu wyrażenia (a) kilku uczniów co prawda natychmiast podało poprawne wyniki, twierdząc na przykład P o prostu wiem, że to jest 9x, ale poproszeni o uzasadnienie zapre
zentowali procedurę typu (R ), (K ) lub (PM ); można było odnieść wrażenie, że byli jakby na pograniczu Automatyzacji.
5Mimo obiecującej i konsekwentnie stosowanej procedury wielu uczniów nie dochodziło do poprawnego wyniku. Najczęstszą przyczyną były duże kłopoty z poprawnym wykonaniem rachunków zwłaszcza, gdy pojawiały się w nich liczby ujemne.
80
padku dodawania i odejmowania jednomianów oraz dzielenia jednomianu przez liczbę. Uczniowie najczęściej następująco objaśniali swoje przekształcenie (c):
Mam trzy iksy, mam zabrać sześć iksów. , . Brakuje więc trzech iksów. . . Bę
dzie: minus trzy iks, W przypadku wyrażenia (e) mówili: To tak jakby sześć jabłek podzielić na trzy c z ę ś c i... To będzie po dwa ja b łk a ... Czyli sześć iks podzielić na trzy . . . będzie dwa iks.
Takie próby Konkretyzacji spotykałam też w przypadku wyrażeń (d) i (b), ale były one nieadekwatne do budowy rozważanego wyrażenia, zatem nie pro
wadziły do poprawnego wyniku. Np. w przypadku (d) „przeszkadzała” ujemna liczba. Pewien uczeń twierdził na przykład: Gdyby były trzy iksy razy sześć, to by się dało zrobić, byłoby osiemnaście iksów, a tak nie da się. Inni uczniowie uparcie „nie dostrzegali” minusa w zapisie, traktowali wyrażenie, jakby było postaci 3rr - 6; gdy zwracałam na to uwagę, nadal nie reagowali lub odpowiadali pytaniem: Mam dopisać ten minus do wyniku?
Przy przekształcaniu wyrażeń (a )-(e) często pojawiały się procedury typu (PM ). Czasem zapisywano 6x + 3x w postaci x -\ -x + x + x -\ -x + x X+x-\-x, wyrażenie 3x — 6x w postaci 3x + ( —6rrr), a wyrażenie 6x : 3 w postaci 6x • Często wpisywano wszystkie kropki (znaki mnożenia), tj.
6x ■ 3x = 6 • x ■ 3 • x lub 3x • ( —6) = 3 • x • ( —6).
Redukcja wyrazów podobnych w wielomianach pierwszego i dru
giego stopnia (wyrażenia (f) — (h) oraz (j)) ,
Przy wykonywaniu tych przekształceń znów dominowały procedury typu (R). Reguły te formułowano zazwyczaj następująco: Wolno dodawać tylko wy
razy podobne, zawsze tak robimy, a następnie: Wyrazy podobne to albo same liczby, albo liczby z iksami. Dla wielomianów pierwszego stopnia reguły te po
tencjalnie prowadziły do poprawnych wyników (popełniano co najwyżej błędy rachunkowe przy dodawaniu liczb ujemnych). W przypadku wielomianów stop
nia drugiego niektórzy uczniowie, stosując powyższą regułę na rozróżnianie wyrazów podobnych, „redukowali” jednomiany stopnia 1 z jednomianami stop
nia 2. Jeden z nich zaproponował np.: —x — x 2 — —2x2, komentując to: D o
dałem tuspólczynniki oraz zmieściłem i iks, i iks-kwadrat. Inny uczeń napisał
—x — x 2 — —2x3, tłumacząc: Dodałem współczynniki, a następnie iks z iksem- kwadratem.
Najczęściej jednak do niepoprawnych wyników, w przypadku wielomianów drugiego stopnia, prowadziła następująca reguła: Najpierw trzeba to uprościć [uczeń wskazywał składniki — jednomiany typu a x2, a następnie „upraszczał”
je, najczęściej do jednomianów typu bx}. Niektórzy z tych uczniów powoły
wali się na umowę o kolejności wykonywania działań: Najpierw wykonuje się potęgowanie, później inne działania. Inni mówili tylko: Trzeba to obliczyć lub
81
Obliczę to. „Upraszczanie” jednomianów drugiego stopnia uczniowie objaśniali najczęściej następująco: 5x2 to 5x razy 5 x . . . 5 razy 5 to 25, no i spisuję iks.
Zdarzało się też, że uczeń przekształcał jednomian bx2 w sposób następujący:
2 razy 5 to 10... Będzie 10t, a sporadycznie nawet zdarzało się: 2 dodać 5, spi
suję iks. Poza tym niektórzy uczniowie stosowali jeszcze inną regułę: x 2 zastę
puję przez iks, tłumacząc (jak przy mnożeniu 5rr przez 5x), że „x razy x to x ” lub reagując na moje pytanie „dlaczego” pytaniem: A co? Nie można?
Istotna część „uproszczeń” jednomianów stopnia 2 przeprowadzana była w dodatku niekonsekwentnie (jeden uczeń stosował, na przykład, kilka spośród wymienionych powyżej reguł), stąd znaczący udział procedur typu (QR) przy przekształcaniu wyrażeń (h) i (j). Inne procedury typu (Q R), obserwowane przy redukcji wyrazów podobnych w wyrażeniach (f)-(h ) oraz (j), były takie, jak zacytowana przy opisie procedur (Q R ) w rozdziale 3.
Nieliczne procedury, przypominające typ (K), występowały na etapie roz
różniania wyrazów podobnych. Uczeń, na przykład, tłumaczył: To są jakby zupełnie inne rzeczy: to iksy, to liczby, a to iksy-kwadraty.
Co ciekawe, niektórym uczniom w rozróżnianiu wyrazów podobnych poma
gały również procedury typu (PM ). Uczeń pisał np. hx — 5 • x, 2x2 = 2 • x • x i stwierdzał: Teraz widzę wyraźnie, że to co innego. Częściej jednak procedury typu (PM ) polegały na zamianie wyrażeń na sumę (przykład podałam przy opisie procedur typu (PM ) w rozdziale 3).
O b licz a n ie k w a d ra tu w y ra że n ia ty p u ax + bx w w y ra żen iu (i) W teście I to przekształcenie okazało się najtrudniejsze. Było ono dla uczniów raczej nietypowe, ale choć nie poznali oni jeszcze wzorów skróconego mnożenia, ani nie uczyli się mnożenia wielomianów, to obliczali już w czasie lekcji kwadraty liczb i jednomianów. Stosowane przez uczniów procedury były zbliżone do tych, które obserwowałam przy mnożeniu jednomianów w (b) oraz przy przekształcaniu wielomianów stopnia drugiego w (h) i (j).
Prawie wszystkie z zastosowanych przez uczniów procedur były typu (R).
Na początku wykonywanego przekształcenia stosowano jedną z trzech reguł.
Regułę prowadzącą do poprawnego wyniku spotykałam sporadycznie; brzmia
ła ona następująco: Najpierw obliczamy w nawiasie, później trzeba podnieść do kwadratu; czasem towarzyszył temu komentarz: Tak nam nasza Pani ra
dziła, żeby sprawdzić w naiuiasie, czy nie dałoby się czegoś w nawiasie uproś
cić. Znacznie bardziej powszechnie stosowane były dwie reguły prowadzące do błędnych wyników. Pierwszą z nich formułowano następująco: Obliczam po kolei, po kolei podnoszę do kwadratu. Zawsze wykonujemy działania po kolei6,
6Niektórzy uczniowie przypominali mi w czasie wywiadu, że: Po kolei robi się również przy przekształceniach takich, jak 2(3x + 5) czy (3 x )2.
A D a drugą: Najpierw trzeba wykonać potęgowanie, taka jest kolejność wykony
wania działań. Przekonanie o słuszności tych dwóch reguł było u niektórych uczniów tak silne, że nie chcieli w ogóle ze mną rozmawiać o innym sposobie wykonania tego przekształcenia.
Którąkolwiek regułę uczeń wybrał, stawał przed problemem podniesienia do kwadratu jednomianu typu ax, na przykład 3x. Niektórzy zapisywali to jako 3x2 i taki niepoprawny zapis już pozostawiali. Ci, którzy takie potęgowanie przeprowadzali, powoływali się najczęściej na następujące reguły prowadzące do błędnych wyników: 3 podnoszę do kwadratu i dopisuję iks lub To jest trzy iks razy trzy iks, czyli dziewięć iks. Sporadycznie pojawiały się na tym etapie również reguły prowadzące do poprawnego wyniku, np. 3 do kwadratu i iks do kwadratu lub 3x razy 3x to 9x2.
Stosunkowo często cytowane wyżej reguły stosowane były niekonsekwent
nie i wtedy takie procedury uczniów kwalifikowałam jako typ (QR), a nie (R).
Uczeń pisał np. (6rr 4- 3 x )2 = 36x + 9 x , a za chwilę (6x + 3 x )2 = 9x2 =■ 18a:, nie dostrzegając w tym żadnej sprzeczności. Sporo procedur typu (QR) obser
wowałam przy podnoszeniu jednomianów typu ax do kwadratu.
Sporadyczne stosowanie procedur typu (PM ) przebiegało np. tak: uczeń pisał (6:c+3:r)2 = (6a~+3:r)(6:r-|-3:r), p oczym wykonywał mnożenie, wspierając się regułą: Przy mnożeniu najpierw rozdzielamy jeden nawias, potem drugi i pisał: 6x(6x + 3;r) + 3x(6x -f 3x) = 6x • 6x + 6x • 3x -f 3x • 6x + 3x • 3x.
5 Procedury stosowane przez uczniów przy prze
kształceniach z testu II
Informacje o względnej częstości występowania poszczególnych typów pro
cedur przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych z testu II, odczytać można z diagramu 2.
W klasie ósmej pojawiły się wszystkie opisane w rozdziale 3 typy procedur, również procedury typu (W ) i (A ), których nie było w klasie siódmej.
Niektóre typy procedur obserwowałam bardzo rzadko. Podobnie, jak w kla
sie siódmej, do takich bardzo wyjątkowo pojawiających się należały procedury typów (O R ) i (O P). Zaobserwowałam je znów w przypadku pojedynczych działań na jednomianach, poza tym dwóch uczniów wykorzystało procedury typu (O P) przy sprawdzeniu poprawności mnożenia wielomianów, a jeden mó
wił o możliwości takiego postępowania, gdy ma się wątpliwości, w przypadku mnożenia wielomianu przez jednomian. W przeciwieństwie do klasy siódmej również typ (K) pojawiał się sporadycznie. Śladowe ilości tego typu proce
dur obserwowałam tylko przy pojedynczych działaniach na jednomianach oraz
przy redukcji wyrazów podobnych.
Procedury typu (A ) pojawiły się przy większości przekształceń, ale zawsze tylko u nielicznych uczniów. Należy tu wyraźnie zaznaczyć, że niemal nigdy nie oznaczało to zautomatyzowania całego przekształcenia, tylko zaledwie jego elementów — najczęściej dodawania wyrazów podobnych, rozpoznawania wy
razów podobnych, rzadziej również całego procesu redukcji wyrazów podob
nych lub mnożenia jednomianów.
W klasie ósmej zmieniła się nieco względna częstość występowania pro
cedur typu (R). W klasie siódmej typ ten dominował przy każdym rodzaju przekształceń z testu, natomiast w klasie ósmej występował nadal bardzo czę
sto, ale w przypadku części przekształceń przestał dominować.
D ia g r a m 2. Częstości występowania poszczególnych typów procedur przy wyko
nywaniu przez uczniów przekształceń algebraicznych z testu II (dalsze wyjaśnienia znaleźć można pod diagramem 1, rozdział 4, str. 78).
A D Poniżej przedstawię szczegółowe procedury stosowane przez uczniów przy przekształceniach z testu II. Podobnie jak to uczyniłam przy prezentacji pro
cedur siódmoklasistów, pominę tu typy procedur, które obserwowałam tylko sporadycznie, tj. (A), (O P), (OR) i (K ); ich opis znajduje się w rozdziale 3.
Pojedyncze działania na jednomianach: mnożenie jednomianów, dzielenie jednomianu przez liczbę oraz dzielenie jednomianów (wy
rażenia (k), (m ), (n))
Przy tych przekształceniach najwięcej było procedur dwóch typów: (R) oraz (PM ).
Przy przekształceniu (k) uczniowie najczęściej powoływali się na następu
jące reguły prowadzące do poprawnego wyniku: Mnoży się liczbę przez liczbę, a iks przez iks lub W mnożeniu liczb z iksami mnoży się liczby i dopisuje iks- kwadrat, w dodawaniu dodaje się liczby i dopisuje sam iks. Często też obserwo
wałam następującą kombinację procedur — najpierw uczeń podawał regułę:
W dodawaniu i odejmowaniu wykonuje się działania na współczynnikach, nie zmienia litery; w mnożeniu jest inaczej7, po czym wpisywał wszystkie kropki
— znaki mnożenia, prezentując procedurę typu (PM). Niejednokrotnie ucznio
wie tłumaczyli wtedy: Bo w mnożeniu jest duża swoboda ruchów lub Mnoże
nie, więc mogę sobie liczby dowolnie przestawiać. Z kolei reguła prowadząca do niepoprawnego wyniku brzmiała: To są jednomiany podobne. Mnożę liczby i dopisuję iks tyle, że tym razem pojawiała się stosunkowo rzadko.
Przy przekształceniu (m) procedury typu (PM ) wręcz dominowały. Nie
którzy uczniowie mówili: Zamieniam to na mnożenie przez odwrotność, inni zaś: Zamieniam znak dzielenia na kreskę ułamkową. Dużo osób komentowało to następująco: Warto to robić, teraz jest wygodniej oraz Można sobie liczby przestawić lub Widać, co się skraca. Byli jednak również uczniowie korzysta
jący w (m) tylko z procedur typu (R ). Były to najczęściej następujące reguły:
Trzeba wykonać dzielenie na liczbach i spisać iks (prowadząca do poprawnego wyniku) lub To nie są wyrazy podobne, nie można tego wykonać (błędna).
Przy przekształceniu (n) najczęściej występowały procedury typu (PM) i typu (R). W przypadku procedur typu (PM ) uczniowie zapisywali często dane wyrażenie w postaci ułamka, a następnie licznik ułamka jako 8 • x • x, a mianownik jako 2 • x , komentując to: Teraz widzę, przez co mogę skrócić.
Niektórzy uczniowie próbowali od razu przekształcić wyjściowe wyrażenie do ' Zwracam uwagę na charakterystyczne dla wielu ósmoklasistów (głównie dla tych, którzy mieli dużo poprawnych przekształceń w teście II) porównywanie i kontrastowanie procedur stosowanych przy różnych przekształceniach. Obserwowałam to zwłaszcza w przypadkach, gdy np. reguła odpowiednia dla jednego przekształcenia okazywała się niewłaściwa dla in
nego.
85 postaci iloczynu, ale zawsze wtedy popełniali błąd: Sx2 : 2x = 8x2-^x. Ucznio
wie, którzy korzystali tylko z procedur typu (R), objaśniali swe przekształcenia najczęściej następująco: Liczbę dzielę przez liczbę, a literę przez literę (reguła prowadząca do poprawnego wyniku). Dużo rzadziej spotykałam inne reguły — błędne lub niepoprawnie sformułowane, np. Podzieliłem liczby, a od tych dwóch iksów [uczeń wskazuje x 2 w dzielnej] odjąłem jeden iks [pokazuje x w dzielniku]
lub: One nie są podobne, nic nie da się zrobić.
Przy przekształceniu (n) obserwowałam też sporadycznie procedury typu (QR). Większość z nich wiązała się z niekonsekwentnym „upraszczaniem” jed- nomianu 8x2 (opisałam to zjawisko w rozdziale 4).
Redukcja wyrazów podobnych w wielomianie drugiego stopnia (wyrażenie (o))
Dominowały tu procedury typu (R). Prawie wszystkie stosowane reguły prowadziły do poprawnych wyników. Najczęściej uczniowie podawali następu
jącą regułę: Dodaje się wyrazy podobne. Rozpoznawaniu wyrazów podobnych najczęściej towarzyszyła reguła: Wyrazy podobne mają taką samą część lite
rową. Tu są trzy rodzaje: z iksem do kwadratu, z samym iksem i bez iksa
iu ogóle.
Uczniowie zaprezentowali też sporo procedur typu (PM), mówiąc na przy
kład: Zamienię to najpierw na sumę, aby lepiej było widać, co mam przestawić lub To jest suma —2x2, 8, —8x i —4 x2.
Mnożenie wielomianu przez liczbę i przez jednomian oraz dzie
lenie wielomianu przez liczbę (wyrażenia (s), (t), (u))
Przekształcenia te, podobnie jak przekształcenia omówione dotychczas, były stosunkowo nietrudne dla badanych uczniów; zarazem tylko sporadycz
nie obserwowałam przy nich procedury typu (Q R). Dominowały tu procedury typu (R ), sporo było też procedur typu (PM). Najczęściej uczniowie powo
ływali się na następujące reguły prowadzące do poprawnych wyników: Każdy wyraz w nawiasie mnożymy (dzielimy) przez to wyrażenie [tu uczeń wskazywał wyrażenie spoza nawiasu]8.
Zdarzało się, że w (u) uczniowie stosowali te reguły w poprawny, ale nie
jednolity sposób, na przykład: Ja chcę zawsze jak najprościej. Osiem wygodnie dzieli się przez 2, a 3 wolę mnożyć przez
Niektórzy uczniowie powoływali się na rozdzielność mnożenia względem dodawania, większość jednak mówiła, że mnoży się lub dzieli po kolei.
Do niepoprawnych wyników prowadziły reguły (występujące rzadziej niż 8Niektórzy uczniowie „mnożyli po kolei” wyrazy z nawiasu nawet wtedy, gdy dane wyra
żenie (t) przepisali błędnie jako 2x (3z • 8).
A D wyżej opisane): Mnożę (dzielę) wyrazy podobne oraz Mnożę (dzielę) tylko pierwszy wyraz z nawiasu przez wyrażenie spoza nawiasu; w obu przypad
kach uczniowie mnożyli lub dzielili tylko jeden jednomian z nawiasu. Z kolei niektórzy uczniowie, wiedząc, że redukcji w nawiasie nie można przeprowadzić, twierdzili, że przekształceń nie da się wykonać.
Procedury typu (PM ) polegały głównie na zapisywaniu wielomianu danego w nawiasie w postaci sumy oraz na zamianie dzielenia przez 2 w wyrażeniu (u) na mnożenie przez ^, albo zapisanie tego dzielenia w postaci ułamka.
Procedury typu (Q R ) ujawniały się najczęściej przy wykonywanych w spo
sób niekonsekwentny „redukcjach w nawiasie” . Inne wiązały się najprawdopo
dobniej z efektami typu atraktory (patrz opis procedur (Q R) w rozdziale 3), na przykład przekształcenie (s) uczeń objaśniał: To z iks zostawiam. —2 i —8 to -f 10 oraz pisał —2(3x — 8) = 3x + 10.
Dodawanie i odejmowanie wielomianów oraz odejmowanie jedno- mianu od wielomianu (wyrażenia (p ), (q), (y))
Przy każdym z tych przekształceń dominowały procedury typu (R ). Często uczniowie rozpoczynali od stwierdzenia: Wiem, jak się opuszcza nawias, gdy jest przed nim plus, a jak, gdy jest przed nim minus (czasem osobno omawiali sytuację, gdy nawias nie jest poprzedzony niczym). Reguły prowadzące do po
prawnych wyników formułowali najczęściej następująco: Przy dodawaniu nic się nie zmienia. Przy odejmowaniu trzeba w drugim nawiasie zmienić każdy znak na przeciwny lub Minus i plus daje minus. Minus i minus daje plus.
Spotkałam również kilka reguł prowadzących do błędnych wyników. Jedna z nich brzmiała: Przy dodawaniu trzeba zmienić znak przy pierwszym wyrazie, a przy odejmowaniu — przy drugim wyrazie z tego nawiasu [uczeń wskazuje na drugi nawias]. Inna błędna reguła to: Trzeba każdy przez każdy (postępowanie przypominające mnożenie wielomianów) lub Trzeba po kolei odjąć w przy
padku przekształcenia (y). Np. niektórzy uczniowie odczytali wyrażenie (y) jako mnożenie wielomianu przez jednomian i proponowali regułę: Trzeba po kolei pomnożyć. Byli też uczniowie, którzy stosowali następującą regułę: Dzia
łania wykonuje się na wyrazach podobnych i np. odejmowanie wielomianów wykonywali następująco: ( —4x + 3) — ( — 1 + 2x) = ( —4x — 2x) — (3 — ( —1)).
W przypadku odejmowania wielomianów reguła ta prowadziła do błędnego wy
niku, natomiast w przypadku dodawania — do poprawnego wyniku. Jeszcze inni uczniowie twierdzili, że przekształceń tych nie da się wykonać, podpiera
jąc się kolejną błędną regułą: Najpierw trzeba ruykonać działanie w nawiasie i dodając: A tam nie ma wyrazóiu podobnych.
W przypadku tej trójki przekształceń, zwłaszcza przy przekształceniach (q) i (y), obserwowałam sporo procedur typu (PM ). Dane wyrażenia zapisy
wano w postaci sum. W przypadku odejmowania wielomianów wyglądało to najczęściej tak: ( —Ax + 3) - ( - 1 + 2x) = ( - 4x + 3) + (1 — 2x) lub np. tak:
{—Ax + 3) — ( — 1 + 2x) = { —Ax -f 3) -f (—1)(—1 -f 2x). Uczniowie objaśniali te przekształcenia następująco: Odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej.
Część tłumaczyła dalej, że liczba przeciwna do — 1 + 2x to 1 — 2x, część poda
wała też regułę: Liczbę przeciwną tworzy się przez pomnożenie całego drugiego nawiasu przez —1 lub przez zmianę wszystkich znaków w drugim natuiasie.
Wielu uczniów mówiło zaś jedynie: Nasza Pani nam tak powiedziała.
Przy tych przekształceniach zaobserwowałam wyraźnie więcej, niż w do
tychczas omówionych typach przekształceń, procedur typu (Q R ). Wystąpiły one głównie w sytuacjach „upraszczania” jednomianu typu a x2 w wyrażeniu (y) i podczas „redukcji w nawiasach” . Zdarzało się też często, że uczniowie nie potrafili odtworzyć drogi od wyrażenia pierwotnego do swojego wyniku, a do
kładniej — przy każdej próbie sposób opuszczania nawiasów był inny, często też inny był wynik.
Mnożenie wielomianów oraz obliczanie kwadratu sumy dwóch jednomianów (wyrażenia (r), (v) i (w))
Przekształcenia te okazały się dla uczniów wyraźnie trudniejsze niż wszyst
kie dotychczas przeze mnie omówione. Uczniowie stosowali tu sporo proce
dur typu (R). Przy przekształceniu (r) uczniowie podawali najczęściej jedną z dwóch reguł prowadzących do poprawnego wyniku. Pierwsza z nich to: Przy mnożeniu najpierw rozdzielamy jeden nawias [uczeń pisze (—4rr+3)(— \-\~2x) —
—4:r(—1 T 2x) -j- 3 (—1 -f- 2a;)], a potem drugi [uczeń dopisuje —Ax • ( —1) -f (~Ax) ■ 2x + 3 • ( —1) + 3 • 2x]. Tej regule sporadycznie towarzyszyło powo
ływanie się na prawo rozdzielności. Druga reguła brzmiała: Mnoży się każdy przez każdy. Uczniowie podali też kilka innych reguł, które nie prowadziły do poprawnego wyniku. Pierwsza z nich brzmiała: Mnożę piemuszy wyraz przez pierwszy, a drugi przez drugi, druga: Wykonuję działanie tylko na wyrazach po
dobnych, trzecia: Najpierw trzeba dodać w nawiasie, czwarta: Opuszczam na
wiasy [uczeń robił to dosłownie, tj. pisał ( —4 x -f3 )(—lT2a;) = —Ax-\-Z—\Ą-2x =
—Ax — 3 T 2x)\.
Przy przekształceniach (v) i (w) podawano najczęściej następującą regułę prowadzącą do poprawnego wyniku: Najpierw trzeba zobaczyć, czy w nawiasie nie ma wyrazów podobnych, a potem dopiero podnosi się do kwadratu. Zaobser
wowałam też kilku uczniów, którzy bardzo długo wahali się: Najpierw oblicza się w nawiasie, czy potęguje? Niektórzy z kolei po stwierdzeniu, że w wyra
żeniu (w) nic nie da się zrobić w nawiasie, uważali, że wyrażenia nie da się przekształcić. Inną, rzadziej spotykaną, błędną regułą, było: Obliczam po ko
lei lub Najpierw trzeba jedno do kwadratu, a potem drugie do kwadratu wraz
z zapisem: (82; — 2x)2 = (8:r)2 — (2:r)2.
Wiele reguł podawanych przez uczniów przy przekształceniach (r), (v) i (w) nie było stosowanych konsekwentnie, były to więc procedury typu (QR);
w przypadku tych trzech przekształceń, odnotowałam wręcz porównywalnie wiele procedur typu (Q R ) i (R). I tak, na przykład, niektórzy uczniowie w inny sposób mnożyli wielomiany w (v) i (w) niż w (r). Z kolei niektórzy rozpoczy
nali przekształcenie (r) od „redukcji” w nawiasach, choć w (p) i (q) uważali to za niedozwolone. Inni na przemian stosowali regułę Najpierw trzeba dodać w nawiasie z regułą Mnożymy wyrazy podobne w (r). Był też uczeń, który dla (w) zastosował regułę Najpierw trzeba dodać w nawiasie, a dla (v) re
gułę Obliczamy po kolei. Procedury (Q R ) pojawiały się też sporadycznie przy
„upraszczaniu” jednomianów typu ax2.
Ponadto przy tych trzech przekształceniach pojawiły się procedury typu (W ) — sporadycznie w przypadku mnożenia wielomianów (r), często zaś w przypadku obliczania kwadratu wielomianu ax — bx. W przypadku oblicza
nia kwadratu wielomianu a — bx procedury typu (W ) były wręcz dominujące.
Dla przekształceń (v) i (w) był to wzór na a minus b do kwadratu. Wzór ten podano mi w następujących postaciach:9
(a — b)2 = a2 — 2ab -f b2, (a — b)2 — a2 + 2a (—b) ! ( — b)2,
(a—b)2 = a2—2a (—6)-f ( —fe)2, (a —b)2 = (a—b)(a+b) oraz (a —b)2 = a2-\-{—b)2.
Do niepoprawnych wyników prowadziły zarówno trzy ostatnie wzory, jak i błę
dy w stosowaniu dwóch pierwszych wzorów, w szczególności zapisywanie wyra
żenia 2x2 zamiast (2a:)2 (w klasie siódmej zapisywanie kwadratu wyrażenia ax jako a x2 było bardzo powszechne, w klasie ósmej pojawiało się już rzadziej).
Również w przypadku przekształcenia (r) uczniowie mówili: Jest taki wzór skróconego mnożenia na (a + b)(c -f d). To jest równe a c j ad J- bc + bd. Było to o tyle nieoczekiwane, że ani w podręcznikach, ani na lekcjach badanych uczniów nie zaliczano tego przekształcenia do wzorów skróconego mnożenia.
Przy przekształceniach (r), (v) i (w) zaobserwowałam ponadto sporadycz
nie procedury typu (PM ). Polegały one na przekształcaniu odejmowania na dodawanie lub kwadratu sumy na iloczyn sum. Uczeń pisał na przykład:
(8 — 2x)2 = (8 — 2x)(8 — 2x), komentując to: Wolę sobie rozpisać i pomnożyć po kolei, wtedy lepiej rozumiem10. * 10
interesujące, że ani jeden uczeń nie podał błędnego wzoru postaci (o. — b)2 — a2 — b2.
Natomiast podawano błędną regułę: Obliczam po kolei, po czym od kwadratu pierwszego wyrażenia z nawiasu odejmowano kwadrat drugiego wyrażenia.
10Z taką charakterystyczną postawą, tj. unikaniem „gotowego” wzoru skróconego mnoże
nia, a wykonywaniem mnożenia wielomianów, spotykałam się wielokrotnie na początku nauki wzorów skróconego mnożenia — w r ó ż n y c h klasach, uczonych przez różnych nauczycieli.
