#7. Zadania z analizy IB, ćwiczenia 02.12, kolokwium 03.12 1. Stosując kryterium porównawcze, zbadaj zbieżność następujących szeregów:
∞
X
n=1
sin π 2n,
∞
X
n=1
1 + n 1 + n2,
∞
X
n=0
1
(n + 1)(n + 4),
∞
X
n=1
tg 4−n,
∞
X
n=2
1 log n,
∞
X
n=1
1 3n − 1,
∞
X
n=1
√n + 1 −√ n
n ,
∞
X
n=1
√
n + 1 −√ n,
∞
X
n=1
log n
√4
n5,
∞
X
n=1
1 n2+ 2n,
∞
X
n=1
1 + n2 1 + n3
2
.
2. Stosując kryterium d’Alemberta, udowodnij zbieżność szeregów:
∞
X
n=0
1 (2n + 1)!,
∞
X
n=1
n 2n,
∞
X
n=1
n tg π 2n,
∞
X
n=1
n2 3n,
∞
X
n=1
n2sin π 2n,
∞
X
n=1
n (n + 1)!,
∞
X
n=1
2nn!
nn ,
∞
X
n=1
nn 3nn!,
∞
X
n=1
nn en2,
∞
X
n=1
100n n! . 3. Stosując kryterium Cauchy’ego, udowodnij zbieżność szeregów:
∞
X
n=2
1 lognn,
∞
X
n=1
n 2n + 1
n
,
∞
X
n=1
arshn1 n,
∞
X
n=1
(n+1n )n2 3n . 4. Niech będą dane dwa ciągi an > 0 i bn > 0, takie że limn→∞ abn
n = c > 0. Pokaż, że szeregi P∞n=1an i P∞n=1bn są równocześnie zbieżne lub rozbieżne. Pokaż tym sposobem, że szeregP∞n=1sinn1 jest rozbieżny.
5. Zbadaj zbieżność szeregów: P∞n=1log(1+1/n)log(n+1) iP∞n=1log(1+1/n)
log2(n+1). 6. Dla jakich x > 0 szereg P∞n=1nlog x jest zbieżny?
7. Zbadaj zbieżność szeregu P∞n=2log n!1 .
8. Niech γn=Pnk=11k− log n. Czy szereg Pk=1∞ γnn jest zbieżny? A szeregP∞k=1γn? 9. Zbadaj zbieżność szeregów
∞
X
n=1
1 + 1
n
n2
,
∞
X
n=1
1 − 1
n
n2
,
∞
X
n=1
1 +1
n
n
,
∞
X
n=1
1 − 1
n
n
.
10. Niech an 0. Udowodnij, że jeśli P∞n=1an < ∞, a ciąg {dn} jest ograniczony, to szeregP∞n=1dnan jest zbieżny.
11. Udowodnij, że dla |q| < 1 jest P∞k=1kqk= (1−q)q 2.
12. Niech a0 = e i an+1 = sin an. Udowodnij, że a) szereg P∞n=1(−1)nan jest zbieżny;
b) szeregP∞n=1(−1)n√n
a1a2. . . an jest zbieżny.
13. W szeregu harmonicznym stawiamy znak minus przy wyrazach o numerach postaci n = 2k, a pozostałe wyrazy pozostawiamy bez zmian. Wykaż, że tak otrzymany szereg jest rozbieżny.
14. Oblicz sumę szeregu P∞k=0(−1)k2−k.
