również w inny sposób —amplituda zmian kąta θm (maksymalny kąt odchy- lenia) musi być mała.
Porównując wyrażenia (16.26) i (16.8), widzimy, że częstość kołowa wahadła równa jest
ω= rmgL
I .
Jeżeli następnie podstawimy wyrażenie na ω do wzoru (16.5) (ω = 2π/T ), otrzymamy wzór na okres drgań wahadła
T = 2π s
I
mgL. (16.27)
Cała masa wahadła matematycznego skupiona jest w ciężarku o masie m znajdu- jącym się w odległości L od punktu zawieszenia. Korzystając ze wzoru (11.26) (I = mr2), możemy zapisać moment bezwładności wahadła w postaci I = mL2. Po podstawieniu do (16.27) i uproszczeniu otrzymujemy proste wyrażenie na okres drgań wahadła matematycznego poruszającego się w zakresie małych kątów
T = 2π s
L
g (wahadło matematyczne, mała amplituda). (16.28)
(W zadaniach do tego rozdziału będziemy zakładali ruch w zakresie małych kątów).
Wahadło fizyczne
Rzeczywiste wahadło, nazywane zwyklewahadłem fizycznym, może mieć skom- plikowany rozkład masy, zupełnie inny niż w wahadle matematycznym. Czy wa- hadło fizyczne również wykonuje ruch harmoniczny? A jeżeli tak, to jaki jest jego okres?
Rys. 16.10. Wahadło fizyczne. Przy- wracający równowagę moment siły wy- nosi hFgsin θ. Gdy θ = 0, środek masy C znajduje się bezpośrednio pod punk- tem zawieszenia wahadła O
Na rysunku 16.10 przedstawiono pewne wahadło fizyczne odchylone w jedną stronę o kąt θ. Siła ciężkości EFg działa na jego środek masy C znajdujący się w odległości h od punktu zawieszenia O. Pomimo różnicy kształtów porównanie rysunków 16.10 i 16.9b ujawnia tylko jedną istotną różnicę między dowolnym wahadłem fizycznym a wahadłem matematycznym. W wahadle fizycznym mo- ment siły związany ze składową siły ciężkości Fgsin θ ma ramię o długości h względem punktu zawieszenia, a nie ramię równe długości linki L. Tak więc pod wszystkimi innymi względami analiza wahadła fizycznego byłaby — aż do wzoru (16.27) — powtórzeniem naszej analizy dla wahadła matematycznego.
Ponownie (dla małych θm) doszlibyśmy do wniosku, że ruch jest w przybliżeniu harmoniczny.
Jeżeli we wzorze (16.27) zastąpimy L przez h, otrzymamy następujące wy- rażenie na okres ruchu wahadła fizycznego
T = 2π s
I
mgh (wahadło fizyczne, mała amplituda). (16.29)
16.6. Wahadła 105
