Algebra liniowa Maria Bulińska
---
RZĄD MACIERZY
Definicja 1. Minorem macierzy A
[ ]
aij m n= × nazywamy każdy wyznacznik stopnia
( )
m ns≤min , macierzy kwadratowej
[ ]
bij s×s otrzymanej z macierzy A przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn.Definicja 2. Rzędem macierzy A
[ ]
aij m n= × nazywamy liczbę r=r
( )
A , jeżeli istnieje co najmniej jeden minor stopnia r macierzy A różny od zera i wszystkie minory stopnia większego od r (o ile istnieją) są równe zeru.Wniosek 1 z def. 2. Jeżeli wyznacznik macierzy kwadratowej A
[ ]
aij n n= × jest różny od zera, to r
( )
A = . nWniosek 2 z def. 2. Dla macierzy A i B zachodzą następujące relacje między ich rzędami:
a) r
(
A+B) ( ) ( )
≤r A +r Bb) r
( )
A⋅B ≤min(
r( ) ( )
A,r B)
c) r
( )
AT =r( )
APrzykład 1.
1) Rząd macierzy
2 2
2
2 jest równy 1.
2)
=
7 4 2
0 2
A 1 , r
( )
A ≤2( )
20 7 2
2 0 1
1 = =− ≠ ⇒ r A =
M
3)
−
−
=
4 1 1
1 1 0
3 2 1 A
( ) ( )
01 1
1 1 1
1 1 1 0
1 1 0
3 2 1
4 1 1
1 1 0
3 2 1
det 11 =
−
− −
⋅
=
−
−
−
=
−
−
= +
A , r
( )
A <3( )
20 1 1
0 2 1
1 = =− ≠ ⇒ r A =
M
Algebra liniowa Maria Bulińska
--- Twierdzenie 1. Największa liczba liniowo niezależnych wierszy , jak również największa liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy równa się rzędowi tej macierzy.
Wniosek 1 z tw. 1. Rzędu macierzy nie zmienia żadna z trzech następujących operacji:
a) przestawienie dwu dowolnych wierszy (kolumn),
b) pomnożenie przez liczbę różną od zera któregokolwiek wiersza (kolumny), c) dodanie do któregoś wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) pomnożonego
przez dowolną liczbę.
Korzystając z powyższych operacji każdą macierz można sprowadzić do tzw. postaci bazowej:
0 0
0 0
0 0
0 0
1
0 0
1 0
0 0
0 1
1
1 1
L L
M M
M M
L L
L L
M M
M O M
L L
m r
r
n r
r
+
+
,
w której liczba jedynek (lub elementów niezerowych) jest równa rzędowi macierzy.
Algebra liniowa Maria Bulińska
--- Przykład 2.
1) Wyznaczanie rzędu macierzy przez sprowadzenie do postaci bazowej
=
5 4 3
4 3 2
3 2 1 A
Pierwszy wiersz mnożymy przez –2 i dodajemy do drugiego oraz przez –3 i dodajemy do trzeciego:
( )
−
−
−
−
=
4 2 0
2 1 0
3 2 1 r A r
Pierwszą kolumnę mnożymy przez –2 i dodajemy do drugiej oraz przez –3 i dodajemy do trzeciej:
( )
−
−
−
−
=
4 2 0
2 1 0
0 0 1 r A r
Drugi wiersz mnożymy przez –1:
( )
−
−
=
4 2 0
2 1 0
0 0 1 r A r
Drugi wiersz mnożymy przez –2 i dodajemy do trzeciego:
( )
=
0 0 0
2 1 0
0 0 1 r A r
Drugą kolumnę mnożymy przez –2 i dodajemy do trzeciej:
( )
20 0 0
0 1 0
0 0 1
=
= r A r
Algebra liniowa Maria Bulińska
--- 2) Wyznaczenie rzędu macierzy przez wykorzystanie definicji rzędu i tw. 1.
=
5 4 3
4 3 2
3 2 1 A
Drugą kolumnę mnożymy przez –1 i dodajemy do trzeciej oraz pierwszą kolumnę mnożymy przez –1 i dodajemy do drugiej:
( )
=
1 1 3
1 1 2
1 1 1 A r
Ponieważ rząd jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn, więc:
( )
21 3
1 2
1 1
≤
= r A r
Minor 0
1 2
1
1 ≠
, stąd r
