a n = 2n − 1 2n + 2

Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy

Zestaw A1 Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu

a _n =  2n − 1 2n + 2

 n

Rozwi¸ azanie

n→∞ lim

 2n − 1 2n + 2

 n

= lim

n→∞

"



1 − 3 2n + 2

 2n+2 # 1/2 n→∞ lim



1 − 3 2n + 2

 −1

= e ^−3/2 St¸ ad

n→∞ lim

 2n − 1 2n + 2

 n

= lim

n→∞ e ⁻

= 0 Zadanie 2

Prosz¸e sprawdzić, czy wykres funkcji

f (x) = x − 1 lnx posiada asymptoty pionowe.

Rozwi¸ azanie

Dziedzin¸ a funkcji jest zbiór

D _f = (0, 1) ∪ (1, ∞) Obliczamy granice:

lim

x→0

x − 1

lnx = −1

−∞ = 0

x→1 lim x − 1

lnx = H = lim

x→1

1

1/x = lim

x→1 x = 1

1

Wykres funkcji f nie posiada wi¸ec asymptot pionowych.

Zadanie 3

Prosz¸e znaleźć najmniejsz¸ a i najwi¸eksz¸ a wartość funkcji f (x) = x − sin ² x na przedziale [0, 2π].

Rozwi¸ azanie

Metoda pierwsza - nie stosujemy rachunku różniczkowego.

Zauważmy najpierw, że różnica funkcji x i sin ² x jest wi¸eksza lub równa 0. Różnica dwóch funkcji f − g jest najmniejsza co do wartości bezwgl¸ednej na danym przedziale, gdy funkcje f i g przyjmuj¸ a wartości najmniejsze na tym przedziale. To zachodzi dla dla x = 0,bo wtedy f (0) − g(0) = 0 − sin ² 0 = 0

Różnica dwóch funkcji f − g jest najwi¸eksza co do wartości bezwgl¸ednej na danym na przedziale, wtedy i tylko wtedy, gdy f przyjmuje wartość najwi¸eksz¸ a na tym prze- dziale, zaś funkcja g wartość najmniejsz¸ a na tym przedziale tzn. gdy x = 2π, bo wtedy f (π) − g(π) = π − sin ² π = π − 0 = π

Funkcja f jest ci¸ agła na przedziale [0, 2π]( jako różnica dwóch funkcji ci¸ agłych),wi¸ec na podstawie twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów - przyjmuje sw¸ a wartość najmniejsz¸ a równ¸ a 0 i sw¸ a wartość najwi¸eksz¸ a równ¸ a 2π na tym przedziale.

Metoda druga - stosujemy rachunek różniczkowy.

Obliczamy pochodn¸ a funkcji f .

f ⁰ (x) = 1 − 2 sin x cos x = 1 − sin 2x = 0 ↔ 2x = π

2 + 2kπ, k ∈ Z Do przedziału [0, 2π] należ¸ a x = ^π ₄ , x = ⁵ ₄ π.

f (0) = 0, f (π/4) = ^π ₄ − ¹ ₂ > 0, f (5π/4) = ⁵ ₄ π − ¹ ₂ > 0, f (2π) = 2π − 0 = 2π.

Czyli f min = f (0) = 0 , f max = f (2π) = 2π.

Zadanie 4

Prosz¸e wyznaczyć styczn¸ a do krzywej

y = 1

√ x

2

w punkcie jej przeci¸ecia z prost¸ a o równaniu x − 8y = 0.

Rozwi¸ azanie

Dziedzin¸ a funkcji f jest półprosta otwarta (0, ∞).

Znajdujemy współrz¸edne punktu wspólnego krzywej i prostej.

y = 1

√ x = x

8 = y ↔ x x √

x = x

8 ↔ x ^3/2 = 8 ↔ x = 4

f ⁰ (x) = − 1 2x √

x , f ⁰ (4) = − 1

16 , f (4) = 1 2 Równanie stycznej

y − f (p) = f ⁰ (p)(x − p), y − 1

2 = − 1

16 (x − 4) ↔ x + 16y − 12 = 0

Zadanie 5 Prosz¸e obliczyć

Z cos x 3 + cos ² x dx Rozwi¸ azanie

Przekształcamy mianownik funkcji podcałkowej, stosuj¸ ac podstawienie cos ² x = 1−sin ² x.

Z cos x

3 + cos ² x dx =

Z cos x

+ sin ² x dx, y = sin x, dy = cos xdx, =

Z dy

4 − y ² = 1 4

Z dy 2 − y +

Z dy 2 + y



= 1

4 [−ln|2 − y| + ln|2 + y|]+C = 1 4 ln

2 + y 2 − y    

+C = 1 4 ln

2 + sin x 2 − sin x    

+C = ln

s 

2 + sin x 2 − sin x    

+C

Zadanie 6

Prosz¸e obliczyć obj¸etość bryły otrzymanej przez obrót wokół osi Ox pola zawartego mi¸edzy wykresem funkcji

f (x) = √

xe ^x

3

a osi¸ a Ox dla x ∈ [0, 1].

Rozwi¸ azanie

Stosujemy wzór na obj¸etość bryły obrotowej

|V (a, b)| = Z b

a

πf ² (x)dx

|V (0, 1)| = Z 1

0

π( √

xe ^x ) ² dx = π Z 1

0

xe ^2x dx = π Z 1

0

x( 1

2 e ^2x ) ⁰ dx = przez czesci = [π 1

2 xe ^2x | ¹ ₀ +

−π 1 2

Z 1 0

1 · e ^2x dx = π 1

2 xe ^2x | ¹ ₀ − π 1

4 e ^2x | ¹ ₀ = π 1

2 e ² − π 1

4 e ² + π 1 4 = π

4 [e ² + 1]

4