Metody numeryczne w fizyce

Metody numeryczne w fizyce

FZP002934wcL

rok akademicki 2019/20 semestr letni

Wykład 3

Karol Tarnowski

karol.tarnowski@pwr.edu.pl

L-1 p. 220

• Zagadnienie początkowe

• Metoda Eulera

• Metody Rungego-Kutty

– metoda Heuna

– metoda punktu pośredniego – metody rzędu czwartego

Plan wykładu

Typowe zagadnienie początkowe opisane jest równaniem

W zagadnieniu początkowym może występować więcej zmiennych

Zagadnienie początkowe

   

 , ,



. df g t f f t f dt

   

 , ,



.

d t t

dt

f g f f f

Metoda Eulera

   

 , ,



. df g t f f t f dt

 





  



1 1

,

n n

n n n

n n

f f

g t f g

t t







1

n n

n

f f

h g

 

₁

  

n n n

f f hg O h

Metoda Eulera

U U

dN N

dt ^{ } 

Metoda Heuna

U U

dN N

dt ^{ } 

Metoda Heuna

 ^  ^   ^ 

^



1

f t h f t 2 k k  

 



  

1

2 1

,

, k hg t f

k hg t h f k

Metoda punktu pośredniego

U U

dN N

dt ^{ } 

Metoda punktu pośredniego

 ^  ^   ^

f t h f t k ^  

 

    

 

1

1 2

,

2 , 2 k hg t f

h k

k hg t f

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

 ^  ^   ^ 

^



1

f t h f t 2 k k    

   



  

1

2 1

,

, k hg t f t

k hg t h f t k

 ^  ^   ^

f t h f t k

   

 



 

    

 

1

1 2

,

2 , 2

k hg t f t h k

k hg t f t

 ^  ^   ^{ }

^{ }

f t h f t k k    

 ^   ^ 



  

1

2 21 21 1

,

, k hg t f t

k hg t h f t k

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

 ^  ^   ^

^ 2

^  

df h d f

f t h f t h O h

dt dt

 

 ,

df g t f dt

 ^  ^   ^  ^,    ^ ₂

^  

t

f t h f t hg t f t h d g O h dt

 ^  ^   ^     ^{ }   ^  ^{ }  ^   ^  

2 3

, 2

h g g df

f t h f t hg t f t O h

t f dt

 ^  ^   ^{ }

^{ }

f t h f t k k

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

     

 ^{ } 

 

    

2 21

,

,

k h g t h f t hg t f t

   

1

 ,

k hg t f t

    ^{ }  ^{ }   

   

         

2

2

,

,

t t

g g

k h g t f t h hg t f t O h

t f

    ^{   }  ^{ }   

   

 

2 2 3

2

,

,

t t

g g

k hg t f t h h g t f t O h

t f

 ^   ^ 

 

    

2 21

,

k h g t h f t k

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

         ^{ } 

 

 

 

    

   

        

1 2

2 3

2 21

, ,

t

f t h f t hg t f t hg t f t

g g

h g O h

t f

    ^{    }  

         

2 3

2

,

t

g g

k hg t f t h g O h

t f

    ^{   }  ^{ }   

   

 

2 2 3

2

,

,

t t

g g

k hg t f t h h g t f t O h

t f

   

1

 ,

k hg t f t

 ^  ^   ^{ }

^{ }

f t h f t k k

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

         

 

 

 

    

   

        

1 2

2 3

2 21

,

t

f t h f t hg t f t

g g

h g O h

t f

 ^  ^   ^     ^{ }   ^  ^{ }  ^   ^  

2 3

, 2

h g g df

f t h f t hg t f t O h

t f dt

 

 

 

 

 



1 2

2 21

1 1 2







 

 

  



1 21 2 21

21

1







 

 

  



1 2

21 12

0

1

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

₂₁

₁ ₂

 

 

 

 

 



1 2

2 21

1 1 2







 

 

  



1 21 2 12

21

1







 

 

  



1 2

21 12

0 1

 ^  ^   ^{ }

^{ }

f t h f t k k    

 ^   ^ 



  

1

2 21 21 1

,

, k hg t f t

k hg t h f t k

1

½ ½

½

0 1

Metody Rungego-Kutty

 ^  ^   ^{ }

^{ }

^{  }

f t h f t k k k

   

   

   

 

 

   

 

 

 



  

    

 

    

   

1

2 21 21 1

3 31 32 31 1 32 2

1 1

1 1

,

,

,

n

,

n ni ni i

i i

k hg t f t

k hg t h f t k

k hg t h h f t k k

k hg t h f t k

Metoda Rungego-Kutty rzędu czwartego

½

0 ½

0 0 1

1/6 1/3 1/3 1/6

     

   

 

 

   

     



 

      

 

      

  

1 2 3 4

1

2 1

3 2

4 3

1 2 2

6 ,

1 1

2 , 2

1 1

2 , 2

,

f t h f t k k k k

k hg t f t

k hg t h f t k

k hg t h f t k

k hg t h f t k