Algebra liniowa I. Liczby zespolone
Na płaszczyźnie wprowadźmy działania (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Zbiór par (a, b), a, b ∈ R z tak wprowadzo- nymi działaniami nazywamy ciałem liczb zespolo- nych i oznaczamy przez C. Jego elementy nazywamy liczbami zespolonymi. Oznaczając i = (0, 1) otrzy- mujemy i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0), czyli i2 = −1.
Liczbę zespoloną i nazywa się jednostką urojoną.
Ćwiczenie 1. Sprawdzić, że (1, 0) jest elemen- tem neutralnym mnożenia (tzn. (1, 0)(a, b) = (a, b)(1, 0) = (a, b) dla wszystkich a, b ∈ R), a ele- ment odwrotny do (a, b) (czyli taka liczba ξ, że ξ(a, b) = (a, b)ξ = (1, 0)) to
a
a2+ b2, − b a2+ b2
!
.
Dowolną liczbę rzeczywistą utożsamiamy z liczbą zespoloną (a, 0). Nie doprowadzi to do żadnych nieporozumień, bo jeśli weźmiemy dwie liczby rzeczywiste a, b, potraktujemy je jako liczby zespolone (a, 0), (b, 0), a następnie obliczymy wg powyższych wzorów sumę albo iloczyn tych liczb to otrzymamy odpowiednio (a + b, 0), (ab, 0), czyli to samo, co gdybyśmy a, b dodali albo pomnożyli jako liczby rzeczywiste a dopiero później otrzymany wynik potraktowali jako liczbę zespoloną dopisując zero jako drugi wyraz pary. Możemy więc stwier- dzić, że dowolna liczba rzeczywista jest też liczbą zespoloną, innymi słowy R ⊂ C.
Dzięki wprowadzonemu utożsamieniu dla dowol- nej liczby zespolonej (a, b) mamy
(a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi, zatem dowolną liczbę zespoloną (a, b) można zapisać w postaci
a + bi
gdzie a, b ∈ R. W praktyce używa się właśnie tego zapisu (tzw. postaci algebraicznej liczby zespolonej).
Jest ona najwygodniejsza w obliczeniach, np.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi) · (c + di) = ac + (ad + bc)i + bdi2
= ac − bd + (ad + bc)i
Dla dowolnej liczby zespolonej a + bi, gdzie a, b ∈ R definiuje się jej część rzeczywistą
Re(a + bi) := a i część urojoną
Im(a + bi) := b.
Sprzężeniem liczby zespolonej z = a + bi nazy- wamy liczbę
z = a − bi.
Liczby zespolone możemy utożsamiać z punk- tami płaszczyzny, na której jest wybrany prosto- kątny układ współrzędnych kartezjańskich (nazywa się ją płaszczyzną zespoloną). Liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt o współrzędnych (a, b). Parze liczb zespolonych wzajemnie ze sobą sprzężonych:
z = a + bi, z = a − bi odpowiadają punkty poło- żone symetrycznie względem osi odciętych. Wartość bezwzględna liczby zespolonej to odległość odpowia- dającego jej punktu od początku układu współrzęd- nych:
|z| =√
a2+ b2.
Re z Im z
z = (a, b) b
a
|z|
z = (a, −b)
−b
|z|
Jeśli spojrzeć na liczby zespolone jako na wek- tory zaczepione w początku układu współrzędnych o końcach w odpowiadających im punktach, to wi- dać, że dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych jest tym samym co dodawanie i odejmowanie wek- torów.
Argumentem (głównym) różnej od zera liczby ze- spolonej a + bi, gdzie a, b ∈ R nazywa się jedyny kąt θ ∈ [0, 2π) spełniający warunki
cos θ = a
√a2+ b2, sin θ = b
√a2+ b2
Będziemy go oznaczać przez Arg z. Możemy teraz zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycz- nej
FFc str. 1 z 2
Algebra liniowa I. Liczby zespolone
z = |z|(cos θ + i sin θ),
gdzie |z| jest modułem liczby z, zaś θ ∈ [0, 2π) — argumentem (głównym) liczby z (czyli cos θ = |z|a, a sin θ = |z|b ).
Re z Im z
(a, b) b
a
|z|
θ
Taka postać pozwala na naturalną interpretację geometryczną: θ to kąt między osią odciętych a wek- torem o początku w punkcie (0, 0) i końcu (a, b).
Równocześnie |z| to długość wektora, zatem liczba zespolona leży na okręgu o promieniu |z| (patrz — rysunek).
Pozwala to na sprawne potęgowanie i pierwiast- kowanie liczb zespolonych:
zn = |z|n(cos nθ + i sin nθ)
Pierwiastkiem n-tego stopnia liczby zespolonej z nazywamy zbiór
√n
z = {x0, . . . , xn−1}
gdzie
xk = qn|z| cosθ + 2kπ
n + i sinθ + 2kπ n
!
dla k = 0, 1, . . . , n − 1.
Twierdzenie 1 (Zasadnicze twierdzenie algebry).
Każdy wielomian jednej zmiennej o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego ma pier- wiastek zespolony.
Kluczowym wnioskiem tego twierdzenia jest na- stępujący fakt:
Twierdzenie 2. Każdy niezerowy wielomian jednej zmiennej (zespolonej) stopnia n, o współczynnikach zespolonych posiada n miejsc zerowych.
Stąd w zbiorze liczb zespolonych każde równanie wielomianowe n-tego stopnia posiada n pierwiast- ków. Na przykład równanie x2 + 1 = 0 posiada dwa pierwiastki zespolone: i oraz −i (jednocześnie równanie to nie posiada pierwiastków rzeczywistych bo otrzymane pierwiastki leżą poza prostą rzeczy- wistą).
Komentarz: Liczby zespolone znajdą zastoso- wania w dalszej części kursu gdy zajmiemy się ba- daniem wartości własnych macierzy. Najczęściej po- jawiają się one właśnie w przypadku poszukiwania pierwiastków równania wielomianowego. Zaintere- sowanych szerszymi zastosowaniami liczb zespolo- nych w ekonomii (np. teorii równowagi ogólnej, teo- rii gier) i ekonometrii odsyłam do takich pozycji jak książka Hamiltona „Time series” czy Lindqvist, Sar- gent „Recursive macroeconomic theory”.
FFc str. 2 z 2
