Twierdzenie o wiriale Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna

(1)

Twierdzenie o wiriale

Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna

Instytut Fizyki

2015

(2)

II zasada dynamiki Newtona dla wielu cza˛stek

• N jednakowych cza˛stek o masie m pod działaniem sił ~Fi

md~vi

dt = ~Fi, i = 1, . . . , N ∼ 10²³

• Liczymy

N

X

i=1

F~i· ~ri = m

N

X

i=1

d

dt(~ri· ~vi) − m

N

X

i=1

v²i

• Dokonujemy u´srednienia po czasie DX^N

i=1

F~i· ~ri

E

=

N

X

i=1

m D_d

dt(~ri· ~vi) E

− 2DX^N

i=1

1 2mv²i

E

Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna Twierdzenie o wiriale

(3)

II zasada dynamiki Newtona dla wielu cza˛stek

md~vi

dt = ~Fi, i = 1, . . . , N ∼ 10²³

• Liczymy

N

X

i=1

F~i· ~ri = m

N

X

i=1

d

dt(~ri· ~vi) − m

N

X

i=1

v²i

i=1

F~i· ~ri

E

=

N

X

i=1

m D_d

dt(~ri· ~vi) E

− 2DX^N

i=1

1 2mv²i

E

(4)

II zasada dynamiki Newtona dla wielu cza˛stek

md~vi

dt = ~Fi, i = 1, . . . , N ∼ 10²³

• Liczymy

N

X

i=1

F~i· ~ri = m

N

X

i=1

d

dt(~ri· ~vi) − m

N

X

i=1

vi²

i=1

F~i· ~ri

E

=

N

X

i=1

m D_d

dt(~ri· ~vi) E

− 2DX^N

i=1

1 2mv²i

E

(5)

II zasada dynamiki Newtona dla wielu cza˛stek

md~vi

dt = ~Fi, i = 1, . . . , N ∼ 10²³

• Liczymy

N

X

i=1

F~i· ~ri = m

N

X

i=1

d

dt(~ri· ~vi) − m

N

X

i=1

vi²

• Dokonujemy u´srednienia po czasie

DX^N

i=1

F~i· ~ri

E

=

N

X

i=1

mD_d

dt(~ri· ~vi)E

− 2DX^N

i=1

1 2mvi²

E

(6)

Twierdzenie o wiriale

Tw. o wiriale

Je´sli w granicy τ → ∞ cza˛stki nie opuszcza˛ pewnego sko´nczonego obszaru (układ zwia˛zany) oraz pre˛dko´sci wszystkich cza˛stek sa˛ sko´nczone, to

D_d

dt(~ri· ~vi)E _{τ →∞}

=⇒ 0

czyli po upływie długiego czasu DX^N

i=1

F~i· ~ri

E

= −2 DX^N

i=1

1 2mv²i

E

= −2hEkin,Ni = −2N hEkini

(7)

Twierdzenie o wiriale

Tw. o wiriale

D_d

dt(~ri· ~vi)E _{τ →∞}

=⇒ 0

i=1

F~i· ~ri

E

= −2 DX^N

i=1

1 2mv²i

E

(8)

Twierdzenie o wiriale

Tw. o wiriale

D_d

dt(~ri· ~vi)E _{τ →∞}

=⇒ 0

i=1

F~i· ~ri

E

= −2 DX^N

i=1

1 2mv²i

E

(9)

Twierdzenie o wiriale

Tw. o wiriale

D_d

dt(~ri· ~vi)E _{τ →∞}

=⇒ 0

i=1

F~i· ~ri

E

= −2 DX^N

i=1

1 2mv²i

E

(10)

Zastosowania

• Równanie gazu doskonałego

pV = 2

3N hEkini

• Poprawki do równania gazu doskonałego

−2N hEkini = −3pV + 1 2

DX^N

i,j=1

F~ij◦ ~rij

E

wiriał sił mie˛dzycza˛stkowych

• Układy zwia˛zane grawitacyjnie

−2N hEkini = hEPi

(11)

Zastosowania

pV = 2 3N hEkini

−2N hEkini = −3pV + 1 2

DX^N

i,j=1

F~ij◦ ~rij

E

(12)

Zastosowania

pV = 2 3N hEkini

−2N hEkini = −3pV + 1 2

DX^N

i,j=1

F~ij◦ ~rij

E

(13)

Zastosowania

pV = 2 3N hEkini

−2N hEkini = −3pV + 1 2

DX^N

i,j=1

F~ij◦ ~rij

E