Uwagi o pojęciu zbioru

Anna Lemańska

Uwagi o pojęciu zbioru

1992

‘ S tu d ia P h ilosop h iae C hristianae A TK

28(1992)1

A N N A L EM A Ń SK A

UWAGI O POJĘCIU ZBIORU

1. W stęp. 2. Zbiór w m a tem a ty ce k la sy czn ej. 3. N ieca n to ro w sk ie rozu­ m ien ia zbioru. 4. U w a g i w sp raw ie istn ien ia zbiorów .

1. W STĘP

W obecnej chw ili tru d n o znaleźć p racę m atem aty czn ą, w k tó re j a u to r nie stosow ałby sym boliki teoriom nogościow ej i nie posługiw ałby się pojęciem zbioru. Co w ięcej, przy po­ m ocy zbiorów p ró b u je się definiow ać inne, tak podstaw ow e pojęcia m atem aty czne jak liczba, fu n k cja czy relacja. Tak więc w m atem atyce w spółczesnej pojęcie zbioru zajm u je cen­ tra ln e m iejsce, m im o że jego histo ria jest stosunkow o kró tka, gdyż sięga końca la t 70 ubiegłego w ieku. W arto jedn ak p a ­ m iętać, iż m atem aty cy, logicy i filozofowie posługiw ali się od daw na rozum ow aniam i m ającym i c h a ra k te r teoriom nogo- ściowy. R ozum ow ania te dotyczyły jed nak tylko p rzy n ależ­ ności elem en tu do zbioru i zaw ierania się zbiorów \

Za tw órcę teorii mnogości jest uw ażany Georg C antor (1845— 1918), k tó ry rozpoczął system atyczne b adania zbiorów nieskończonych. Przez zbiór rozum iał on „każdą wielość, k tó ra da się pom yśleć jako jedność, tzn. każdy ogół określo­ ny ch elem entów , k tó ry m ożna za pom ocą jakiegoś p raw a po ­ wiązać (myślowo) w całość” 2. Zbiory złożone z nieskończonej ilości elem entów C antor tra k to w a ł ta k samo jak zbiory skoń­ czone. W prow adził pojęcie rów noliczności m iędzy zbioram i i badał w łasności te j relacji. Początkow o w yniki uzyskane przez C antora nie spotkały się z p rzy ch y ln y m przyjęciem . Pojęcie zbiorów nieskończonych bow iem w zbudzało różne k o n tro w ersje i było elim inow ane z rozw ażań w łaściw ie do końca X IX w ie k u 3. W y jątek stanow ią prace G. W. Leibniza,

1 N. B ourbaki, E l e m e n t y h is to rii m a t e m a t y k i , W arszaw a 1980, 37. 2 C ytu ję za: L o g ik a fo r m a ln a . Z a r y s e n c y k l o p e d y c z n y z z a s t o s o w a ­

n i e m do i n f o r m a t y k i i li n g w i s t y k i , pod red. W. M arciszew sk iego, W ar­

sza w a 1987, 122.

w k tó ry c h m ożna znaleźć określenia zbieżne z w yrażonym i później przez C a n to ra 4. O baw y m atem aty k ó w i logików p rze d w prow adzeniem zbiorów nieskończonych okazały się do pew nego stopnia uzasadnione. M ianowicie w ro zw ijan ej p rzez C antora „ in tu ic y jn e j” teorii zbiorów pojaw iły się a n ty ­ nom ie. P rzed e w szystkim sam C antor stw ierdził, że nie może istnieć zbiór w szystkich liczb porządkow ych (paradoks B u rali- -Forti). Podobnie założenie, że istn ieje zbiór w szystkich liczb k a rd y n aln y ch , czy zbiór w szystkich zbiorów prow adzi do sprzeczności. A ntynom ia R ussella zaś (sform ułow ana w 1902 r.) ukazała, że nie m ożna p rzy pom ocy dow olnej fo rm u ły utw o ­ rzyć zbioru takich przedm iotów , k tó re m ają w łasność w y ra ­ żoną przez tę form ułę. W szystko to zm usiło do rew izji in ­ tuicji, jakie w iązano z pojęciem zbioru i do podjęcia prób określenia, czym jest z b ió r 5.

J a k się w ydaje, szczególne pro b lem y stw arza pojęcie zbioru nieskończonego. T ak więc w ysiłki m atem aty kó w , m ające na celu w yelim inow anie antynom ii, skoncen tro w ały się głów nie w okół pojęcia nieskończoności a k tu a ln ej. P ró b y te m ożna po­ dzielić na dwie grupy. Do pierw szej zaliczyłabym te, w k tó ­ ry c h samo rozum ienie zbioru pozostaje w zasadzie tak ie samo jak u C antora. P rz y jm u je się istnienie zbiorów nieskończo­ n ych dow olnych mocy. W d ru g iej grupie są tak ie teorie, w k tó ry c h zbiór jest ro zu m ian y inaczej niż w cantorow skiej teorii mnogości i gdzie p rz y jm u je się znaczne ograniczenia dotyczące istn ienia zbiorów nieskończonych. W ty m a rty k u le p rzed staw ię kilk a pró b określenia p o jęcia zbioru zarów no w m atem aty ce klasycznej jak i w niecantorow skich teoriach. W skażę też, jakie te p ró b y m ogą m ieć k onsekw encje dla p re ­ cyzyjniejszego ujęcia zagadnienia, czym jest praw d a i istn ie ­ nie w m atem atyce.

4 L o g ik a fo r m a ln a , dz. cyt., 121—122. W arto też dodać, iż rów n ież B. B olzano w sw o ich P a ra d o k sa c h nie s k o ń czo n o ści w y ra ża ł podobne do p o g lą d ó w Cantora id ee (Filozofia m atem o,tyki. A n to lo g ia t e k s t ó w k l a ­

s y c z n y c h , w yb ór i op racow an ie R. M uraw ski, P ozn ań 1986, 115— 130).

5 P rzyczyn ą p arad ok sów „była n iejasn ość, w b ardziej sk o m p lik o w a ­ n ych przypadkach, in tu icji łączon ej z p o jęciem zbioru. W toku p o le ­ m ik i, jaka w y w ią za ła się dokoła an tyn om ii, okazało się w y ra źn ie, że różni m a te m a ty c y w iążą isto tn ie różne in tu icje z p ojęciem zbioru. W sk u tek ta k ieg o stanu rzeczy oparcie te o r ii m n ogości w y łą czn ie na p od staw ach in tu icy jn y ch stało się n ie m o ż liw e ”. (K. K u ra to w sk i, A. M o­ stow sk i, T eoria m n o g o ś ci w r a z z e w s t ę p e m do o p is o w e j te o r ii m n o g o ś ­

N ależy też pam iętać, iż w języku potocznym rów nież uży­ w a się słowa „zbiór” oraz bliskoznacznych z nim term in ów

jak: mnogość, zestaw , kolekcja. Ma ono tu dw a odm ienne znaczenia: kolek tyw n e i d y stry b u ty w n e . W znaczeniu kolek ­ ty w n y m zbiór jest pew ną całością złożoną z przedm iotów . P rzy k ład am i zbiorów w ty m ro zum ieniu m ogą być stos k a ­ m ieni składający się z poszczególnych kam ieni, czy łańcuch złożony z poszczególnych ogniw. Zbiór w znaczeniu ko lek ­ ty w n y m jest na ogół pew nym obiektem dostępnym spo strze­ żeniu zm ysłow em u. T eorię takich zbiorów rozw inął w m ereo- logii S tan isław L eśniew ski (1886— 1939). Zbiór w znaczeniu d y s try b u ty w n y m jest zaś pew n ym a b stra k c y jn y m tw orem sk ład ający m się z elem entów , k tó re sam e mogą być obiek­ tam i fizycznym i lu b też a b strak cy jn y m i. T rzeba pam iętać, iż w m atem aty ce używ a się pojęcia zbioru w yłącznie w sensie d y stry b u ty w n y m . W arto też dodać, iż isto tn e dla określenia zbioru są tylko jego elem enty, a nie m ają żadnego znaczenia relacje, jakie m iędzy ty m i elem entam i zachodzą.

2. ZBIÓR W M A TEM A TY CE K L A SY C Z N E J

Je d n ą z pierw szy ch p ró b uniknięcia paradoksów było u tw o ­ rzen ie przez R ussella teorii typów . T eoria ta, ciekaw a z teo ­ retycznego p u n k tu w idzenia, nie znalazła zastosow ania w p rak ty c e m atem atyków . Znacznie ow ocniejszą z tego w zględu okazała się ak sjo m aty zacja teorii mnogości. P rz y pom ocy aksjom ató w usiłu je się uchw ycić n ajisto tn iejsze w łasności zbiorów, z k tó ry m i wiąże się in tu icje podobne jak w teorii mnogości C antora.

N ajczęściej w y k o rzy sty w an y m jest u k ład aksjo m ató w Z er- m elo -F raen k la (ZF). Pojęciam i p ierw o tn ym i są: zbiór i dw u- argum ento w a rela cja przynależności elem en tu do zbioru. P rz y jm u je się n a stęp u jące aksjom aty:

( 1) ekstensjonalności — (x)(y )((z) ( z e x = z e y) =>x = y), (2) p a ry — (x) (y) (Ez) ft ) (t e z = (t = x V t = y)),

(3) sum y — (x) (Ey) (z) fz e y = ( E t ) (z e tA t e x)),

(4) zbioru potęgow ego — (x) (Ey) (z) (z e y = ( t ) (t e Z =>t e x)), (5) zastępow ania — dla każdej fo rm u ły H )x, y), w k tó re j b

nie w y stęp u je jako zm ienna w olna, zachodzi: (x) (E!y) H (x,y) => (a) (Eb) (y) (y e b = (Ex) (x e а л H (x,y))),

(6) w yróżniania — dla każdej fo rm u ły H (x), w k tó re j b nie w y stęp u je jako zm ienna w olna, zachodzi: (a) (Eb) (x) (x e b = х е а л Н ( х ) ) ,

(7) zbioru pustego — (Ex) (y) ~ (y e x),

(8) nieskończoności — (Е х )( 0 е х л (у ) (у е х => {y} ex)), (9) regularności — (x) (x V 0 =>- ((Ey) (y e x л x ^ y = 0)))6.

Z ano tu jm y , iż sch em at aksjom atów w yróżniania zapew nia, że w system ie nie pojaw i się sprzeczność ty p u an tyno m ii R us­ sella; ak sjo m at ten bow iem ogranicza m ożliwości tw orzenia zbiorów przedm iotów posiadających określoną własność. Za­ kłada się, że nie każda cecha w yznacza zbiór; m ożna tylko w ydzielić (wyróżnić) z pew nego danego już zbioru podzbiór ty ch jego elem entów , k tó re p osiadają in te resu jąc ą nas w łas­ ność. A ksjo m aty ka ta jest nieskończona i niezupełna. K lasa w szystkich zbiorów zostaje p rzy pom ocy aksjom atów pary, sum y, zbioru potęgowego i nieskończoności „zbudow ana” po­ cząw szy od zbioru pustego. M am y tu do czynienia w yłącznie ze zbioram i, k tó ry ch elem en ty są znow u zbioram i i ta k skoń­ czoną ilość razy (w ynika to z ak sjo m atu regularności) aż do zbioru pustego. W tak ie j teorii mnogości m ożna z in te rp re to ­ wać liczby n a tu ra ln e , rzeczyw iste i w zasadzie w szystkie po­ jęcia m ate m a ty k i klasycznej.

W bad an iach m etam atem aty czn y ch , w k tó ry ch rozw aża się w łasności m odeli różnych teorii, w ty m teorii mnogości, takie podejście jest często n iezby t w ygodne. U żyw a się więc tak ich układów aksjom atów , w k tó ry ch jako pojęcie p ierw o tn e w y­ stęp u je klasa. J e s t to pojęcie szersze niż pojęcie zbioru, k tó ry m ożna określić jako klasę będącą elem entem jak iejś innej klasy. Pozostałe k lasy nazyw a się klasam i w łaściw ym i. J e d ­ n y m z takich system ów ak sjom atycznych jest teoria mnogości M orse’a (M). T erm inam i pierw otn y m i są klasa i rela cja p rz y ­ należności elem en tu do klasy. P rz y jm u je się aksjo m at e;ks- tensjonalności dla klas, schem at aksjom atów istn ien ia klas (każda form uła o jedn ej zm iennej w olnej w yznacza klasę — klasa tak a może nie być zbiorem!), ak sjo m a ty zbioru potęgo­ wego, p ary , sum y, zastępow ania, nieskończoności i re g u la r­ ności dla zbiorów. A k sjom aty ka ta jest nieskończona i niezu ­ pełna. I w ty m p rzy p ad k u u n iw ersu m w szystkich zbiorów zostaje „w yb ud o w an e” n a d zbiorem p ustym . W system ie M

6 P ie r w sz y system a k sjo m a ty czn y teorii m nogości p o d a ł E. Z erm elo (1908 r.). A k sjom at zastęp ow an ia w p ro w a d zili n ieza leżn ie od siebie D . M irim anoff, T. Skolem , A. A. F raenkel. S fo rm u ło w a n ia a k sjo m a tó w m ożna zn aleźć na p rzyk ład w pracy: K. K u ratow sk i, A. M ostow ski,

dz. cyt., 70— 75. D o teg o system u ak sjom atów dodaje się z reg u ły a k sjo ­

na p rzy k ład klasa w szystkich liczb porządkow ych jest p raw i­ dłowo określonym obiektem , k tó ry sta je się przedm iotem b a­ dania. W ygodniej niż w system ie ZF m ożna badać m odele dla teorii mnogości. W arto też dodać, iż w system ie M m ożna udow odnić form alną niesprzeczność teorii ZF. Z tego w zględu teoria M jest często używ ana w m e ta m a te m a ty c e 7.

In n y m system em aksjom atycznym , w k tó ry m jako pojęcie pierw o tn e obok pojęcia zbioru i relacji przynależności p rz y j­ m u je się pojęcie klasy, jest u k ład aksjom atów G ödla-B ern ay- sa (GB). Cechą ch a ra k te ry sty c z n ą tego sy stem u jest skończo­ na ilość aksjom atów . Z am iast bow iem schem atów aksjom atów zastępow ania i w yróżniania p rzy jm u je się skończoną ilość aksjom atów k o n stru k c ji klas 8.

Jeszcze in n y m typem teorii jest teoria mnogości z ato ­ m am i (ZFA). T erm inam i p ierw o tn y m i są: zbiór, atom , r e ­ lacja przynależności elem entu do zbioru. W tym p rzy p ad k u całe u n iw ersum zbiorów zostaje skon stru ow an e n a d zbiorem atom ów p rzy pom ocy aksjom atów : p ary , sum y, zbioru potęgo­ wego, nieskończoności. P a rad o k su ty p u an tyno m ii R ussella unik a się dzięki p rzy jęciu sch em atu aksjom atów w yróżniania. S ystem ten pozw ala na badanie zbiorów złożonych z obiektów, k tó re sam e nie zaw ierają już żadnych elem entów , p rzy czym żaden z nich nie jest zbiorem p u sty m (jak to m a m iejsce w Z F ) 3. W prow adzenie atom ów do teorii mnogości może u ła ­ tw iać pew ne badania prow adzone n a d zbioram i. W szczegól­ ności, poprzez k o n stru k c ję tzw. m odeli p e rm u tac y jn y ch o w ie­ le łatw ie j jest pokazać niezależność ak sjo m a tu w y b oru od po­ zostałych aksjom atów ZFA, niż udow odnić to samo dla teorii 7 S y stem ten pochodzi od A. M orse’a (1965). S form u łow an ia a k sjo m a ­ tó w zn ajd u ją się na p rzykład w pracy: A. M ostow ski, K o n s t r u k t i w -

n y j e m n o ż i e s t w a i ich priłożien ija, M oskw a 1973, 16— 17.

8 S y stem te n został stw orzony przez J. von N eum anna (1925, 1928 r.), a n a stęp n ie przeform ułow a.ny przez P. B ernaysa oraz K. Godła, który p o słu ży ł się n im przy dow odzie n iesp rzeczn ości ak sjom atu w yb oru i h i­ p o tezy co n ti n u u m (K. G ödel, T h e c o n s i s te n c y of th e a x io m of choice

a n d th e g e n e ra lize d c o n ti n u u m - h ip o th e s is w i t h th e a x i o m of set t h e o ­ ry, P rin ceton 1940).

9 A tom jest tak im ob iek tem , k tóry nie p osiada żadnego elem en tu i jest różny od zbioru pu stego. T eorię m n ogości z atom am i badał A. A. F raen k el, a n a stęp n ie A. M ostow ski. S form u łow an ia ak sjom atów m ożn a zn a leźć n a p rzyk ład w : T. J. Jech, T r ie o r ij a m n o ż i e s t w i m i e -

to d forsinga, tłum . z ang., M oskw a 1973, 122— 125. Istn ien ie atom ów

zakłada w sw o jej pracy M. D avis, A p p l i e d n o n - s ta n d a r d a naly sis, N ew Y ork— London— S y d n ey — T oronto 1977, 36, w której tw o rzy system a n a lizy n iestan d ard ow ej.

ZF 10. Z pew nego p u n k tu w idzenia teoria ZFA m oże w ydaw ać się b ardziej „ n a tu ra ln a ” , gdyż w p ra k ty c e spoty kam y się w łaś­ ciw ie ze zbioram i złożonym i z pew n y ch obiektów , z atom ów,

a nie ze zbioram i, k tó ry c h elem en ty są znow u zbioram i itd. W m atem aty ce k o rzysta się jed n ak z teorii ZF, gdyż m a m niej term in ó w pierw otnych. Dla m ate m a ty k a bow iem w istocie nie m a w ielkiego znaczenia „ n a tu ra ” b ad an y ch obiektów , a tylko rela cje m iędzy przedm iotam i. Można więc te obiekty ta k o k re­ ślić, aby były to zbiory o określonych w łasnościach u.

W szystkie podane teorie aksjom atyczne są istotnie niezupeł­ ne, tzn. dodaw anie do aksjo m atów zdań od nich niezależnych nig d y nie da teorii zupełnej. N ajczęściej poszerza się przed ­ staw ione teorie mnogości o ak sjo m at w y b o ru i hipotezę con­

tin u u m , k tó re są często w y ko rzy sty w an e w dow odach tw ie r­

dzeń z analizy, algebry, topologii. B ada się rów nież konse­ kw en cje przy jęcia ak sjo m atu konstruow alności, bądź ak sjom a­ tu d eterm in acji czy in n y ch ro zm aitych założeń. P rzez ostatnie kilkanaście la t szczególnym zainteresow aniem cieszą się hipo­ tezy dotyczące tzw. dużych liczb k ard y n aln y ch .

P rzy jm o w an e w e w szystkich teo riach ak sjo m aty ekstensjo- nalności zapew niają, iż zbiory są identyczne, gdy m ają do­ kład n ie te sam e elem enty. Dzięki tem u m ożna udowodnić, że istn ieje tylko jed en zbiór p u sty , jeden zbiór, k tó ry jest sum ą d anej rod zin y zbiorów, jeden zbiór potęgow y dla danego zbio­ r u itp. Ścisłe zaś rozróżnienie m iędzy przynależnością elem en­ tu do zbioru a zaw ieraniem się zbiorów pow oduje, że term in zbiór jest rozum iany w yłącznie w sensie d y stry b u ty w n y m .

W przedstaw iony ch system ach teorii mnogości m ożna utoż­ sam iać zbiór z w łasnością, k tó rą posiadają elem en ty tego zbio­ ru . W arto podkreślić, że w każd ej z zaprezentow anych teorii mnogości m ożna pokazać istnienie zbiorów o coraz w iększych mocach (tw ierdzenie C antora). W dowodzie k orzysta się z ak sjo­ m atów nieskończoności i zbioru potęgowego. P rz y jm u je się więc, że istn ieją w sensie a k tu a ln y m zbiory nieskończone, co może w zbudzać różnego ro d zaju zastrzeżenia.

10 A. M ostow sk i w y k o rzy stu ją c m o d ele p erm u ta cy jn e pokazał, że a k sjom at w yboru jest isto tn ie siln iejszy n iż zdanie m ów iące, że każdy zbiór m ożna lin io w o up orząd k ow ać (A. M ostow ski, Ü ber die U n a b h ä n ­

g ig k e i t des W o h lo r d n u n g s s a t z e s v o n O rd n u n g sp rin zip , F und. M ath. 32

(1939), 201— 252).

11 O p isow i różnych sy stem ó w teorii m n ogości i p ew n y m filo zo ficzn y m prob lem om zw iązan ym z p ojęciem zbioru jest p o św ięco n a praca: A. A. F raen k el, Y. B ar-H illel, A. L evy, F ou n dati on s of S e t T h e o ry , A m sterd am 1973.

m p o j ę c i e, zpiomj. 75

U tożsam ienie zbioru z w łasnością może w praktycznych, za­ stosow aniach klasycznej teorii m nogości prow adzić do p ew ­ n y ch niejasności, gdyż nie zaw sze d aje się w jednoznaczny sposób stw ierdzić, czy jakiś p rzedm iot posiada daną własność, czy też nie. Trudności te usuw a rozw ijana od la t sześćdziesią­ ty ch teo ria zbiorów rozm ytych. P rzez zbiór ro zm y ty rozum ie się fu n k cję ustalającą stopień przynależności danego p rzed ­ m iotu do zbioru. Teoria ta zyskuje sobie coraz w iększe p r a k ­ tyczne zastosow ania 12; jednakże samo rozum ienie isto ty zbio­ r u jest tu takie samo jak w klasycznej teorii mnogości.

i 3. N IECA N TO R O W SK IE R O ZUM IEN IA ZBIORU

Z daniem in tu ic jo n istó w 13, trudności pojaw iające się p rzy p ró b ach określenia, czym jest zbiór w m atem aty ce klasycznej, an ty n o m ie, k tó re pow stają, są spow odow ane stosow aniem ' lo­ giki klasycznej do zbiorów nieskończonych. Z tego też w zglę­ d u w intuicjonizm ie zostają odrzucone pew ne p raw a logiki klasycznej. Inaczej też u jm u je się w zajem ne związki m iędzy m a te m a ty k ą a logiką. O dm iennie rów nież jest rozumiana* isto­ ta m atem aty ki. W edług in tu icjo n istó w m ate m a ty k a jest sw o­ b o dnym tw o rem u m y słu m atem aty k a. Twórczość ta opiera się n a in tu icji liczby n a tu ra ln e j. Język, k tó ry odgryw a w m a te ­ m aty ce klasycznej doniosłą rolę, dla m a te m a ty k a -in tu ic jonis- ty nie m a w zasadzie żadnego znaczenia, służy m u tylko do zakom unikow ania k o n stru k cji in n y m m atem atykom , n ato m iast nie m a żadnego w pły w u na samo tw orzenie m atem aty k i. Isto t­ ne dla in tu icjo n isty jest przyjęcie zasady, że w szystkie obiekty m uszą być przez niego w efek ty w n y sposób skonstru ow an e z przedm iotów , k tó re m a do dyspozycji w d anym m om encie. Istn ie n ie więc zostało pow iązane w ścisły sposób z m ożliw oś­

cią w ykonania k o nstru k cji. Często n a w e t mówi się, że dla in ­ tu ic jo n isty „istnieć” jest rów noznaczne z „być sk on struo w a­ n y m ”. S tąd odrzucenie p raw a w yłączonego środka, podw ójne­ go przeczenia, a co za ty m idzie, nie p rzy jm ow anie jako p ra ­ w om ocnych dowodów nie w prost.

Takie rozum ienie m atem aty k i pow oduje, że intuicjoniści nie p rz y jm u ją istnienia nieskończoności ak tu aln ej. Możliwa jest tylko nieskończoność p otencjalna. W ten sposób z m a tem a ty ­

12' P ojęcie zbioru rozm ytego zostało w p row ad zon e przez L. A. Z ade- ha w 1965 r.

13 P o d sta w y dla in tu ic jonizm u stw orzył L. E. B rouw er. A. H ey tin g sfo rm a lizo w a ł lo g ik ę in tu icjo n isty czn ą (1930 r.)..

ki zostały w yłączone zbiory ak tu a ln ie nieskończone. Z am iast o zbiorach m ówi się o ciągach, k tó re potencjaln ie m ogą sk ła­ dać się z nieskończonej ilości elem entów . W zasadzie kolejne w y ra z y ciągu m uszą być skonstru o w an e przy pom ocy pew ne­ go praw a. Musi być podana efek ty w n a k o n stru k c ja poszcze­ gólnych elem entów ciągu. W tak im ujęciu ciąg może być oczy­ w iście do pew nego stopnia utożsam iony z efek ty w n y m pro­ cesem jego k o nstru k cji. Od tej zasady B rouw er dopuszczał jed n ak odstępstw o, w prow adzając tzw. ciągi sw obodnych w y­ borów, dla k tó ry c h nie m a z góry narzuconego p ra w a kon­ s tru k c ji poszczególnych elem entów . Sposób określenia n a stę p ­ nego w y razu może być zupełnie in n y niż w yrazów poprzed­ nich, w szczególności może zależeć od przy padk u . Taki ciąg

jest więc n am dany zawsze tylko poprzez sw ój skończony p o ­ czątkow y odcinek. Ciągi sw obodnych w yborów były p o trzeb ­ n e p rzy k o n stru k c ji contin uu m liczb rzeczyw istych. P rz y ich pom ocy m ożna uniknąć pew nych trudności, któ re pow stają p rzy ścisłym trzy m an iu się zasady, że każdy obiekt m usi być w efek ty w n y sposób sk o n stru ow an y z obiektów już istn ie ją ­ cych. Tak więc obok liczb rzeczyw istych, k tó re są k o n stru ­ ow ane p rzy pom ocy pew nego praw a, p ew n ej zasady, dopuszcza się tak ie p u n k ty continuum , k tó re z n a jd u ją się jak b y nie­ u stan n ie w procesie tw orzenia p rzy pom ocy ciągów swobod­ n ych w yborów . C o ntinu u m nie jest więc jakim ś zam k nięty m obiektem , skład ający m się z pun któw , tak jak w m a te m a ty ­ ce klasycznej, lecz jest ciągle w procesie staw an ia się, rozw o­ ju. Takie rozum ienie co n tinu u m liczb rzeczyw istych m a oczy­ wiście ogrom ne znaczenie dla u p raw iania analizy, topologii, algebry. W yniki, k tó re uzyskuje się w m atem aty ce in tu icjo - nistycznej, są odm ienne niż w klasycznej. Na p rzy k ład w szyst­ kie fun k cje, k tó ry ch w artość jest określona dla dow olnej licz­ b y rzeczyw istej, są fu n k cjam i ciągłym i. T rzeba też pam iętać, iż pew ne zagadnienia ro zp atry w an e w m atem aty ce klasycznej w intuicjonizm ie tra c ą sw ój sens (na p rzy k ład hipoteza con­

tinuum ), co pow oduje znaczne zubożenie problem ów , k tó re

m ogą być rozw iązyw ane w m atem aty ce intuicjo nistyczn ej. W tak im „ e le m e n ta rn y m ” u p raw ian iu m ate m a ty k i in tu icjo ­ n isty czn ej m ożna w zasadzie obyć się bez pojęcia zbioru. In - tuicjoniści w p ro w ad zają jed n ak dwa pojęcia, na k tó re m ożna p a trz eć jak na k o n stru k ty w isty c z n y odpow iednik zbioru. B li­ skie klasycznem u sposobowi w yznacznia zbiorów jest o kreśla­ nie g a tu n k u (species). G atu n ek zostaje w yznaczony poprzez podanie c h a ra k te ry sty c z n e j w łasności jego elem entów , k tó re

już w cześniej zostały skonstruow ane. N atom iast zakres (spread) jest w yznaczony przez e fek ty w n ą procedurę, k tó ra działa na skończonych ciągach złożonych z liczb n a tu ra ln y c h . P roced u­ ra ta w yb iera skończone ciągi w tak i sposób, że zostaje utw o ­ rzone z nich drzewo. N ieskończony ciąg, którego każdy skoń­ czony odcinek początkow y zn ajd u je się w ty m drzew ie, jest zakresem u .

P rzy jęcie w intuicjonizm ie istn ien ia tylko nieskończoności p o ten c jaln e j pow oduje, że w każdym m om encie naszej k on­

stru k c ji nowego obiektu m am y do czynienia jedynie ze skoń­ czonym jego frag m entem . Do u tw orzonej już części zawsze m ożna dołączyć now y elem ent. Tak więc ciągi, zakresy oraz

continu u m m ożna utożsam iać z procesem ich tw orzenia.

Jeszcze dalej niż intuicjoniści w ograniczeniach dotyczących nieskończoności posuw ają się finityści, k tó rzy o drzucają istn ie­ n ie nie tylko nieskończoności a k tu a ln ej, ale rów nież p o ten c jal­ nej. W konsekw encji, u zn ają tylko istn ien ie zbiorów skończo­ nych. Na m arginesie w arto dodać, że sk ra jn e poglądy w ty m zakresie głoszą ultrafin ity ści, dla k tó ry ch n a w e t nie istn ieją duże liczby n a tu ra ln e rzęd u 10lo‘°. Z tego też w zględu m ożna mówić tylko o zbiorach złożonych ze skończonej i to niedużej liczby elem entów 15.

O dm iennie niż w m atem aty ce klasycznej czy in tuicjonisty cz- n e j jest ro zu m ian y zbiór w teorii ro zw ijanej przez czeską szko­ lę m atem atyków . D opuszczają oni m ianow icie istnienie tzw. półzbiorów (semisets). Są to klasy, k tó re są podklasam i zbio­ rów . W klasycznej teorii mnogości m ożna udowodnić, że tak ie podklasy m uszą być zbioram i. M atem atycy czescy p rzy jm u ją , że istn ieją półzbiory, któ re są klasam i w łaściw ym i, nie są z b io ra m i16. Jak o arg u m e n t za przyjęciem istnienia półzbiorów może służyć choćby n a stęp u jący przykład. Z teorii ew olucji w iadom o, że istn ieje skończony ciąg zaczynający się od pew

-14 A. A. F raen k el, Y. B a r-H illel, A. L evy, dz. cyt., 257— 258.

15 T ak ie poglądy g ło si A. S. Je.senin-V olpin, Le p r o g r a m m e u l t r a -

i n t u i t i o m s t e d e s f o n d e m e n t s d e s m a t h é m a t i q u e s , w : I n f i n i s t i c M e -. th o d s -. P r o c e e d i n g s o f t h e S y m p o s i u m o n F o u n d a t i o n s o f M a t h e m a t ic s -.

W a r s a w , 2— 9, S e p t e m b e r 1959, W arszaw a 1961, 201—223.

18 T eorii p ółzb iorów obszerną m on ografię p o św ięcili P. Voipenka, P. H âjek, T h e t h e o r y o f se m is e ts , P rague 1972. T eorię zbiorów C an to­ ra m ożna tra k to w a ć jako rozszerzen ie teo rii p ółzb iorów o ak sjom at m ó w ią cy , że każdy półzbiór jest zbiorem . Jest to rozszerzen ie k o n ser­ w a ty w n e , tzn. każda w ła sn o ść dotycząca zb iorów jest d ow od liw a w t e ­ orii zb iorów w te d y i ty lk o w ted y , gdy jest d ow od liw a w teorii p ó ł­ zbiorów .

rie'j m ałpy C harlie, a kończący się na C harlsie D arw inie ta k i, że każdy elem en t tego ciągu jest ojcem elem en tu następnego. W szystkie m ałpy z tego ciągu nie m ogą utw orzyć zbioru. G dy­ b y 'b o w ie m tw orzyły zbiór, m usiałby posiadać on ostatni ele­ m ent. Poniew aż jedn ak sy n m ałpy jest rów nież m ałpą, w ię c w ta k ie j sy tu acji sam D arw in byłby m ałpą ” .

.Pojęcie półzbioru w y stę p u je także w a lte rn a ty w n e j teorii mnogości (AST), stw orzonej rów nież przez czeską szkołę m a ­ tem atyków . W teorii tej m am y do czynienia ze zbioram i z uni- wfersum, k tó re składa się ze zbiorów sk on stru ow an ych ze zbio­ r u pustego. P rz y jm u je się n astęp u jące ak sjo m aty dla zbiorów: (1) ekstensjonalności,

(2) zbioru pustego,

(3) k o n stru k cji zbiorów — (x) (y) (Ez) (u) (u e z = (u e x v u = y)), (4) schem at ind uk cji — dla każdej teoriom nogościow ej fo rm u ły

o jed n ej zm iennej w olnej zachodzi: F (0) Λ (x) (y) (F(x) =s- F (xw{y})) => (x) F(x),

(5) regularności — dla każdej teoriom nogościow ej fo rm u ły F(x) zachodzi: jeżeli (E x)F (x), to (Ex) (F(x) Λ ((y e x) ~ F(y)))*

Ten fra g m en t a lte rn a ty w n e j teorii mnogości nie różni się od teorii mnogości ZF dla zbiorów skończonych. N ie tru d n e w nio­ ski z p rz y ję ty c h aksjom atów m ówią, że podstaw ow e o p eracje na zbiorach w w y n ik u rów nież d a ją zbiory.

Obok zbiorów przedm iotem badania są klasy, czyli o b iek ty składające się ze zbiorów i w yznaczone p rzy pom ocy w łasnoś­ ci zbiorów. P rz y jm u je się następ u jące ak sjo m aty dla klas: (6) istnien ia klas — dla każd ej w łasności H(x) zbiorów z u n i-

w ersum zbiorów istn ieje klasa {x: H(x)} (7) k ażdy zbiór jest klasą,

(8) ekstensjonalności dla klas.

Oczywiście istn ieją k lasy w łaściw e, k tó re nie są zbioram i. N ależy w ty m m iejscu zauw ażyć, iż k lasy w łaściw e w a lte r ­ n a ty w n e j teorii mnogości m ogą być zbioram i z p u n k tu w idze­ nia klasy czn ej teorii mnogości. W szystkie k lasy tw orzą tzw. rozszerzone uniw ersum . O p arta na w ym ienionych 8 aksjo­ m atach teoria jest rów now ażna teorii klasycznej.

Isto tn ą różnicę m iędzy teorią mnogości ty p u cantoro w skie- go a a lte rn a ty w n ą teorią mnogości w prow adza ak sjo m at (9) orzekający, że istn ieją w łaściw e półzbiory.

17 P. V openka, M a t i e m a t i k a w a l t i e r n a t i w n o j tteorii r r m o ż i e s t u M o­ sk w a 1983, 35— 36.

Teoria m ocy w a lte rn a ty w n e j teorii mnógości zasadniczo różni się zarów no od klasycznej jak i intuicjonisty cznej. P rzez klasę, skończoną rozum ie się tak ą klasę, k tó re j w szystkie pod- klasy· są zbioram i. K lasy skończone są więc zbioram i i nie mo-. gą zaw ierać półzbiorów. K lasa, k tó ra nie jest skończona, jest nieskończona. W szczególności w szystkie k lasy w łaściw e są nieskończone. W a lte rn a ty w n e j teorii mnogości p rzy jm u je Się istnienie ty lk o dwóch m ocy nieskończonych: p rzeliczalnej i nieprzeliczalnej. K lasa A jest przeliczalna, gdy jest nieskoń­ czona, liniowo uporządkow ana oraz dla każdego x e A klasa- { y e A : y < x } jest skończona. Dla k las p rzeliczalnych p rz y j­ m u je się n a stęp u jący ak sjo m at (10) o przed łużaniu fu n k cji — dla każdej p rzeliczalnej fu n k cji F istn ieje fun k cja-zb ió r f ta ­ ka, że F ^ f. Z określenia m ocy p rzeliczalnej i z tego a k sjo ­ m atu w ynika, że k lasy przeliczalne są półzbioram i właściwy-, mi.

W szystkie pozostałe k lasy nieskończone są nieprzeliczalne. W szczególności zbiory zaw ierające półzbiory są n ieprzeliczal­ ne. A czkolw iek m ożna przyjąć, iż istn ieją różne moce nieprze-. liczalne, to jednak w y starczy ograniczyć się tylko do jednej. G w a ra n tu je to n a stę p u jąc y ak sjo m at (11), jeżeli X i Y są n ie ­ przeliczalne, to są ró w n o lic z n e 13. Za m o ty w ację dla takiego rozum ienia klas nieskończonych uw aża się n iep recy zy jn e po­ jęcie a k tu a ln e j nieskończoności używ ane w m atem aty ce k la ­ sycznej. Zaobserw ow ano rów nież, że zbiory skończone o bar-, dzo dużej liczbie elem entów m ogą w p ew n y ch sytu acjach „za­ chow yw ać się” jak zbiory nieskończone.

O pisany system teorii mnogości m ożna zin terp reto w ać w ZF. J e s t więc niesprzeczny, o ile ZF jest niesprzeczna. Dowód po­ lega na sk on stru ow an iu u ltrap o tęg i i rozszerzeniu jej o obiek­ ty, k tó re będą klasam i w łaściw ym i w sensie a lte rn a ty w n e j teorii mnogości. K o n stru k c ja tego m odelu może sugerow ać podobieństw o m iędzy a lte rn a ty w n ą teo rią mnogości a m eto­ dam i n iestan d ard o w y m i klasy cznej m atem aty k i. Jed n ak że za­ m ierzeniem tw órców a lte rn a ty w n e j teorii mnogości nie była form alizacja m etod niestan d ardo w ych , a now e zupełnie podej­ ście i stw orzenie odm iennej teorii mnogości, w k tó re j zbiór jest inaczej rozum iany, niż w cantorow skiej teorii m n o g o ściie.

18 A k sjo m a ty a ltern a ty w n ej teorii m n ogości w raz z w n io sk a m i z nich w y p ły w a ją c y m i są zaw arte t a m ż e , 20—56.

18 A. Sochor. T h e a l t e r n a t i v e s e t th e o r y , w : S e t t h e o r y an d hierar-.

A ltern a ty w n a teo ria m nogości może stanow ić podstaw ę dla budow ania m atem atyk i. W rozszerzonym un iw ersu m określa się podstaw ow e s tru k tu ry m atem aty czn e tak ie jak: liczby n a ­ tu ra ln e , w ym ierne, rzeczyw iste, bada się ciągłość i inn e w ażne pojęcia m atem atyczne.

M atem atyka intuicjon istyczn a i a lte rn a ty w n a teo ria m no­ gości są nieklasycznym i propozycjam i ujęcia m atem atyk i. W praw dzie nie zastąpiły teorii mnogości cantorow skiej, lecz dają inne spojrzenie n a podstaw ow e pojęcia m atem atyczne, a także sam e stanow ią bardzo ciekaw y obszar b a d a ń 211.

4. U W A G I W SPR A W IE IS T N IE N IA ZBIORÓW

Ja k w idzieliśm y, w m atem aty ce w spółczesnej nie fu n k cjo ­ n u je tylko jedno ściśle określone pojęcie zbioru. To tak b a r­ dzo podstaw ow e pojęcie jest rozm aicie rozum iane i łączy się z nim różne intuicje. J a k się w ydaje, w trzech p rzedstaw io­ n ych podejściach (klasycznym , intuicjo nistyczn y m , a lte rn a ­ tyw nym ) isto tn e różnice dotyczą rozum ienia nieskończoności. R zu tu je to w konsekw encji na sposób budow ania teo rii zbio­ rów , k tó re nie są skończone. Pojęcie zbioru skończonego, poza różnicam i dotyczącym i samego sposobu jego istnienia oraz określania w łasności jego elem entów , jest w zasadzie w każ­ dym z tych ujęć takie samo.

W intuicjonizm ie w ogóle nie dopuszcza się możliwości a k tu ­ alnego istnien ia obiektu, k tó ry skład ałby się z nieskończonej ilości elem entów . K ażdy przedm io t m atem aty czn y (ciąg, za­ kres, continuum) jest nam dany tylko w skończonych swoich frag m en tach, a nigdy jako całość. W a lte rn a ty w n e j teo rii m no­ gości sy tu acja jest b ard ziej skom plikow ana. Ta teoria różni się zarów no od klasycznej jak i intu icjo n isty czn ej. O piera się, podobnie jak teoria mnogości ty p u cantorow skiego, na logice klasycznej i jest zbudow ana w postaci teorii ak sjom atycznej, co um ożliw a jej badanie środkam i używ anym i w teorii m

o-20 W arto jeszcze w sp o m n ieć o sy stem a ch Q uine’a, które b y ły szero­ ko d ysk u tow an e, lecz n ie p rób ow an o w oparciu o n ie bu d ow ać m a ­ tem a ty k i. W sy stem ie NF w y stę p u je sch em at istn ien ia zb iorów dla fo rm u ł sitratyfikow anych. Q uine w p row ad za tak że w szy stk o o b ejm u ją ­ cą k la sę V i d op ełn ien ie — X każd ej k la sy X. W teo rii Q uine’a m ożna ud ow od nić, że istn ieją zbiory, które m ają tę sam ą m oc, ćo ich zbiór p otęgow y. Jest to w yraźn e od ejście od teorii can torow sk iej (W. van •O. Quine, L o g ik a m a t e m a t y c z n a , W arszaw a 1974, 161— 164).

deli i porów nyw anie z teoriam i k la s y c z n y m i2I. N ależy też zwrócić uw agę, że używ a się w n iej w praw dzie term inó w w ziętych z teorii m nogości k lasycznej — n a p rzy k ła d nieskoń­ czoność, klasa przeliczalna, nieprzeliczalna — m ają one jed ­ n ak tu odm ienne znaczenie. W szczególności półzbiór m a n a ­ stę p u ją cą własność: nie m ożna określić jego ostatniego, ele­ m en tu , jednocześnie zaw iera się w jakim ś zbiorze (nieprze­ liczalnym ), k tó ry z p u n k tu w idzenia k lasycznej teo rii m no­ gości może być skończony. P rz y k ła d y półzbiorów,. k tó re poda­ ją a u to r z y 22, m ogą n asuw ać pew ne analogie z pojęciem zbio­ r u rozm ytego. W podaw anych bow iem p rzy k ład ach pow stają trud no ści z w ym ienieniem w szystkich elem entów p o siad ają­ cych daną własność. T eoria zbiorów ro zm y ty ch usuw a tę tr u d ­ ność poprzez w prow adzenie stopnia przynależności elem entu do zbioru, a lte rn a ty w n a teo ria mnogości przez określenie pół- zbioru.

J a k się w ydaje, zarów no w intuicjonizm ie, jak i a lte rn a ty w ­ n ej teorii mnogości p ró b u je się aproksym ow ać nieskończoność poprzez zbiory skończone, dążąc w ten sposób do usunięcia paradoksów klasycznej teorii mnogości. Teorie m nogości o p a r­ te na cantorow skim ro zu m ien iu zbioru w y sta rc z a ją do z in te r­ p retow an ia w zasadzie w szystkich obecnie ro zw ijan y ch teorii m a te m a ty c z n y c h 23. W ty m sensie teoria mnogości ZF czy M je s t teo rią podstaw ow ą. Jednocześnie, jak już w spom niałam , każda aksjom atyczn a teo ria zbiorów jest isto tnie niezupełna, a u kład y aksjom atów są w zajem nie niezależne. M ożemy więc budow ać rozm aite teorie mnogości. W szczególności, p rz y jm u ­ jąc w łasności zbiorów w yrażone na p rzy k ła d w aksjo m atach ZF, daje się utw orzyć nieskończonie w iele ro zm aity ch teorii, w k tó ry c h pew n e w łasności zbiorów będą się m iędzy sobą róż­ niły. W ybór m iędzy k o n k u ren cy jn y m i teoriam i będzie w zna­ cznym stop n iu zależał od m atem aty k a, od tego do jakiego ce­ lu m a m u dana teoria służyć.

21 Na p rzyk ład teorię M bez ak sjom atu n iesk o ń czo n o ści daje się z in ­ terp reto w a ć w A ST , A ST z k o lei w ZF oraz w M z w y łą czo n y m a k sjo ­ m a tem p otęgow ym . Ta o statn ia teoria daje się zin terp reto w a ć w A ST (P. V bpenka, dz. c y t , 147).

22 T a m ż e , 36.

23 W yjątek od tej r e g u ły m oże sta n o w ić teoria k a teg o rii, która jest u w ażan a za teo rię og ó ln iejszą i bardziej p od sta w o w ą n iż teoria m n o ­ gości. N ależy tak że p am iętać, że przy ok reśla n iu jak ich ś p ojęć przy p om ocy zbiorów u jm u jem y ty lk o część in tu icji, k tóre w ią żą się z ty m p ojęciem , gdyż taka in terp retacja u jm u je ty lk o form aln e w ła sn o śc i b a ­ d an ego p ojęcia i jego n a jw a żn iejsze rela cje z in n y m i p ojęciam i.

W odniesieniu do teorii mnogości traci też sens pojęcie ka- tegoryczności w znaczeniu k la s y c z n y m 24 — u n iw ersum zbio­ ró w nie istn ieje dla nas jako pew na całość, m am y dostęp ty l­ ko do p ew ny ch jego fragm entów . J a k się w ydaje, za tak i stan rzeczy może być odpow iedzialna nieograniczona m ożliwość sto­ sow ania ak sjom atu potęgowego. P rz y jego pom ocy można otrzym yw ać zbiory o coraz w iększych m ocach nieskończonych oraz zbudow ać h ierarch ię zbiorów 25. H ierarch ia ta, jakkolw iek ko n stru o w an a p rzy pom ocy tylko ak sjo m atu zbioru potęgo­ wego, ak sjo m atu sum y i ak sjo m atu nieskończoności ze zbio­ r u pustego, nie daje n am w zasadzie w ielu m ożliwości w n ik ­ nięcia w s tru k tu rę w ew n ętrzn ą, a co za tym idzie, zbadania w łasności zbiorów. W arto w tym m iejscu dodać, że pom ysł Gödla, w y k o rzy stan y w dowodzie niesprzeczności hipotezy

c on tin u u m i ak sjom atu w yboru, opierał się na w y raźny m okre­

śleniu elem entów potęgi danego zbioru. A ksjom at potęgow y nie został w yelim inow any, ale w skazano, jak m ają w yglądać podzbiory danego zbioru (oczywiście chodzi tu o podzbiory zbioru nieskończonego). Ten zabieg pozwolił udowodnić, że w u zyskanym u n iw ersu m zachodzi hipoteza c on tinu um oraz ak sjo m at w yboru.

J a k w spom niałam , teoria mnogości uchodzi za teorię po d sta­ w ow ą, do k tó re j m ożna sprow adzić w szystkie pozostałe teorie. Jednocześnie sam a ta teoria jest niezupełna, nie jesteśm y w stan ie zbadać w szystkich in te resu jąc y c h nas w łasności zbio­ rów, co w ięcej, m am y dużą dowolność w budow aniu rozm a­ ity c h teorii mnogości. Taki stan rzeczy pow oduje, że nasze in­ tu ic je zw iązane z praw dziw ością tw ierd zeń m atem atycznych, a także z istnieniem obiektów m atem aty czn ych w y d ają się nie nie m ieć żadnego p u n k tu odniesienia. Praw dziw ość s ta je się bow iem pojęciem w zględnym , gdyż będzie zależała od tego,

24 T eoria jest kategoryczn a w zn aczen iu klasyczn ym , jeżeli posiada ty lk o jed en m od el z dokładnością do izom orfizm u. A rytm etyk a Peano ze stan d ard ow ą in terp reta cją p o jęcia zbioru i p rzyn ależn ości elem en tu d o zbioru trak tow an a jako teoria rzędu drugiego jest kategoryczn a. Na jeszcze in n e asp ek ty zw racają u w a g ę A. A. F raen k el, Y. Bar-H iiliel, A . L evy. M ia n o w icie w od n iesien iu do zbioru liczb n atu raln ych is tn ie ­ je zu pełna teoria (arytm etyk a Skolem a), która posiad a dobrze o k r e ślo ­ n e p o jęcie sem an tyczn ej praw d ziw ości. N atom iast n ie istn ie je ogóln ie ak cep to w a n a d efin icja praw d y dla sform alizow an ej teorii m nogości

(A. A. F r a e n k e l,.Y. B a r-H illel, A. L ev y , dz. cyt., 318— 319).

25 P o n iew a ż ak sjom at p o tęg o w y jest n ieza leżn y od pozostałych a k sjo ­ m a tó w ZF m ożna rozw ażać teorię m n ogości bez tego aksjom atu, czy z ograniczoną jego w ersją.

w ram ach jakiego system u teorii mnogości dane zdanie jest rozp atry w an e. S y tu acja taka jest szczególnie niedogodna w przy p ad k u teorii, k tó re m ają za zadanie opisyw ać pew n e podstaw ow e dziedziny obiektów m atem aty czny ch jak na p rz y ­ k ład liczby rzeczyw iste czy n a tu ra ln e . Rozw iązania pew nych problem ów będą bowiem zależały od tego, jakie p rzy jm ie się dodatkow e hipotezy. N ajw łaściw sza w y d aje się więc być n a gruncie zaksjom atyzow anych teorii m atem atyczny ch k o h eren - cyjn a definicja praw d y . Podobne uw agi m ożna odnieść i do pojęcia istnienia, gdyż zachodzi konieczność odw ołania się przy u stalan iu , czy jakiś obiekt istnieje, do u n iw ersu m zbiorów (na p rzy k ła d istnienie zbioru niem ierzalnego w sensie L ebesgue’a).

O pisane pro b lem y z rozum ieniem p raw d y i istn ien ia w m a­ tem aty ce w y n ikają, jak się w ydaje, z ograniczeń języka sfor­ m alizow anego teorii mnogości oraz przyjęcia, że istn ieją zbio­ r y nieskończone dow olnych mocy. W m atem aty ce in tu icjo n is-

ty cznej oraz w a lte rn a ty w n e j teorii mnogości p ró bu je się w y ­ elim inow ać te trudności poprzez różnorodne ograniczenia n a ­ k ład an e na pojęcie nieskończoności. Teorie te sta w ia ją sobie za zadanie opisyw anie jednej dziedziny obiektów m atem aty cz­ nych. W ty m kontekście na teorie nieklasyczne m ożna p a ­ trzeć jak na teorie, dające oparcie dla klasycznego rozum ie­ nia p raw d y i istnienia w m atem atyce. P rzy jm ow an e jednak ograniczenia i stosow ane m etody pow odują, iż u p raw ianie m ate m a ty k i w ram ach w spom nianych system ów znacznie od­ biega od a k tu a ln e j p ra k ty k i m atem atyków . Także zakres p ro ­ blem ów, k tó re może rozw iązać m atem aty k a intuicjonisty czna, czy m atem aty k a up raw ian a w ram ach a lte rn a ty w n e j teorii m nogości jest znacznie węższy niż w m atem atyce klasycznej.

Na zakończenie w arto jeszcze przy jrzeć się problem ow i do­ tyczącem u sposobu istnienia zbiorów. Ja k się w ydaje, zagad­ nienie to zależy w głów nej m ierze od rozum ienia isto ty m a­ tem aty ki. B adania nad teorią mnogości nie mogą tu w iele po­ móc, chociaż dają pew ne podstaw y dla prób w yelim inow ania n iek tó ry ch opinii na ten tem at. Intuicjonizm stw orzył w łas­ ną w izję m atem atyk i, w m yśl k tó re j m ate m a ty k a jest swo­ bodnym tw orem um ysłu ludzkiego. Tak więc i istnienie obiek­ tów m atem atyczny ch jest w tak im ujęciu pow iązane z um y ­ słem człowieka. N atom iast p rzy klasycznym rozum ieniu zbio­ ru , jak i w a lte rn a ty w n e j teorii mnogości, zagadnienie istn ie­ n ia zbiorów nie m a już tak jednoznacznego rozw iązania.

K lasycznie problem istn ien ia zbioróyr łączy się z problem em uniw ersaliów . P latonizm uw aża się za w spółczesną w ersję re-

alizm u skrajnego, a in tuicjon izm za fo rm ę k o n c e p tu a liz m u 2S. S p raw a jed n ak w y d aje się być b ard ziej skom plikow ana. · W klasycznym sporze o u niw ersalia m ów i się o sposobie istn ie ­ n ia pojęć ogólnych. Te rozw iązania m ogłyby więc m ieć za­ stosow anie do zbiorów złożonych z indyw iduów . N atom iast w m atem aty ce m am y do czynienia ze zbioram i, k tó ry c h ele­ m en ty są obiektam i m atem atycznym i. Sam e te p rzedm ioty nie m ają zaś jasnego sta tu su ontologicznego. Poza ty m w can- torow skiej teo rii mnogości tw orzy się zbiory, k tó ry c h elem en­ tam i są podzbiory innego zbioru i tego ty p u k o n stru k c ja może być przep ro w ad zana bez żadnych ograniczeń dow olnie w iele razy. Z p u n k tu w idzenia m ate m a ty k a nie m a dla niego w ię­ kszego znaczenia, czy ro z p a tru je zbiór złożony z jakichś ele­ m entó w (na p rzy k ła d liczb n a tu ra ln y c h , k tó re zresztą też m oż­ n a uw ażać za zbiory), czy też zbiór, k tó ry pow staje przez w ie­ lo k ro tn e w ykonanie o peracji b ran ia w szystkich podzbiorów poczynając od zbioru w yjściow ego. T rzeba też pam iętać, że z re g u ły in te resu jąc e dla m ate m a ty k a są zbiory nieskończone i to dow olnych mocy. T ak więc, jak się w ydaje, przeniesienie sporu o uniw ersalia na g ru n t m a te m a ty k i (teorii mnogości) pow inno być poprzedzone tak im jego sform ułow aniem ,; by obejm ow ał sw ym zakresem dowolne zbiory.

P o w staje też jeszcze jed en w ażny problem . Czy sposób, istn ien ia jakiegoś obiek tu m atem atycznego jest tak i sam -jak istnienie zbioru, k tó ry te n obiekt rep re z en tu je ? Odpow iedź na to p y tan ie nie w y d aje się być łatw a. N apo ty k am y tu bow iem rozm aite trudności. P rzed e w szystkim te n sam obiekt m a te ­ m aty czn y może być rep rezen to w an y przez rozm aite zbiory. Poza ty m p rzedm ioty m atem aty czn e z n a jd u ją się n a różnych poziom ach ab strak cji. A utom atyczne porów nyw anie ty ch po­ ziom ów ze stopniam i h ierarch ii zbiorów nie w y d aje się w ła ­ ściwe. Tak więc zagadnienia istn ienia przedm iotów m ate m a ­ tyczny ch nie m ożna red u k o w ać tylko do pro blem u istn ien ia zbiorów.

26 C zynią tak na p rzykład J. S łu p eck i, L. B orkow ski, E l e m e n t y lo ­

SOM E REM A RK S CONCERNING TH E N OTIO N OF SET Su m m ary

T he aim o f th is paper is to p resen t and discuss th ree d ifferen t th eories of sets. T hey are: 1) a x io m a tic sy stem s of set th eory based on th e C antor’s n o tio n o f set, 2) in tu itio n istic m a th em atics, 3) th e altern a tiv e set theory. T he m ain d ifferen ce b etw een th ese th eories is related to th e n otion of th e in fin ite.