Algebra 2
∗, seria 12
Zadania na 23 i 30 maja, nieobowiązkowe: zastosowania teorii Galois.
Konstrukcje geometryczne
Będziemy badać konstrukcje wykonalne za pomocą cyrkla i linijki, czyli dopuszczalne operacje (dla danego zbioru punktów X0) to:
• narysowanie prostej przechodzącej przez dwa punkty z X0,
• wykreślenie okręgu o środku w punkcie z X0 i promieniu rówym odległości dwóch punktów z X0,
• wyznaczenie punktów wspólnych tak narysowanych linii i dołączeniu ich do X0.
Mówimy, że punkt A można skonstruować ze zbioru danych punktów X0, jeśli znajdzie się w X0 po skończonej liczbie kroków z listy.
Rozszerzenie K ⊂ L nazwiemy konstruowalnym, jeśli istnieje ciąg ciał K = K0 ⊂ K1⊂ . . . ⊂ Kn= L, w którym Ki+1= Ki(ai), gdzie a2i ∈ Ki.
W tej części zakładamy, że wszystkie ciała mają charakterystkę 0.
1. Wykaż, że jeśli zbiór punktów płaszczyzny X0 zawiera punkty (0, 0) i (1, 0), to można z niego skonstruować dowolny punkt, którego współrzędne należą do minimalnego ciała zawierającego współrzędne wszystkich punktów z X0 (w szczególności wszystkie punkty o współrzędnych wymiernych). To ciało będzie dalej oznaczane Q(X0)
2. Udowodnij następujące twierdzenie Wantzela: punkt A jest konstruowalny ze zbioru X0wtedy i tylko wtedy, gdy należy do pewnego rozszerzenia konstruowalnego ciała Q(X0).
3. Wykaż, że następujące problemy konstrukcyjne są (na ogół) nierozwiązalne:
(a) podwojenie sześcianu: mając dany sześcian o boku a (tzn. końce odcinka o długości a na płaszczyźnie), skonstruować krawędź sześcianu o dwukotnie większej objętości;
(b) kwadratura koła: skonstruować kwadrat, którego pole będzie równe polu danego koła (mamy jego środek i punkt na obwodzie);
(c) trysekcja kąta: mając dany kąt (wierzchołek i dwa punkty na ramionach), podzielić go na trzy przystające kąty (wskazówka: jeśli mamy dany kąt α, to umiemy skonstruować cos α).
4. Dany jest odcinek długości a, będący krawędzią sześcianu. Dla jakich liczb naturalnych n można skonstruować krawędź sześcianu o n-krotnie większej objętości?
5. Czy mając dany czworościan, można skonstruować krawędź sześcianu, którego objętość będzie równa objętości czworościanu?
6. Podaj przykład, że dla każdego z następujących zadań istnieje trójkąt, którego nie można skonstruować z danych w zadaniu obiektów:
(a) zbudować trójkąt, mając dane długości dwóch boków i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt;
(b) zbudować trójkąt prostokątny, mając daną długość dwusiecznej jednego z kątów i długość przprostokątnej leżącej na przeciwko tego kąta;
(c) zbudować trójkąt, mając dane długości trzech jego dwusiecznych.
7. Wykaż, że jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to stopień rozszerzenia Q ⊂ Q(εp) (gdzie εp to pierwiastek stopnia p z 1) jest potęgą 2 wtedy i tylko wtedy, gdy p jest postaci 22k + 1 dla pewnego k naturalnego (czyli p jest liczbą pierwszą Fermata).
8. Udowodnij, że (skończone) rozszerzenie Galois K ⊂ L jest konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy [L : K] jest potęgą 2.
9. Udowodnij twierdzenie Gaussa: n-kąt foremny wpisany w okrąg o promieniu 1 można skon- struować wtedy i tylko wtedy, gdy n = 2k· p1· · · pr, gdzie k jest liczbą naturalną, a p1, . . . , pr
są parami różnymi liczbami pierwszymi Fermata.
10. Wykaż, że mając na płaszczyżnie parabolę opisaną równaniem y = x2 można skonstruować siedmiokąt foremny.
Rozwiązalność przez pierwiastniki
11. Wykazać, że równanie x5− 2px − p = 0, gdzie p jest liczbą pierwszą, nie jest rozwiazalne przez pierwiastniki.
12. Rozpatrzmy ciało K takie, że Q ⊂ K ⊂ R, niech p > 3 będzie liczbą pierwszą. Dowiedź następujących stwierdzeń.
(a) Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu
f = xn+ a3xn−3+ a4xn−4+ · · · + an∈ K[x]
są rzeczywiste to f = xn.
(b) Jeśli f ∈ K[x] jest wielomianem nierozkładalnym stopnia p, który ma dokładnie p − 2 pierwiastki rzeczywiste, to jego grupa Galois jest Sp.
13. Wykaż, że każde rozszerzenie ciał skończonych jest cykliczne i udowodnij, że każdy element algebraiczny nad ciałem skończonym wyraża się przez pierwiastniki nad Q.
