TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA

(1)

1

Lech Longa

pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej

e-mail: lech.longa@uj.edu.pl Dyżury: poniedziałki 14 -15.50

można się umówić wysyłając e-maila

TERMODYNAMIKA

I FIZYKA STATYSTYCZNA

(2)

2

Jeden mol substancji (czyli typowy makroskopowy układ) zawiera N ≈ 6,022 · 10²³ cząstek.

Odpowiada to 12 gramom węgla lub około 2 do 100 gramów gazu, w zależności od jego rodzaju. W temperaturze pokojowej i pod ciśnieniem atmosferycznym 1 mol gazu zajmuje około 24,6 litra objętości.

Ponieważ nawet problem trzech ciał nie ma ogólnego rozwiązania w formie zamkniętej, obliczenie właściwości systemów tej wielkości jest beznadziejnie skomplikowane. Jednak, jak zobaczymy w trakcie tego wykładu, duże

systemy są szczególnie podatne na obróbkę statystyczną.

W reżimie granicy termodynamicznej, gdzie liczba cząstek N→ ∞, opis staje się łatwiejszy - o ile interesują nas tylko statystyczne właściwości systemu jako całości. To jest główna motywacja stojąca za fizyką statystyczną i termodynamiką.

Metody fizyki statystycznej znajdują zastosowania, między innymi, w kosmologii, astrofizyce, fizyce fazy skondensowanej, biofizyce molekularnej, socjofizyce i w prawie wszystkich innych działach fizyki.

(3)

?

(4)

(5)

(6)

Używamy pojęć i obserwujemy zjawiska w skali makroskopowej, które wyprowadza się z

praw mikroskopowych

(oddziaływań między cząsteczkowych) gdzie te pojęcia i zjawiska

nie mają, apriori sensu

(7)

7

Termodynamika oraz Fizyka Statystyczna zajmują się mdzn. zjawiskami emergentnymi

(8)

8

1. Kopia wykładów ( http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/wp/?page_id=619 ) 2. K. Zalewski, Wykłady z termodynamiki

fenomenologicznej i fizyki statystycznej.

3. J. Werle, Termodynamika Fenomenologiczna.

4. A. I. Anselm, Podstawy fizyki statystycznej i termodynamiki.

5. Kerson Huang, Mechanika Statystyczna. (4) 6. M. Toda, R. Kubo, N. Saitô Statistical Physics I,

Statistical Physics II.

7. D.J. Amit and Y. Verbin, Statistical Physics, An Introductory Course

8. J. D. Walecka, Introduction to Statistical Mechanics

LITERATURA 2

(9)

9

Plan wykładów:

• Podstawy rachunku prawdopodobieństwa;

• Procesy stochastyczne (procesy Markova)

• Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej:

postulatów będących uogólnieniem obserwacji empirycznych, a znanych jako zasady termodynamiki.

• Konsekwencje zasad termodynamiki

3

(10)

10

Plan wykładów: 4

• Omówienie podstaw fizyki statystycznej: pojęcie entropii Boltzmana oraz temperatury absolutnej;

rozkłady używane w fizyce statystycznej, ich pochodzenie i własności;

• Wstęp do teorii informacji (entropia informacyjna i jej własności).

• zastosowania do konkretnych układów kwantowych oraz klasycznych

( gazy kwantowe, kondensacja Bosego-Einsteina, model Isinga i przejścia fazowe)

• Elementy termodynamiki nierównowagowej (produkcja entropii, relacje Onsagera).

(11)

Wyk ład 1

Elementy teorii rachunku prawdopodobieństwa

Plan:

1. Definicja aksjomatyczna i `praktyczna`

2. Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa 3. Funkcje rozkładu; rozkład Gaussa

4. Funkcje charakterystyczne; rozwinięcie kumulantów 5. Centralne twierdzenie graniczne.

(12)

Aksjomatyka rachunku prawdopodobieństwa

12

Przestrzeń zdarzeń elementarnych:

(13)

13

Podstawowe działania na zdarzeniach i ich interpretacja

(`język` rachunku prawdopodobieństwa)

(14)

Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa

A Ω

14

B

Ściślej: definiujemy rodzinę podzbiorów 𝓕𝓕 zbioru Ω:

i ∅ ∈ 𝓕𝓕 ii 𝐴𝐴 ∈ 𝓕𝓕 ⇒ ̅𝐴𝐴 ∈ 𝓕𝓕 (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐴₁, 𝐴𝐴_2⋅… ∈ 𝓕𝓕 ⇒ � 𝐴𝐴_𝑛𝑛 ∈ 𝓕𝓕 Wtedy (Kołmogorow) funkcję P: 𝓕𝓕 → 0,1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

prawdopodobieństwem, jeśli (i) P(Ω) =1

(ii) dla dowolnych parami rozłącznych 𝐴𝐴₁, 𝐴𝐴_2⋅… ∈ 𝓕𝓕 zachodzi P(� 𝐴𝐴_𝑛𝑛) = ∑_𝑛𝑛𝑃𝑃(𝐴𝐴_𝑛𝑛) (trójkę (Ω, 𝓕𝓕, P) nazywamy

przestrzenią probabilistyczną

dowolna przeliczalna rodzina zbiorów

A ∈ ℱ

uwaga:

modelując konkretne doświadczenie losowe warunki doświadczenia nie zawsze w sposób jednoznaczny zadają przestrzeń probabilistyczną (porównaj paradoks Bertranda

omawiany na ćwiczeniach)

(15)

15

Ω

A A

(16)

16

Praktyczna `definicja`:

Zliczamy próby n(A,N) przy których zaszło zdarzenie A i dzielimy przez całkowitą liczbę wszystkich prób N;

Obowiązuje tutaj prawo wielkich liczb mówiące, że:

𝑃𝑃 lim_{𝑁𝑁→∞}^{𝑛𝑛(𝐴𝐴,𝑁𝑁)}_𝑁𝑁 = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 1

(17)

17

Prawdopodobieństwo warunkowe

(N_A)

A B

Bardzo ważne pojęcie przy badaniu procesów stochastycznych;

(będzie odgrywać rolę lokalnych prawdopodobieństw przejść)

Ω

(Przypuśćmy, że wiemy o zajściu zdarzenia A. Co – dysponując tą wiedzą –

możemy powiedzieć o prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia B. Prawdopodobieństwo to oznaczamy jako P(B/A) i nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym zajścia B pod warunkiem, że zaszło A.

(twierdzenie Bayesa)

(N_B∩A)

(18)

18

Ważne przy analizie tw. Bayesa

B

Ω

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

(19)

19

Twierdzenie Bayesa

B

Ω

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

Twierdzenie Bayesa ma bezpośrednie zastosowanie przy analizie procesów stochastycznych;

Równanie Master (które będziemy omawiać) jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia

(20)

20

Ilustracja zastosowania twierdzenia Bayesa:

Pytanie dodatkowe: Zakładając, że 3 testy pod rząd dały wynik pozytywny,

jakie jest prawdopodobieństwo że dana osoba jest rzeczywiście chora

(21)

21

Niezależność statystyczna

= P(B), gdy B nie zależy od A Przykład: rzucanie uczciwą kostką

(22)

22

Perkolacja

(Wolfram demo)

(23)

23

Perkolacja

(Wolfram demo)

(24)

24

(podstawowy model agregacji: `EDEN model`) Ewolucja klastra odbiega kształtem od koła;

brzeg ewoluującego obszaru jest nieregularny

(25)

25

Funkcje Rozkładu:

(26)

26

UWAGA: podany przepis zawiera w sobie przypadek dyskretny;

np. jeśli

(27)

27

( )

(28)

28

Momenty rozkładu:

< x>: pozycja 'środkamasy'rozkładu

<x>

(29)

29

. . .

Rozkłady zawężone(brzegowe)

: 𝜌𝜌 𝑥𝑥 = � 𝜌𝜌 𝑥𝑥, 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛

Nomenklatura:a

(30)

30

= 1 na przedziale [0,1]x[0,1]

punkty losowane z podanym powyżej

rozkładem

(31)

31

Funkcja charakterystyczna rozkładu:

Ma sens tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny; momenty wyższe niż pierwszy mogą nieistnieć a mimo to f(k) będzie istnieć

Transformata Fouriera (bądź Laplaca) f-cji rozkładu

Przykład (rozkład Caychy’ego znany także jako r. Breita-Wignera)

(32)

32

Własności f-cji charakterystycznej:

: jeśli istnieje

W praktyce wielokrotnie znamy f(k) analitycznie,

natomiast nie znamy rozkładu

Trywialne uogólnienie

na przyp. wielowymiarowy

(33)

33

(34)

34

Rozwinięcie Kumulantów

(bardzo ważny wzór w fizyce statystycznej, wykorzystywany do r. perturbacyjnych)

-

Problem: znaleźć algorytm generujący kolejne

kumulanty

(35)

Wyprowadzić wzór na czynnik normalizujący rozkład Gaussa 35

(36)

36

Rozkład sumy zmiennych losowych i Centralne Twierdzenie Graniczne:

Często pojawiające się zagadnienie w fizyce statystycznej:

< v₁² + v₂² + ... + v_N² > : średniaprędkość

< H₁ + H₂ + ... + H_N > : średnia energia

nieoddziaływujących cząstek Pod średnią mamy sumę niezależnych

zmiennych losowych. Można zapytać

jaki rozkład prawdopodobieństwa ma suma (jeśli znamy rozkład pojedynczej zmiennej losowej wchodzącej do sumy)

(37)

37

conajmniej dwa pierwsze momenty

(38)

38

• Rozkład Gaussa w granicy dużych N

•Dyspersja rozkładu zachowuje się jak:

Wzór podaje również oszacowanie na <x>:

Y_N

(39)

39

Zamiast dowodu ilustracja jak duże musi być N w praktyce:

1 X

1

𝜌𝜌_𝑌𝑌_𝑁𝑁 𝑛𝑛 =

(40)

40

N=2

: ścisły (z)

:

przybliżony (cz)

(41)

41

N=3

: ścisły (z)

: przybliżony (cz)

(42)

42

Jak dobrze pracuje

CTG? (programy dostępne na stronie kursu)

(43)

43

Materiał do

samodzielnych studiów

(dla zainteresowanych)

(44)

44

Zamiana zmiennych w rozkładach

Przypadek jednowymiarowy:

Przypuśćmy, że transformacja współrzędnych x→z dana jest za pomocą funkcji z=z(x).

Jaki to generuje związek między zmiennymi losowymi X, Z?

Pytanie:

jaka jest gęstość prawdopodobieństwa g(z) jeśli znana jest gęstość

prawdopodobieństwa f(x).

Problem ten jest zilustrowany na rysunku:

|g(z) dz| = |f(x) dx|

zatem

𝑔𝑔 𝑛𝑛 = | ^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝑑𝑑} | f(x)

z

x

z=z(x)

f(x) g(z)

(45)

45

(46)

46

zadanie : uogólnićformułę z deltą Diraca

(47)

47

PRZYKŁADY:

(48)

48

Przykłady na f-cje charakterystyczne

(a) Rozkład Levy’ego

Jest to rozkład dla którego funkcja charakterystyczna ma postać:

(49)

49

(0,1)

θ

(50)

50

Funkcja charakterystyczna

wyprowadzić

(51)

(52)

52

Centralne twierdzenie Graniczne

vs funkcje charakterystyczne

(53)

53

Dalsze wykorzystanie funkcji charakterystycznej f(k):

(badanie rozkładu sumy niezależnych zmiennych losowych)

(54)

54

przykład: rozkład dwumienny:

(modelem może być rzut monetą lub błądzenie przypadkowe)

(55)

55

(56)

56

(57)

57

Rozkłady stabilne (nieskończenie

podzielne)

(58)

58

Są to ważne rozkłady w zastosowaniach, szczególnie w:

•Teorii procesów stochastycznych

•Teorii zjawisk krytycznych

(59)

59

Przykład: rozkład Gaussa

Dla rozkładu Gaussa mamy więc znacznie ogólniejszą sytuację (pokazać)

(60)

60

I znowu podejście od strony funkcji

charakterystycznych pozwala rozwiązać zagadnienie rozkładów stabilnych całkiem ogólnie:

W.K.W. na to aby mieć r. stabilny:

(61)

61

Przykłady:

(a) Rozkład Gaussa

(62)

62

Przykłady:

(a) Rozkłady Levy’ego

(63)

63

Dziękuję za uwagę