Szeregi liczbowe.

(1)

Ćwiczenia 26.11.2013: zad. 385-406 Ćwiczenia 3.12.2013: zad. 407-436 Ćwiczenia 10.12.2013: zad. 437-451

Kolokwium nr 7 — 2.12.2013 (poniedziałek, 13:15-14:00): materiał z zad. 1-406 oraz 477-485 Kolokwium nr 8 — 9.12.2013 (poniedziałek, 13:15-14:00): materiał z zad. 1-436 oraz 473-493 Kolokwium nr 9 — 16.12.2013 (poniedziałek, 13:15-14:00): materiał z zad. 1-524

Szeregi liczbowe.

Wyznaczyć wartości granic.

385. lim

n→∞

n n + 1

386. lim

n→∞

n n + 2010

387. lim

n→∞

n 2010n + 1

388. lim

n→∞

n n + 1

2010

389. lim

n→∞

n n + 2010

2010

390. lim

n→∞

n 2010n + 1

2010

391. lim

n→∞

n n + 1

n

392. lim

n→∞

n n + 1

2010n

393. lim

n→∞

n n + 1

n/2010

394. lim

n→∞

n n + 1

n²⁰¹⁰

395. lim

n→∞

1 +2 n

n

396. lim

n→∞

1 −1 n

n

397. lim

n→∞

1 +7 n

n

398. lim

n→∞

1 −3 n

n

Obliczyć Sn=

n

X

k=1

ak, a następnie znaleźć lim

n→∞Sn : 399. a_k= 1

7^k 400. a_k=2^k+ 5^k 10^k 401. Obliczyć sumę szeregu a)

∞

X

n=1

1

6ⁿ b)

∞

X

n=1

1

(−6)ⁿ c)

∞

X

n=1

1

8ⁿ d)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ 8ⁿ Wskazówka: W kolejnych pięciu zadaniach szukać przykładu szeregu geometryczne- go.

402. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego ^P^∞

n=1

a_n o wyrazach dodatnich, że

∞

X

n=1

a_n=

∞

X

n=1

a²_n.

n=1

∞

X

n=1

an= 5 oraz

∞

X

n=1

a_n 2ⁿ= 2 . 404. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego

∞

P

n=1

an o wyrazach dodatnich, że dla dowolnej liczby naturalnej k zachodzi równość

a_k= 2 ·

∞

X

n=k+1

a_n.

(2)

n=1

∞

X

n=1

a_n= 1 oraz

∞

X

n=1

a²_n=1 4. 406. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego ^P^∞

n=1

∞

X

n=1

a_n= 1,

∞

X

n=1

a²_n=1

2 oraz

∞

X

n=1

a⁴_n=1 5.

407. Dowieść, że 4 <

127

X

n=1

1 n< 7.

408. Dowieść, że szereg

∞

X

n=1

1

2ⁿ− 1 jest zbieżny, a jego suma jest mniejsza od 2.

Rozstrzygnąć, czy następujące szeregi są zbieżne 409.

∞

X

n=1

1

n²+ 1 410.

∞

X

n=2

1

n²− 1 411.

∞

X

n=1

1 + n

n²+ 1 412.

∞

X

n=1

2 · 5 · 8 · ... · (3n − 1) 1 · 5 · 9 · ... · (4n − 3) 413.

∞

X

n=1

5n²− 1

n³+ 6n²+ 8n + 47 414.

∞

X

n=1

1

(2n − 1) · 2²ⁿ⁻¹ 415.

∞

X

n=1

1 3n − 1 416.

∞

X

n=1

√ 1

n²+ 2n 417.

∞

X

n=1

1

(n + 1)(n + 4) 418.

∞

X

n=1

1

(2n + 1)! 419.

∞

X

n=1

n² 3ⁿ 420.

∞

X

n=1

(2n − 1)!!

3ⁿ· n! 421.

∞

X

n=1

n 2n + 1

n

422.

∞

X

n=2

1 (n − 1)√

n + 1 423.

∞

X

n=1

sn + 1 n 424.

∞

X

n=1

n²

n! 425.

∞

X

n=1

n

2n − 1 426.

∞

X

n=1

2ⁿ

n⁴ 427.

∞

X

n=1

√ 1

n²+ n − n 428.

∞

X

n=1

_2n

n

n!

429.

∞

X

n=1

1000ⁿ

10√

n! 430.

∞

X

n=1

3ⁿ

2²ⁿ 431.

∞

X

n=1

n³+ π

n^π+ e 432.

∞

X

n=1

1

q

(n + 4)(n + 9) 433.

∞

X

n=1

2ⁿ+ 17

3ⁿ 434.

∞

X

n=1

√n! + 1

n! 435.

∞

X

n=1

2ⁿ n√

4ⁿ+ 3ⁿ 436.

∞

X

n=1

1 n + 5√

n + 27 Które z następujących szeregów są bezwzględnie zbieżne, które warunkowo zbieżne, a które rozbieżne:

437.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

2n − 1 438.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n²3ⁿ 439.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ (2n − 1)³ 440.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n + 1

n 441.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· 2¹⁰ⁿ

3²ⁿ 442.

∞

X

n=1

n + 2

n(n + 1)(−1)ⁿ 443. 1 − 1 + 1 −1

2−1

2+ 1 −1 3−1

3−1

3+ ... + 1 −1 k−1

k− ... −1

k+ ... ( k razy ) 444. 1 − 1 +1

2−1 4−1

4+1 3−1

9−1 9−1

9+ ... +1 k− 1

k²− 1

k²− ... − 1

k²+ ... ( k razy )

(3)

445.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n³

2ⁿ 446.

∞

X

n=2

(−1)ⁿ n −√

n 447.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹2ⁿ²

n! 448.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ² (n + 3)^1/4 449.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n 1 +(−1)ⁿ

√n

!

450.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n^1/n 451.

∞

X

n=1

√

n + 2 −√

n(−1)ⁿ

Kryteria zbieżności szeregów - co każdy student wiedzieć po- winien.

1. Warunek konieczny zbieżności.

Jeżeli szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, to lim

n→∞a_n= 0.

Innymi słowy, jeżeli ciąg (a_n) jest rozbieżny lub zbieżny do granicy różnej od zera, to szereg

∞

P

n=1

a_n jest rozbieżny.

2. Zbieżność szeregu nie zależy od pominięcia lub zmiany skończenie wielu początkowych wyrazów.

Oczywiście zmiana lub pominięcie tych wyrazów ma wpływ na sumę szeregu zbieżne- go.

3. Kryterium porównanwcze.

Niech

∞

X

n=1

a_n i

∞

P

n=1

b_n będą szeregami o wyrazach nieujemnych, przy czym dla każdego n ∈N zachodzi nierówność a_n¬ b_n.

Jeżeli

∞

X

n=1

a_n= ∞, to ^P^∞

n=1

b_n= ∞.

Jeżeli

∞

X

n=1

b_n< ∞, to

∞

P

n=1

a_n< ∞.

4. Kilka szeregów._∞

P

n=1

qⁿ jest zbieżny dla |q| < 1, rozbieżny dla pozostałych q.

∞

P

n=1

n^a jest zbieżny dla a < −1, rozbieżny dla pozostałych a.

∞

P

n=2 1

nlog^an jest zbieżny dla a > 1, rozbieżny dla pozostałych a. Logarytm ma dowolną podstawę większą od 1.

5. Kryterium d’Alemberta.

Jeżeli (an) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

n→∞lim

a_n+1 a_n

= g < 1 , to szereg

∞

P

n=1

a_n jest zbieżny.

Jeżeli istnieje granica

n→∞lim

a_n+1 a_n

= g > 1 , to szereg

∞

P

n=1

an jest rozbieżny.

(4)

6. Zbieżność bezwzględna.

Jeżeli

∞

X

n=1

|an| < ∞, to szereg ^P^∞

n=1

an jest zbieżny.

7. Szeregi naprzemienne.

Jeżeli (a_n) jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg

∞

P

n=1

an(−1)ⁿ⁺¹ jest zbieżny.

Konwersatorium

Czy istnieje ciąg (an) taki, że (podać przykład lub dowieść, że nie istnieje) : 452. an>1

n dla nieskończenie wielu n, ∀

n∈N

an> 0, szereg

∞

X

n=1

an jest zbieżny.

453. a_n= 1

2ⁿ dla nieskończenie wielu n, ^P^∞

n=1

a_n= 10 .

454. ∀

n∈N

a_n²= 1 n,

∞

X

n=1

a_n= 0 .

455. ∀

n∈N

a_n∈Z^{, a}ⁿ= n dla n ¬ 100, szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny.

456. a_n= 1 dla nieskończenie wielu n, szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny.

457. Szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, szeregi

∞

X

n=1

a_2n−1 i

∞

X

n=1

a_2n są rozbieżne.

458. Szereg

∞

X

n=1

a_n jest rozbieżny, szereg

∞

X

n=1

(a_2n−1+ a_2n) jest zbieżny.

459. Szereg

∞

X

n=1

an jest rozbieżny, szereg

∞

X

n=1

(a2n−1+ a2n) jest zbieżny, lim

n→∞an= 0 . 460. Szereg

∞

X

n=1

∞

X

n=0

(a₂ⁿ+ a₂ⁿ₊₁+ a₂ⁿ₊₂+ ... + a₂ⁿ⁺¹₋₁) jest zbieżny, lim

n→∞a_n= 0 . 461. Szeregi

∞

X

n=1

(a2n−1+ a2n) i a1+

∞

X

n=1

(a2n+ a2n+1) są zbieżne, ale mają różne sumy.

462. Szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, szereg

∞

X

n=1

a²_n jest rozbieżny.

463. Szereg

∞

X

n=1

∞

X

n=1

a²_n jest zbieżny.

(5)

464. Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

_2n

n

· n! · aⁿ

nⁿ

w zależności od parametru rzeczywistego dodatniego a. Dla jednej wartości a można nie udzielić odpowiedzi.

465. Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

(−n)ⁿ (n + 2)ⁿ . 466. Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

(−n)ⁿ (n + 2)ⁿ⁺² . Obliczyć sumę szeregu

467.

∞

X

n=1

(2n + 1) · (−1)ⁿ

n(n + 1) 468.

∞

X

n=1

n (n + 1)!

Wyznaczyć kresy zbiorów 469.

( _N X

n=1

−1 2

n

: N ∈N

)

470.

( _N X

n=M

−1 2

n

: M,N ∈N^{∧ M < N}

)

471.

( _∞ X

n=M

−1 2

n

: M ∈N

)

472. W każdym z poniższych zdań w miejscu kropek postaw jedną z liter Z, R, N:

Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny) R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny)

N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny)

a) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

a_n jest zbieżny, to szereg

∞

P

n=1

|a_n| ...

b) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

an jest rozbieżny, to szereg

∞

P

n=1

|an| ...

c) Jeżeli szereg ^P^∞

n=1

a_n jest zbieżny, to szereg ^P^∞

n=1

(−1)ⁿa_n ...

d) Jeżeli szereg ^P^∞

n=1

a_n jest rozbieżny, to szereg ^P^∞

n=1

(−1)ⁿa_n ...

e) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

∞

P

n=1

a_2n ...

f ) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

∞

P

n=1

a2n ...

g) Jeżeli szereg ^P^∞

n=1

a_n jest zbieżny, to szereg ^P^∞

n=1

(1 − a²_n) ...

h) Jeżeli szereg ^P^∞

n=1

a_n jest rozbieżny, to szereg ^P^∞

n=1

(1 − a²_n) ...

i) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

∞

P

n=1

(1 + a²_n) ...

j) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

∞

P

n=1

(1 + a²_n) ...

(6)

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

473. Czy możemy stwierdzić, że szereg

∞

P

n=1

a_n jest rozbieżny, jeżeli wiemy, że a) lim

n→∞an=3

4 b) lim

n→∞an=7

4 c) lim

n→∞

a_n+1 a_n =1

4 d) lim

n→∞

a_n+1 a_n =5

4 474. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

√

n³+ 64 −√

n³+ 1.

475. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

9n⁴− 7n³+ 1 19n⁵− 13n²+ 1 . 476. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

9n⁴− 7n³+ 1 19n⁶− 13n²+ 1 .

n=1

∞

X

n=1

an=

∞

X

n=1

a³_n=7 2.

478. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego

∞

P

n=1

an o wyrazach dodatnich, że

∞

X

n=1

a_n= 3 oraz

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹a_n= 1 .

∞

P

n=1

a_n o wyrazach dodatnich, że sumy szeregów

∞

X

n=1

a_n,

∞

X

n=1

a²_n,

∞

X

n=1

a³_n,

∞

X

n=1

a⁴_n

są liczbami całkowitymi.

∞

P

n=1

an, że an= 1/4ⁿ dla nieskończenie wielu n, a ponadto

∞

X

n=1

a_n= 4 .

(7)

481. Podać przykład takiego ciągu (a_n), że szeregi ^P^∞

n=1

(a_2n−1+ a_2n) i ^P^∞

n=1

(a_2n+ a_2n+1) są zbieżne, a ponadto

∞

X

n=1

(a_2n−1+ a_2n) = 5 oraz a₁+

∞

X

n=1

(a_2n+ a_2n+1) = 2 .

482. Podać przykład takiego ciągu (a_n), że szeregi

∞

X

n=1

(a3n−2+ a3n−1+ a3n),

∞

X

n=1

(a3n−1+ a3n+ a3n+1) oraz

∞

X

n=1

(a3n+ a3n+1+ a3n+2) są zbieżne, a ponadto

∞

X

n=1

(a3n−2+ a3n−1+ a3n) = 6, a₁+

∞

X

n=1

(a3n−1+ a3n+ a3n+1) = 1 oraz

a₁+ a₂+

∞

X

n=1

(a_3n+ a_3n+1+ a_3n+2) = 3 .

483. Obliczyć sumę szeregu

∞

X

n=2

1 n²− 1.

n=1

a_n o sumie równej 1/2, że dla nieskończenie wielu liczb naturalnych n liczba a_n jest całkowita.

485. Obliczyć sumę szeregu

∞

X

n=1

1

(3 + (−1)ⁿ)ⁿ.

∞

X

n=1

q8n^k+√ n − 4 8n⁴− 3n³+ 5 w zależności od parametru naturalnego k.

487. Rozstrzygnąć zbieżność szeregów

∞

X

n=1

√n^k+ 1

n⁷+ 1 oraz

∞

X

n=1

√n^k+1+ 1 n⁷+ 1

dla tak dobranej wartości parametru naturalnego k, że dokładnie jeden z tych szeregów jest zbieżny.

(8)

n=1

a_no wyrazach nieujemnych i sumie równej 1, że dla nieskończenie wielu liczb naturalnych n zachodzi równość a_n= 1

√n.

n=1

a_no wyrazach dodatnich, że szereg

∞

X

n=1

ra_n n jest rozbieżny.

∞

X

n=1

(3n)! · aⁿ n! · n²ⁿ

w zależności od parametru rzeczywistego dodatniego a. Dla jednej wartości a można nie udzielić odpowiedzi.

∞

X

n=1

_3n

n

6ⁿ . 492. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

_3n

n

7ⁿ . 493. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

(n!)¹⁰⁰⁰ 2ⁿ² .

494. Czy szereg

∞

X

n=1

n^p jest zbieżny dla p = 3 − log₂k, gdzie a) k = 8 ;

b) k = 12 ; c) k = 16 ; d) k = 20 ?

495. Czy szereg

∞

X

n=1

(−1)ⁿn^p jest zbieżny dla p = 3 − log₂k, gdzie a) k = 8 ;

b) k = 12 ;

(9)

c) k = 16 ; d) k = 20 ?

496. Czy podany szereg jest zbieżny a)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√3

n + 3 b)

∞

X

n=1

1

√3

n + 3 c)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n + 2√³

n + 3 d)

∞

X

n=1

√ 1

n + 2√³ n + 3 e)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√3

n²+ 9 f )

∞

X

n=1

1

√3

n²+ 9 g)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n + 2√³

n²+ 9 h)

∞

X

n=1

√ 1

n + 2√³ n²+ 9 i)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ√ n + 2

√3

n + 3 j)

∞

X

n=1

√n + 2

√3

n + 3 k)

∞

X

n=1

(−1)^{n 3}√ n²+ 9

√n + 2 l)

∞

X

n=1

1√³ n²+ 9

√n + 2

497. W każdym z poniższych 16 pytań w miejscu kropek postaw jedną z liter Z, R, N:

Wiadomo, że szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, szereg

∞

X

n=1

b_n jest rozbieżny, ciąg (c_n) jest zbieżny, ciąg (d_n) jest rozbieżny. Co można wywnioskować o zbieżności

a) ciągu (a_n) b) szeregu

∞

X

n=1

c_n

c) ciągu (b_n) d) szeregu

∞

X

n=1

d_n

e) ciągu (a_n+ b_n) f ) szeregu

∞

X

n=1

(a_n+ b_n)

g) ciągu (c_n+ d_n) h) szeregu

∞

X

n=1

(c_n+ d_n)

i) ciągu (a_n+ c_n) j) szeregu

∞

X

n=1

(a_n+ c_n)

k) ciągu (a_n+ d_n) l) szeregu

∞

X

n=1

(a_n+ d_n)

m) ciągu (b_n+ c_n) n) szeregu

∞

X

n=1

(b_n+ c_n)

o) ciągu (b_n+ d_n) p) szeregu

∞

X

n=1

(b_n+ d_n)

(10)

W każdym z czterech kolejnych zadań udziel sześciu odpowiedzi TAK/NIE.

498. Czy szereg

∞

X

n=1

n^k jest zbieżny, jeżeli

a) k = −3/2 b) k = 3/2

c) k = −1 d) k = 1

e) k = −1/2 f ) k = 1/2

499. Czy szereg

∞

X

k=1

n^k jest zbieżny, jeżeli

a) n = −3/2 b) n = 3/2

c) n = −1 d) n = 1

e) n = −1/2 f ) n = 1/2

500. Czy szereg

∞

X

n=1

kⁿ jest zbieżny, jeżeli

a) k = −3/2 b) k = 3/2

c) k = −1 d) k = 1

e) k = −1/2 f ) k = 1/2

501. Czy szereg

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· n^k jest zbieżny, jeżeli

a) k = −3/2 b) k = 3/2

c) k = −1 d) k = 1

e) k = −1/2 f ) k = 1/2

∞

X

n=1

√

44 − 5ⁿ b)

∞

X

n=1

√

44 − 6ⁿ c)

∞

X

n=1

√

44 − 7ⁿ d)

∞

X

n=1

√

44 − 8ⁿ e)

∞

X

n=1

√ 1

n + 1 f )

∞

X

n=1

√ 1 n²+ 1 g)

∞

X

n=1

√ 1

n³+ 1 h)

∞

X

n=1

√ 1 n⁴+ 1 i)

∞

X

n=1

n

n + 1 j)

∞

X

n=1

n n + 1

n

k)

∞

X

n=1

n n + 1

n²

l)

∞

X

n=1

n n + 1

n³

(11)

W każdym z czterech kolejnych zadań udziel siedmiu niezależnych odpowiedzi:

Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny, a przy tym szereg spełniający podany warunek istnieje)

R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny, a przy tym szereg spełniający podany warunek istnieje)

X - nie istnieje szereg spełniający podany warunek Co można wywnioskować o zbieżności szeregu

∞

X

n=1

a_n, jeżeli wiadomo, że jego wyrazy są różne od zera, a ponadto ciąg jego wyrazów (a_n) spełnia podany warunek

503. lim

n→∞a_n= g, gdzie

a) g = −3 b) g = −1 c) g = −1/3

d) g = 0 e) g = 1/3 f ) g = 1 g) g = 3

504. lim

n→∞

a_n+1

a_n = g, gdzie

a) g = −3 b) g = −1 c) g = −1/3

d) g = 0 e) g = 1/3 f ) g = 1 g) g = 3

505. lim

n→∞

an

a_n+1 = g, gdzie

a) g = −3 b) g = −1 c) g = −1/3

d) g = 0 e) g = 1/3 f ) g = 1 g) g = 3

506. lim

n→∞

an+1

a_n

= g, gdzie

a) g = −3 b) g = −1 c) g = −1/3

d) g = 0 e) g = 1/3 f ) g = 1 g) g = 3

∞

X

n=1

5n²+ 11

7n²+ 13· (−1)ⁿ b)

∞

X

n=1

7n²+ 11

5n²+ 13· (−1)ⁿ c)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n d)

∞

X

n=1

n + 1

√n · (−1)ⁿ

∞

X

n=1

5n²+ 11

7n²+ 13 b)

∞

X

n=1

7n²+ 11 5n²+ 13 c)

∞

X

n=1

√1

n d)

∞

X

n=1

n + 1

√n

(12)

509. W każdym z poniższych 9 pytań w miejscu kropek postaw jedną z liter Z, R, N:

Wiadomo, że szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny. Co można wywnioskować o zbieżności szeregu a)

∞

X

n=1

|a_n| b)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· a_n c)

∞

X

n=1

(a_n+1− a_n) d)

∞

X

n=1

a²_n+1− a²_n

e)

∞

X

n=1

|a_n− 1| f )

∞

X

n=1

(a_n+ (−1)ⁿ) g)

∞

X

n=1

2^aⁿ h)

∞

X

n=1

log₃a²_n+ 2 i)

∞

X

n=1

qa²_n+ 1

510. W każdym z poniższych 6 pytań w miejscu kropek wpisz liczbę rzeczywistą lub postaw jedną z liter Z, R, N:

Liczba S - podany szereg jest zbieżny i jego suma musi być równa S

Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny), ale na podstawie podanych informacji nie można wyznaczyć jego sumy

R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny)

Wiadomo, że szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, jego suma jest równa 10, a pierwszy wyraz jest równy 3. Co można wywnioskować o zbieżności poniższego szeregu i o jego sumie

a)

∞

X

n=1

2^aⁿ= b)

∞

X

n=1

(a1+ an) = c)

∞

X

n=1

(a₁· a_n) = d)

∞

X

n=1

(a_n+1− a_n) = e)

∞

X

n=1

a²_n+1− a²_n=

f )

∞

X

n=1

(2^aⁿ⁺¹− 2^aⁿ) =

(13)

∞

X

n=2

(−1)ⁿ· (3n − 4) · (3n − 1)

n³− n .

512. Rozstrzygnąć, czy szereg

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· n n²+ 9900 jest zbieżny.

513. Wśród poniższych sześciu szeregów wskaż szereg zbieżny, a następnie udowodnij jego zbieżność. Jeśli potrafisz, podaj jego sumę.

(A)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ(n + 1)

7n + 10 (B)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ(2n²+ 1)

3n²+ n (C)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ(2n − 1) n²+ n (D)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ(n²+ 1)

2n²+ 1 (E)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ(3n²+ 1)

77n − 1 (F)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ(2n − 1) 2011n + 2012 514. Dowieść, że szereg

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· n · (n + 1) (2n + 1) · (2n + 3) · (2n + 5) jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.

∞

X

n=1

(3n⁷− 2n + 4) · (−1)ⁿ 5n⁹− 3n⁸+ 1000 . 516. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

3n⁸− 2n + 4 5n⁹− 3n⁸+ 1000.

517. Podać przykład takiego ciągu (a_n), że szeregi ^P^∞

n=1

a_n i ^P^∞

n=1

a⁶_n są zbieżne, a szereg

∞

P

n=1

a⁴_n jest rozbieżny.

∞

P

n=1

a_n o sumie równej 4, że dla nie- skończenie wielu liczb naturalnych n zachodzi równość an= 1

√4

n. 519. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego ^P^∞

n=1

a_n, że dla dowolnej liczby natu- ralnej n 2 wyraz a_n jest dodatni, a ponadto

∞

X

n=1

a_n= 1 oraz

∞

X

n=1

|a_n| = 13 .

(14)

W każdym z 5 kolejnych zadań udziel czterech niezależnych odpowiedzi:

520. Ciąg (an) liczb rzeczywistych dodatnich jest zbieżny do liczby rzeczywistej g.

Co można wywnioskować o zbieżności szeregu

∞

X

n=1

an, jeżeli wiadomo, że

a) g = 0 b) 0 < g < 1

c) g = 1 d) 1 < g

521. O ciągu (a_n) liczb rzeczywistych dodatnich wiadomo, że ciąg

a_n+1 a_n

jest zbieżny do liczby rzeczywistej g. Co można wywnioskować o zbieżności szeregu

∞

X

n=1

a_n, jeżeli wiadomo, że

a) g = 0 b) 0 < g < 1

c) g = 1 d) 1 < g

522. O ciągu (a_n) liczb rzeczywistych dodatnich wiadomo, że ciąg a_n a_n+1

!

jest zbieżny do liczby rzeczywistej g. Co można wywnioskować o zbieżności szeregu

∞

X

n=1

a_n, jeżeli wiadomo, że

a) g = 0 b) 0 < g < 1

c) g = 1 d) 1 < g

523. Ciąg (a_n) liczb rzeczywistych dodatnich jest zbieżny do liczby rzeczywistej g.

Co można wywnioskować o zbieżności ciągu

a_n+1 a_n

, jeżeli wiadomo, że

a) g = 0 b) 0 < g < 1

c) g = 1 d) 1 < g

524. O ciągu (an) liczb rzeczywistych wiadomo, że szereg

∞

X

n=1

an jest zbieżny i jego sumą jest liczba rzeczywista g. Co można wywnioskować o zbieżności ciągu (a_n), jeżeli wiadomo, że

a) g = 0 b) 0 < g < 1

c) g = 1 d) 1 < g

Rozwiązania zadań 477–524 znajdują się na liście 7r.