Metody numeryczne Grzegorz Graczyk, 150875 Paweł Tarasiuk, 151021

Metody numeryczne

Grzegorz Graczyk, 150875 Paweł Tarasiuk, 151021

Interpolacja funkcji metodą Aitkena

Informacje o metodzie

Metoda Aitkena jest ściśle związana z interpolacyjnym wzorem Lagrange’a. Jest to metoda wyznaczania wartości wcześniej wspomnianego wielomianu w określonym punkcie. Wyelimino- wanie z metody wszystkich operacji na liczbach niewiadomych znacznie przyśpiesza działanie algorytmu dla wyliczeń w konkretnym punkcie. Jednak dla próby policzenia dużej ilości punktów dla takich samych danych wejściowych algorytm staje się mniej wydajny niż wyznaczenie wzoru interpolacyjnego.

Złożoność metody można opisać za pomocą notacji asymptotycznej i wynosi ona O(p

n), gdzie n to liczba szukanych punktów, zaś p to liczba punktów danych. W wypadku wyznaczania wzoru Lagrange’a złożoność ta wynosi O(p

+ pn).

Informacje o implementacji

Metoda została zrealizowana w języku skryptowym Python z wykorzystaniem narzędzia gnuplot. Główny nacisk położony został na konfigurowalność kodu, zaś ilość założeń zmniejszono do minimum.

Podstawowym elementem programu jest funkcja która dla tabeli danych oraz szukanej współ- rzędnej x zwraca wartość wielomianu Lagrange’a w punkcie x.

Program nie weryfikuje danych wejściowych, chociaż przedstawia zestawienie wyliczone za pomocą wbudowanych funkcji. Ponieważ w wypadku metody Aitkena nie jest możliwe wyko- nywanie obliczeń, gdy szukana współrzędna została podana jako jedna z danych w wypadku zajścia takiej sytuacji zwracamy wartość z tabeli.

Wyniki obliczeń są wyświetlane w konsoli, zaś wykresy zapisywane do plików znajdujących się w katalogu z programem, umożliwiając ich podgląd dowolną przeglądarką plików graficznych.

Wyniki

Dla danych przykładowch pochodzących z polecenia( 5 punktów z przedziału [1.566, 1.570]

oddalonych o 0.001 ) dla x = 1.5695 otrzymano:

sin(x) cos(x) tan(x)

Interpolacja 0.999999175 0.00129630 806.162634766 771.425730926 Wbudowana funkcja 0.999999160 0.00129633 771.409989967 771.409989967

Wykresy ze względu na swoją obszerność znajdują się na osobnej kartce. W wypadku wykresu dotyczącego

punkt przedstawia obliczenia dla interpolacji tangensa, co pozwala porównać dokładność obu metod wyliczania.

Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk, Metody Numeryczne, Zadanie 3: Interpolacja 1 / 2

Wnioski

• Można zaobserwować bardzo dobrą dokładność interpolacji funkcji

w porównaniu do tan(x). Wynika ona z właściwości badanego przedziału. Ponieważ rozważamy przedział znajdujący się w bliskim sąsiedztwie punktu

funkcja cos(x) staje się w tym punkcie niemal liniowa, zaś funkcja sin(x) zbilżona do kwadratowej( jej pochodną jest funkcja cos(x) ). Zatem teoretycznie jesteśmy w stanie interpolować funkcję

mając zaledwie 3 punkty. Przeciwieństwem jest funkcja tan(x), która w tak dobranym przedziale staje się bardziej rozbieżna niż funkcja wykładnicza, co uniemożliwia dokładne dopasowanie do niej wielomianu. Widzimy więc, że otrzymany wynik dla tan(x) będzie mniej dokładny, co widać porównując go z wynikami działania wbudowanej funkcji tan(x).

• Jak wynika z opisu metody - metoda Aitkena idealnie nadaje się do obliczeń dla małej ilości punktów szukanych nawet gdy mamy dużo punktów danych - w przeciwieństwie do wyznaczania wzoru wielomianu, który przyśpieszy obliczenia dla dużej ilości punktów szukanych, kosztem dłużego działania przy dużej ilości danych. Na podstawie złożono- ści można oszacować, że metodę Aitkena opłaca się stosować, gdy mamy mniej punktów szukanych niż danych.

• W wypadku metody Aitkena podobnie jak przy użyciu wielomianu interpolacyjnego stwier- dzenie, że większa liczba punktów danych zwiększa dokładność jest w pewien sposób błęd- ne. Ilość punktów danych zwiększa stopień wielomianu, który zostanie dopasowany do funkcji. Większy stopień wielomianu oznacza, że zwiększamy zbiór funkcji, dla których dopasowanie powiedzie się w wystarczającym stopniu dając sensowne rezultaty. Nie jest to jednak dokładność, gdyż nie przekłada się ona na oddalenie rezultatu od rzeczywistej wartości.

Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk, Metody Numeryczne, Zadanie 3: Interpolacja 2 / 2