Wykład 6

Metody numeryczne w fizyce

FZP002934wcL

rok akademicki 2019/20 semestr letni

Wykład 6

Karol Tarnowski

karol.tarnowski@pwr.edu.pl L-1 p. 220

• Równanie Laplace’a

• Metoda relaksacji

• Przykłady

• Równanie Poissona

Plan wykładu

• metoda relaksacji

Równanie Laplace’a

  

+ + =

  

2 2 2

2 2 2 0

V V V

x y z

( ^{, ,} )

V x y z

Dyskretyzacja pierwszej pochodnej

( ⁺ ) ⁻ ( )

 

 _{, ,} 

1, , , ,

i j k

V i j k V i j k V

x x

( ^{, ,} ) ^ ( ^{ ,  , } )

V i j k V i x j y k z

( ) ⁻ ( ⁻ )

 

 _{, ,} 

, , 1, ,

i j k

V i j k V i j k V

x x

( ⁺ ) ⁻ ( ⁻ )

 

 _{, ,} 

1, , 1, ,

i j k 2

V i j k V i j k V

x x

Dyskretyzacja drugiej pochodnej

+ −

 − 

 

 

 

2 1/2, , 1/2, ,

2

, ,

i j k i j k

i j k

V V

x x

V

x x

+ −

 − − 

   − 

  

  

2 1, , , , , , 1, ,

2

, ,

1 _{i j k i j k i j k i j k}

i j k

V V V V

V

x x x

x

( )

+ − + −

 

 

2 1, , , , 1, ,

2 2

, ,

i j k 2 i j k i j k

i j k

V V V

V

x x

Równanie Laplace’a

 +  +  =

  

2 2 2

2 2 2 0

V V V

x y z

( ) ( ) ( )

1, , , , 1, ,

2

, 1, , , , 1,

2

, , 1 , , , , 1

2

2

2

2 0

i j k i j k i j k

i j k i j k i j k

i j k i j k i j k

V V V

x

V V V

y

V V V

z

+ −

+ −

+ −

− +

 +

− +

 +

− +

 =

+ − + − + −

 + + + + +  =

 ^{1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1} ^{, ,}

1

6 V ^{i j k} V ^{i j k} V ^{i j k} V ^{i j k} V ^{i j k} V ^{i j k} V ^{i j k}

Równanie Laplace’a

Metoda relaksacji

→ → →

0 1 2

, , , , , ,

i j k i j k i j k

V V V

 

 =   +  +  

2 2 2

2 2 2

V V V V

t D x y z

( ^{, , ,} )

V x y z t

( ^{, , ,0}) ^→ ( ^{, , , → })

V x y z V x y z t

Równanie Laplace’a

Metoda Jacobiego

+

+ − + −

 

=  + + + 

1

, 1, 1, , 1 , 1

1 4

n n n n n

i j i j i j i j i j

V V V V V

Równanie Laplace’a

Przykład 1. Potencjał między równoległymi płytkami

Równanie Laplace’a

Przykład 2.

Równanie Laplace’a

Przykład 3. Kondensator płaski

• metoda Jacobiego

• metoda Gaussa-Seidla

Równanie Laplace’a

+

+ − + −

 

=  + + + 

1

, 1, 1, , 1 , 1

1 4

n n n n n

i j i j i j i j i j

V V V V V

+ + +

+ − + −

 

=  + + + 

1 1 1

, 1, 1, , 1 , 1

1 4

n n n n n

i j i j i j i j i j

V V V V V

Równanie Laplace’a

Przykład 4. Ładunek punktowy





 +  +  = −

  

2 2 2

2 2 2

0

V V V

x y z

( )





+ −

+ −

+ −

 + +

  

 

= + + +

 

 + 

 

1, , 1, , 2

, ,

, , , 1, , 1,

0

, , 1 , , 1

1 6

i j k i j k

i j k

i j k i j k i j k

i j k i j k

V V

V V V x

V V

( ) ⁼ _^

4 0

V r r