Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

(1)

Materiał do wykładu 2 2010/2011, zima 1

RACHUNEK WEKTOROWY W RACHUNEK WEKTOROWY W

FIZYCE FIZYCE

Wydzia WydziałłEAIiEEAIiE

Kierunek: Elektrotechnika

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

• • Poję Poj ęcie wektora cie wektora

• • Dział Dzia ł ania na wektorach ania na wektorach

• • Wektor w kartezjań Wektor w kartezja ńskim uk skim ukł ł adzie adzie wspó wsp ół ł rzę rz ędnych dnych

• • Przykł Przyk ł ady wykorzystania wektoró ady wykorzystania wektor ów i dzia w i dział ła a ń ń na nich w fizyce

na nich w fizyce

Plan Plan

(2)

Poj Poj ę ę cie wektora cie wektora ar − ar

Wektor ma trzy cechy:

1. Kierunek 1. Kierunek

2. Zwrot 2. Zwrot 3. Warto 3. Wartość ść (dł (d ługo ugość ść) )

a

=

−

= a a r r

DŁ D ŁUGO UGOŚĆ ŚĆ WEKTORA WEKTORA

O O ś ś liczbowa liczbowa

ar aˆ

Wersor

Wersor jest to jest to wektor jednostkowy wektor jednostkowy

aˆ 5

Dł D ługo ugość ść wektora wektora

Ogó Og ólnie: lnie:

ˆ = 1 a

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

(3)

A punkt przy

A punkt przył ło oŜ Ŝenia? enia?

Ruch Ruch postę post ępowy powy

Ruch Ruch obrotowy obrotowy

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Dział Dzia łania na wektorach ania na wektorach

• •Dodawanie Dodawanie

• •Odejmowanie Odejmowanie

• •Mno MnoŜ Ŝenie: enie:

• •Iloczyn wektora przez liczb Iloczyn wektora przez liczbę ę

• •Iloczyn skalarny dw Iloczyn skalarny dwó óch wektor ch wektoró ów w

• •Iloczyn wektorowy dw Iloczyn wektorowy dwó óch wektor ch wektoró ów w

(4)

Dodawanie wektor Dodawanie wektor ów ó w

ar ^b

r

b a r r

+

Odejmowanie wektor Odejmowanie wektoró ów w

b r

b ar

a r r

−

) ( b a

b

a r r r r

− +

=

−

b r

−

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

(5)

Reguł Regu ła r a ró ównoleg wnoległ łoboku oboku

b r

ar _a ^r ₊ _b ^r

b a r r

−

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

WEKTOR WYPADKOWY WEKTOR WYPADKOWY

np. wypadkowe np . wypadkowe

przemieszczenie,

wypadkowa si

wypadkowa sił ła a

(6)

Rozk Rozkł ład wektora ad wektora

ar l

ar k ar

k

l

k a

a

a r r r +

=

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

ILOCZYN WEKTORA PRZEZ LICZB ILOCZYN WEKTORA PRZEZ LICZBĘ Ę

Wynik dzia

Wynik dział łania jest wektorem ania jest wektorem

ar ^a ^b

r r k =

b a r r 3 =

b a r r

=

− ,1 5

(7)

Gdy k>0, zwroty zgodne Gdy k<0, zwroty przeciwne

b a b

a r r r r

= ⇒ k

Wartość (długość) wektora: b = k a

Wektory i s

Wektory i są ą ró r ównoleg wnoległ łe e (maj (mają ą ten sam kierunek) ten sam kierunek) b r

ar

Przedmiot: Fizyka

ILOCZYN SKALARNY

ILOCZYN SKALARNY - - DEFINICJA DEFINICJA

ϕ

= a b cos b

a r o r

Wynik dzia

Wynik dział łania jest liczb ania jest liczbą ą: : dodatni

dodatnią ą, ujemn , ujemną ą (kiedy?) lub (kiedy?) lub nawet zero

nawet zero

Dział Dzia łanie jest przemienne anie jest przemienne a r b r b r a r

=

φ

ar

b r

(8)

ILOCZYN SKALARNY

ILOCZYN SKALARNY - - KONSEKWENCJE KONSEKWENCJE

φ=90 ⁰

ar

b r

0 90 cos b

a ⁰ =

b = a r

o r

JeŜ Je Ŝ eli wektory są eli wektory s ą prostopadł prostopad łe e to ich iloczyn skalarny jest to ich iloczyn skalarny jest ró r ówny 0 wny 0

S

Sł łu uŜ Ŝy do sprawdzania y do sprawdzania prostopad

prostopadł ło oś ści wektor ci wektoró ów w

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

ILOCZYN SKALARNY

ILOCZYN SKALARNY - - KONSEKWENCJE KONSEKWENCJE φ=0 ⁰

ar

a 2

a = a r o r

S Sł łu uŜ Ŝy do okre y do okre ślenia d ś lenia dł ługo ugoś ś ci wektora ci wektora

ar

a a r o

= r

a

(9)

ILOCZYN WEKTOROWY

ILOCZYN WEKTOROWY - - DEFINICJA DEFINICJA

ar

Wynik dzia

Wynik dział łania jest ania jest wektorem. Nale

wektorem. NaleŜ Ŝ y zatem y zatem podać poda ć trzy jego cechy, nie trzy jego cechy, nie tylko warto

tylko warto ść ść ale przede ale przede wszystkim

wszystkim kierunek kierunek (!!!!) i (!!!!) i zwrot

zwrot

cr

c b a r r r

=

×

b r φ

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy - - definicja definicja 1. Kierunek wektora jest 1. Kierunek wektora jest prostopad

prostopadł ły do p y do pł łaszczyzny utworzonej aszczyzny utworzonej przez wektory i czyli

przez wektory i czyli

b a r r

× ar b r

a b

a r r r

⊥

×

b b

a r r r

⊥

× ⁱ

i

(10)

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy - - definicja definicja 2. Zwrot wektora

2. Zwrot wektora okreś okre ślamy regu lamy regułą łą prawej rę prawej r ęki ki lub ś lub śruby prawoskr ruby prawoskrę ętnej tnej

b a r r

×

a b b

a r r r r

×

−

=

×

Dział Dzia łanie to nie jest przemienne anie to nie jest przemienne

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy - - definicja definicja 3. Dł 3. D ługo ugość ść wektora wektora

to liczba:

to liczba: a r b r

×

ϕ

=

× b a b sin a r r

Uwaga: Je

Uwaga: JeŜ Ŝeli przynajmniej jeden z wektor eli przynajmniej jeden z wektoró ów w jest zerowy lub wektory maj

jest zerowy lub wektory mają ą ten sam kierunek ten sam kierunek (pokrywaj

(pokrywają ą się si ę lub są lub s ą ró r ównoleg wnoległ łe) to e) to a r × b r = 0

W szczeg

W szczegó ólno lnoś ś ci ci a r r × a = 0

(11)

DLACZEGO?

Bo je

Bo jeŜ Ŝ eli jest tylko jeden wektor to nie moŜ eli jest tylko jeden wektor to nie mo Ŝna na utworzy

utworzy ć ć pł p łaszczyzny, do kt aszczyzny, do któ órej wektor b rej wektor bę ęd dą ący cy wynikiem iloczynu wektorowego by

wynikiem iloczynu wektorowego był łby by prostopad

prostopadł ły. y.

Jak wida

Jak widać ć, jest to problem kierunku a nie , jest to problem kierunku a nie warto

wartoś ś ci wektora. ci wektora.

0 =

× a a r r

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy - - konsekwencje konsekwencje 1. Je

1. JeŜ Ŝeli eli

0 =

×

⇒ a b b

a r r r r

2. S

2. Sł łu uŜ Ŝy do sprawdzania r y do sprawdzania ró ównoleg wnoległ ło oś ści wektor ci wektoró ów w

(12)

Algebra wektor Algebra wektoró ów w Rozdzielno

Rozdzielność ść mnoŜ mno Ŝenia skalarnego i wektorowego enia skalarnego i wektorowego wzglę wzgl ędem dodawania (odejmowania) dem dodawania (odejmowania)

c a b a c

b

a r

o r r

o r r r

o

r ( + ) = +

c a b a c

b

a r r r r r r r

× +

×

= +

× ( )

Dzielić przez wektor nie wolno !!!

b a r r

Algebra wektor Algebra wektoró ów w

Przyk

Przykł ład 1. ad 1.

Dane jest r

Dane jest ró ównanie wektorowe: wnanie wektorowe:

[ ( ) ] ⁰

3 2 a − b + x a + b b r = o r r

r r r

Znale

Znaleźć źć wektor wektor xr

Rozwi

Rozwią ązanie: zanie:

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

(13)

[ ( ) ] ⁰

3 2 a − b + x a + b b r = o r r r r

r

Rozwi

Rozwią ązanie: zanie:

( ) ⁰

3 2 a − b + x a b + b b r = o r r o r r r

1. Z rozdzielno r

1. Z rozdzielnoś ści mno ci mnoŜ Ŝenia enia wzgl

wzglę ędem dodawania: dem dodawania:

3. Dodaj

3. Dodają ąc i odejmuj c i odejmują ąc stronami c stronami jak w

jak w „ „zwyk zwykł łym ym” ” ró r ównaniu: wnaniu: ^x ^r ( â ^r ô ^b ^r ⁺ ^b ² ) ⁼ ⁻ ² â ^r ⁺ ³ ^b ^r

4. Mamy prawo podzieli

4. Mamy prawo podzielić ć przez przez wyra

wyraŜ Ŝenie w nawiasie po enie w nawiasie po upewnieniu si

upewnieniu się ę, , Ŝ Ŝe jest liczb e jest liczbą ą: :

b 2

b = b r

o

2. Ale: r

2. Ale:

b 2

3 2

+ +

= a − b b x a r

o r

r r r

Dowodzenie twierdze Dowodzenie twierdzeń ń

Przyk

Przykł ład 2. ad 2.

Udowodni

Udowodnić ć, , Ŝ Ŝe dwa wektory musz e dwa wektory musz ą ą mieć mie ć ró r ówne wne d

dł ługo ugoś ści je ci jeŜ Ŝeli ich suma jest prostopad eli ich suma jest prostopadł ła do ich a do ich ró r óŜ Ŝnicy. nicy.

Rachunek wektorowy u

Rachunek wektorowy uł łatwia dowodzenie twierdze atwia dowodzenie twierdzeń ń geometrycznych.

geometrycznych.

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

(14)

Dowó Dow ód d

2. To (z definicji iloczynu skalarnego):

( ) ( ) a r b r a r b r

−

⊥ +

1. Je 1. JeŜ Ŝeli: eli:

( ) ( ) a + b a r − b r = 0 o

r r

3. Korzystaj

3. Korzystają ąc z rozdzielno c z rozdzielnoś ś ci mnoŜ ci mno Ŝenie wzgl enie wzglę ędem dem dodawania:

dodawania:

0 =

− +

− a b b a b b a

a r

o r r

o r r o r r o r

Dowó Dow ód d

4. Iloczyn skalarny jest 4. Iloczyn skalarny jest przemienny, a zatem:

przemienny, a zatem: − a b + b a r = 0 o

r r o r

0 =

− +

− a b b a b b a

a r

o r r

o r r o r r o

5. I: r

5. I:

redukuje si

redukuje się ę do: do: a ² − b ² = 0

6. Zatem:

6. Zatem: a = b

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

(15)

Stosuj

Stosują ąc rachunek wektorowy udowodni c rachunek wektorowy udowodnić ć twierdzenie twierdzenie kosinus

kosinusó ów. w.

Zadanie 2 Zadanie 2- -1 1

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Wektor w kartezja

Wektor w kartezjań ńskim uk skim ukł ładzie adzie

wspó wsp ół łrz rzę ędnych dnych – – przypadek dwuwymiarowy przypadek dwuwymiarowy

x y

iˆ jˆ

ar

ar x

ar y

j i

a a

a r = r _x + r _y = a _x ˆ + a _y ˆ

Tw

Tw. Pitagorasa . Pitagorasa

2 y 2 x a a

a = +

φ

a y

tg ϕ =

Trygonometria

(16)

Wektor w

Wektor w kartezja kartezja ńkim ń kim ukł uk ładzie adzie wspó wsp ół łrz rzę ędnych dnych – – 3D 3D

x

y z

iˆ kˆ jˆ

k j

i ˆ ˆ

ˆ × =

ar

a _x

a _y a _z

k j

i

a r = a _x ˆ + a _y ˆ + a _z ˆ ˆ 0

ˆ i o j = ˆ 1 ˆ i = i o

Stosuj

Stosują ąc definicje iloczyn c definicje iloczynó ów skalarnego i w skalarnego i wektorowego oblicz:

wektorowego oblicz:

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

i j k j

k

i ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ

ˆ × × ×

oraz oraz

j j k j

k

i ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ

ˆ o o o

Zadanie 2

Zadanie 2- -2 2

(17)

Dział Dzia łania na wektorach ania na wektorach w ukł w uk ładzie kartezja adzie kartezjań ń skim skim

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

1. Dodawanie wektor 1. Dodawanie wektoró ów w

k j

i b

a r + r = ( a _x + b _x ˆ) + ( a _y + b _y ˆ) + ( a _z + b _z ) ˆ k

j i

a r = a _x ˆ + a _y ˆ + a _z ˆ

k j

i

b r = b _x ˆ + b _y ˆ + b _z ˆ

Wynik jest wektorem Wynik jest wektorem

b a r r

+

(18)

2. Ró 2. R ówno wność ść wektor wektor ów ó w b a b

a r r r r

≡

= lub k

j i

a r = a _x ˆ + a _y ˆ + a _z ˆ

k j

i

b r = b _x ˆ + b _y ˆ + b _z ˆ

Wynik Wynik

z z

y y

x x

b a

=

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

3. Iloczyn skalarny 3. Iloczyn skalarny

k j

i

a r = a _x ˆ + a _y ˆ + a _z ˆ

k j

i

b r = b _x ˆ + b _y ˆ + b _z ˆ

Wynik

Wynik a b r = a _x b _x + a _y b _y + a _z b _z o

r

OBOWIĄZUJE TYLKO W UKŁADZIE

KARTEZJAŃSKIM – DLACZEGO?

(19)

4. Iloczyn wektorowy 4. Iloczyn wektorowy

k j

i

a r = a _x ˆ + a _y ˆ + a _z ˆ

k j

i

b r = b _x ˆ + b _y ˆ + b _z ˆ

Wynik

z y x

z y

x b b

b

a a

a

ˆ ˆ

ˆ i j k b

a r × r =

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

ZASTOSOWANIE RACHUNKU ZASTOSOWANIE RACHUNKU

WEKTOROWEGO WEKTOROWEGO

W FIZYCE

(20)

Wielko

Wielko ś ś ci fizyczne ci fizyczne

Długość, czas, siła, masa, prędkość, przyspieszenie, temperatura, ciśnienie, natęŜenie pola elektrycznego, natęŜenie prądu elektrycznego, strumień pola

magnetycznego

długość

cza s siła

SKALARY

SKALARY WEKTORY WEKTORY

tem per atu ra masa

ciśnienie natęŜenie prądu elektrycz nego

strum ień p ola mag n.

prę dk ość

pr z ysp iesz enie natęŜe nie po la

elektr yczne go

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Mno

MnoŜ Ŝenie wektora przez liczb enie wektora przez liczbę ę: : P Pę ęd: definicja d: definicja p r v r

m

=

wektor prędkości

m v

p

Pytanie: Jaki jest kierunek wektora p Pytanie: Jaki jest kierunek wektora pę ędu? du?

Odpowiedź: p r r v

masa

(21)

Iloczyn skalarny Iloczyn skalarny

Praca

Praca F r o s

= r W

AB s =

Wektor przesunięcia r

Wektor si Wektor sił ły y

F

A B

φ

W = F s cos W = F s cos φ φ

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Iloczyn wektorowy Iloczyn wektorowy:

1. Moment si

1. Moment sił ły (ang. y (ang. torque torque) )

F r τ r r r

×

=

p r L r r r

×

=

2. Moment p

2. Moment pę ędu (ang. du (ang. angular angular momentum

momentum) )

r F

L

r

(22)

Iloczyn wektorowy:

3. Siła Lorentza (ang. magnetic force) – siła działająca na ładunek q poruszający się w polu magnetycznym o wektorze indukcji B

B v F r r r

×

= q

To jest definicja wektora indukcji pola

magnetycznego

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Okreś Okre ślanie zwrotu iloczynu wektorowego : lanie zwrotu iloczynu wektorowego :

(23)

Pole magnetyczne zakrzywia tor ruchu

Pole magnetyczne zakrzywia tor ruchu ł ładunku adunku elektrycznego.

elektrycznego.

p - p - skok skok ś śruby ruby

r - r - promień promie ń śruby ś ruby

T v p =

B r qv

mv ²

⊥ = ⊥

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Zadanie 2 Zadanie 2- -4 4

Rozwa

RozwaŜ Ŝ yć y ć szczegó szczeg ólne przypadki ruchu cz lne przypadki ruchu czą ąstki stki nał na ładowanej w polu magnetycznym, gdy: adowanej w polu magnetycznym, gdy:

a) a) wektor prę wektor pr ędko dkoś ści jest r ci jest ró ównoleg wnoległ ły do wektora y do wektora indukcji magnetycznej

indukcji magnetycznej

b) b) wektor prę wektor pr ędko dkoś ści jest prostopad ci jest prostopadł ły do y do wektora indukcji magnetycznej

wektora indukcji magnetycznej Odpowiedzie

Odpowiedzieć ć na pytania: jaka sił na pytania: jaka si ła dzia a dział ła na a na cz

czą ąstk stkę ę i jaka krzywa opisuje tor ruchu i jaka krzywa opisuje tor ruchu

czą cz ąstki. stki.

(24)

Zastanowi

Zastanowić ć si się ę nad innymi zastosowaniami nad innymi zastosowaniami rachunku wektorowego zar

rachunku wektorowego zaró ówno w matematyce wno w matematyce jak i fizyce. Poszuka

jak i fizyce. Poszukać ć informacji na temat iloczynu informacji na temat iloczynu mieszanego oraz podw

mieszanego oraz podw ójnego ó jnego iloczynu iloczynu wektorowego czyli:

wektorowego czyli:

) ( c b a r r

o

r × a r ( c b r r )

×

Zadanie 2 Zadanie 2- -5 5

Pole magnetyczne nie zmienia energii kinetycznej cząstki naładowanej poruszającej się w tym polu

v v r

o r 2 E _k = m

dt m d dt

d 2 m dt

dE _k v

v v

v

r o r r

o

r =

=

ale v a F r

r r

=

= m dt m d

czyli q ( )

dE dt _k v F v v r B r o

r r o

r = ×

=

0

(25)

TEST 2P

1. Wektor o długości 20 dodano do wektora o długości 25.

Długość wektora będącego sumą wektorów moŜe być równa:

A) zero B) 3 C) 12 D) 47 E) 50

2. Wektory i leŜą na płaszczyźnie xy. MoŜemy wnosić, Ŝe jeŜeli:

A) D)

B) E) C)

ar br b a r

r =

2 2 2 2

y x y

x

a b b

a + = +

y x y

x

a b b

a + = +

y y x

x

b i a b

a = =

x y x

y

a b b

a / = /

y x y

x

a i b b

a = =

3. JeŜeli to ma wartość:

A) 10 m B) 20 m C) 30 m D) 40 m E) 50 m 4. Kąt pomiędzy wektorem a dodatnim

kierunkiem osi OX wynosi:

A) 29

^o

B) 61

^o

C) 119

^o

D) 151

^o

E) 209

^o

5. Dwa wektory, których początki się pokrywają, tworzą

pewien kąt. JeŜeli kąt pomiędzy tymi wektorami zwiększy się o 20

^o

to iloczyn skalarny tych dwóch wektorów

zmienia znak na przeciwny. Kąt, który początkowo tworzyły te dwa wektory wynosi:

j i

a r = ( 6 m ) ˆ − ( 8 m ) ˆ 4 ar

j i

a r = ( − 25 m ) ˆ + ( 45 m ) ˆ

(26)

wektorów jest prostopadły do tej płaszczyzny:

A) D) B) E) C)

7. Wartość wynosi:

A) zero B) +1 C) -1 D) 3 E) √3 k

j

i ˆ ( 6 ) ˆ ( 13 ) ˆ )

4 ( m + m + m

k j

i ˆ ( 6 ) ˆ ( 13 ) ˆ )

4 ( − m + m + m k j

i ˆ ( 6 ) ˆ ( 13 ) ˆ )

4 ( m − m + m

k j

i ˆ ( 6 ) ˆ ( 13 ) ˆ )

4 ( m + m − m

j i ˆ ( 6 ) ˆ )

4 ( m + m

ˆ ) ( ˆ

ˆ j k

i o ×

TEST 2A

1. A vector of magnitude 3 CANNOT be added to a vector of magnitude 4 so that the magnitude of the resultant is:

A) zero B) 1 C) 3 D) 5 E) 7

2. A vector has a magnitude of 12. When its tail is at the origin it lies between the positive x axis and negative y axis and makes an angle of 30

^o

with the x axis. Its y component is:

A) 6√3 B)-6 √3 C) 6 D) -6 E) 12 3. A vector has a component of 10 in the +x direction, a

component of 10 m in the +y direction, and a component

of 5 m in the +z direction. The magnitude of this vector

(27)

between them when they are drawn with their tails at the same point is 65

^o

. The component of the longer vector along the line of the shorter is:

A) 0 B) 4.2 C) 6.3 D) 9.1 E) 14 5. If the magnitude of the sum of two vectors is less than

the magnitude of either vector, then:

A) the scalar product of the vectors must be negative B) the scalar product of the vectors must be positive C) the vectors must be parallel and in opposite directions D) the vectors must be parallel and in the same direction E) none of the above

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

reguła równoległoboku

Metoda postępowania

równia pochyła, rzut ukośny, itp . wektory

składowe rozkład wektora

algebra wektorów, dowodzenie

twierdzeń wektor

odejmowanie

wypadkowe przemieszczenie,

wypadkowa siła wektor

dodawanie

Zastosowanie Wynik

Działanie

b a r r +

b a r r

−

Podsumowanie

(28)

równo- ległość wektorów równo- ległość wektorów prosto- padłość wektorów W matema- tyce

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

RACHUNEK WEKTOROWY W RACHUNEK WEKTOROWY W

FIZYCE FIZYCE

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

• • Poję Poj ęcie wektora cie wektora

• • Dział Dzia ł ania na wektorach ania na wektorach

• • Wektor w kartezjań Wektor w kartezja ńskim uk skim ukł ł adzie adzie wspó wsp ół ł rzę rz ędnych dnych

• • Przykł Przyk ł ady wykorzystania wektoró ady wykorzystania wektor ów i dzia w i dział ła a ń ń na nich w fizyce

na nich w fizyce

Plan Plan

Poj Poj ę ę cie wektora cie wektora ar − ar

Wektor ma trzy cechy:

Wektor ma trzy cechy:

1. Kierunek 1. Kierunek

2. Zwrot 2. Zwrot 3. Warto 3. Wartość ść (dł (d ługo ugość ść) )

a

=

−

= a a r r

DŁ D ŁUGO UGOŚĆ ŚĆ WEKTORA WEKTORA

O O ś ś liczbowa liczbowa

ar aˆ

Wersor

Wersor jest to jest to wektor jednostkowy wektor jednostkowy

aˆ 5

Dł D ługo ugość ść wektora wektora

Ogó Og ólnie: lnie:

ˆ = 1 a

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

A punkt przy

A punkt przył ło oŜ Ŝenia? enia?

Ruch Ruch postę post ępowy powy

Ruch Ruch obrotowy obrotowy

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Dział Dzia łania na wektorach ania na wektorach

• •Dodawanie Dodawanie

• •Odejmowanie Odejmowanie

• •Mno MnoŜ Ŝenie: enie:

• •Iloczyn wektora przez liczb Iloczyn wektora przez liczbę ę

•

•Iloczyn skalarny dw Iloczyn skalarny dwó óch wektor ch wektoró ów w

• •Iloczyn wektorowy dw Iloczyn wektorowy dwó óch wektor ch wektoró ów w

Dodawanie wektor Dodawanie wektor ów ó w

ar b

r

b a r r

+

Odejmowanie wektor Odejmowanie wektoró ów w

b r

b ar

a r r

−

) ( b a

b

a r r r r

− +

=

−

b r

−

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

Reguł Regu ła r a ró ównoleg wnoległ łoboku oboku

b r

ar a r + b r

b a r r

−

Przedmiot: Fizyka Przedmiot: Fizyka

WEKTOR WYPADKOWY WEKTOR WYPADKOWY

np. wypadkowe np . wypadkowe

przemieszczenie,

przemieszczenie,

wypadkowa si

wypadkowa sił ła a

Rozk Rozkł ład wektora ad wektora

ar l

ar k ar

k

l

l

k a

ar ^b

ar _a ^r ₊ _b ^r

ar ^a ^b

φ=90 ⁰

a ⁰ =

ILOCZYN SKALARNY - - KONSEKWENCJE KONSEKWENCJE φ=0 ⁰