Metody numeryczne Grzegorz Graczyk, 150875 Paweł Tarasiuk, 151021

Metody numeryczne

Grzegorz Graczyk, 150875 Paweł Tarasiuk, 151021

Odnajdywanie miejsca zerowego funkcji metodą Netwona

Informacje o metodzie

Metoda Netwona jest bardzo szybką, lecz mało uniwersalną metodą. Jest to metoda o zbież- ności kwadratowej. Metoda pozwala odnajdywać pierwiastki w niewielkiej liczbie kroków, lecz ze względu na poczynione założenia dla wielu funkcji nie można jej zastosować.

Metoda działa poprawnie dla takich zakresów i funkcji ciągłych, że znaki pierwszej i drugiej pochodnej funkcji są stałe na badanym zakresie. Ponadto aby wykonanie metody się zakończyło, musi istnieć dokładnie jedno miejsce zerowe na badanym przedziale. Jednakże czasami możliwe jest, że wynik zostanie uzyskany dla zakresów nie spełniających tych założeń - dzieje się tak wtedy, gdy w toku iteracji zakres zawęża sie do mniejszego, który spełnia założenia.

Informacje o implementacji

Metoda została zrealizowana za pomocą języka skryptowego Python, zaś do rysowania wykre- sów użyto narzędzia Gnuplot. Dialog z użytkownikiem odbywa się w trybie tekstowym, natomiast wynikiem jest przygotowany plik HTML z obliczonymi wynikami, tabelą przedstawiającą prze- bieg iteracji, oraz graficzną prezentacją wykresu funkcji i znalezionego wyniku, oraz możliwością prześledzenia przebiegu metody Newtona na wykresie.

Warto zauważyć, iż użyte technologie stanowią otwarte oprogramowanie i mogą zostać wyko- rzystane do celów naukowych bądź kometcyjnych. Ponadto sposób generowania wyników pozwa- la na przygotowanie prezentacji na serwerze zdalnym, w celu rozpowszechnienia i wyświetlania jej na wielu urządezniach.

Sama metoda została zrealizowana w sposób rekurencyjny, zaczynając od środka zakresu - stanowi ona jednak nieznaczną część całego kodu (jest to około 8% linijek kodu - większość to przygotowanie prezentacji). Zastosowany warunek stopu to przejście do punktu znajdującego się w otoczeniu o promieniu .

Badane funkcje

Dla każdej badanej funkcji użyto dokładności  = 10

, zaś wynik został sprawdzony z wykresem.

Funkcja Zakres Wartość oczekiwana Wynik programu L. iteracji

x

+ tan x [1, 6; 1, 7] 1, 6873429 1, 6873429 5

e

− x

− 2 x − 2 [0; 4] (?) 2, 5093370 2, 6740603 8 x

− 4 x

+ 2 x

− 8 [3; 4] 3, 6161057 3, 6161057 4

4 sin x + 1 − x [2; 3] 2, 7020614 2, 7020614 5

2 x − 150 [−100; 100] −75 −75 2

x

− 2 [1; 5] √

2 ≈ 1, 41421356 1, 41421356 6 sin

− 0.5 [−10; 5] π ≈ 3, 14159265 3, 14159265 5 arc tan x + 1.4 [−10; 15] tan(−1.4) ≈ −5, 7978837 −5, 7978837 9

Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk, Metody numeryczne, Zadanie 1 1 / 2

Wnioski

• Bez prowadzenia badań można przewidzieć zachowanie metody dla funkcji o stałym znaku drugiej pochodnej (wypukłych bądź wklęsłych na całym zakresie). Metoda zbliża się do rozwiązania zakładając, że styczna do wykresu w badanym punkcie przecina oś X bliżej rozwiązania niż znajduje się badany punkt. Dla niektórych funkcji nie jest to jednak prawdą i może prowadzić do systematycznego oddalania się od miejsca zerowego (i w rezultacie - przekroczenia zakresu typu zmiennej liczbowej, np. dla funkcji arc tan(x) + 1.5 przy zakresie od -30 do 40). W takim przypadku program wyświetla komunikat o błędzie oraz opis działań wykonanych przed awaryjnym zakończeniem pracy.

• W jednym z rozważanych przypadków otrzymano wynik inny niż wzorcowy - po porów- naniu z wykresem stwierdzono, że najbardziej prawdopodobny jest błąd przypadkowy (źle przepisany wynik wzorcowy bądź wzór funkcji).

• Możliwość śledzenia przebiegu algorytmu umożliwia wyciągnięcie wniosków dotyczących dokładności. W większości przypadków otrzymany błąd jest znacznie mniejszy niż granicz- na wartość . Wynika to z faktu, iż algorytm w każdym kroku wykonuje o kilka rzędów mniejszy skok niż w kroku poprzednim.

• Ostatni wniosek dotyczy użyteczności przedstawionej metody. Posiada ona bardzo wiele wad - narzuca wiele ograniczeń na funkcję wejściową, zaś sam algorytm wymaga wyznacze- nia pochodnej (rozwiązaniem mogłoby być wyznaczanie pochodnej w sposób numeryczny).

Algorytm jest bardzo szybki, lecz w wielu przypadkach metoda połowienia przedziałów i tak jest wystarczająco wydajna. Metoda Netwona okaże się przydatna jedynie przy poszu- kiwaniu miejsc zerowych ze szczególną dokładnością.

Grzegorz Graczyk i Paweł Tarasiuk, Metody numeryczne, Zadanie 1 2 / 2