Lista 7. Liczność zbioru i nieskończoności
Definicja. Dla danych zbiorów A i B mówimy, że są równoliczne (mają tyle samo elementów, są tej samej mocy...), jeśli istnieje funkcja f : A 7→ B, która jest różnowartościowa i “na” co, dla przypomnienia, oznacza:
1. dla dowolnych a, a0 ∈ A, a 6= a0, zachodzi f (a) 6= f (a0) oraz
2. dla każdego b ∈ B istnieje a ∈ A, takie że f (a) = b; inaczej: każdy element zbioru B jest obrazem pewnego elementu ze zbioru A.
Takie zdarzenie oznaczamy |A| = |B|.
1. Które z poniższych zbiorów skończonych są równoliczne. Wskaż jakiąś bijekcję między nimi ( ⇐⇒
funkcię różnowartościową i "na").
(a) A = {1, 2, 3, 4, 5},
(b) B = {n ∈ N : n < 20 i n jest l. pierwsza}, (c) C = {n ∈ N : 3 < n < 14 i 2|n},
(d) D = {a, b, c, y, z},
(e) E = {z ∈ Z : (z − 13)(z − 20) ¬ 0}.
2. Uzasadnij, że jeśli dwa zbiory skończone mają tyle samo elementów, to są równoliczne.
3. Podaj przykład dwóch zbiorów równolicznych i nierównolicznych (najlepiej nieskończonych).
4. Udowodnij, że jeśli |A| = |B|, to również |B| = |A|.
5. Udowodnij, że jeśli |A| = |B| oraz |B| = |C|, to również |A| = |C|.
6. Uzasadnij, że wszystkie poniższe zbiory mają tę samą moc:
(a) N = {1, 2, ...},
(b) F = {100, 101, 102, ...}, (c) G = {2, 4, 6, ...},
(d) H = {n ∈ N : n ≡ 5 (mod 17)}, (e) Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, (f) I = {k ∈ Z : k ≡ 3(mod 7)}, (g) P = {k ∈ N : k jest l. pierwsza}.
7. Pokaż, że dwa dowolne z odcinków [0, 1], [0, 100], [−1, 1], [43, 87], [−137, −54], [a, b] (a < b) są rów- noliczne.
8. Podaj równoliczność między odcinkami [0, 1], (0, 1], (0, 1).
9. Pokaż, że prosta R jest równoliczna z odcinkiem (−1, 1).
10. Wskaż równoliczność między odcinkiem [0, 360o), a okręgiem O((0, 0), 1).
11. Udowodnij, że N nie jest równoliczne z (0, 1).
12. Udowodnij, że N jest równoliczne z N2= {(n, k) : n, k ∈ N}.
13. Sprawdź, że funkcja f : N ∪ {0} → N ∪ {0} zadama wzorem f (n, k) = 2n(2k + 1) − 1
jest wzajemnie jednoznaczna ( ⇐⇒ jest bijekcją ⇐⇒ jest różnowartościowa i "na").
14. Pokaż, że prosta R jest równoliczna z wykresem dowolnej funkcji liniowej na płaszczyźnie, tzn.
{(x, y) ∈ R2: y = ax + b}.
1
Definicja. Mówimy, że zbiór A jest mniejszej mocy niż zbiór B, gdy istnieje funkcja f : A → B, która jest tylko różnowartościowa (nie musi być "na"). Taki przypadek oznaczamy |A| ¬ |B|.
15. Udowodnij, że jeśli A ⊂ B, to |A| ¬ |B|.
16. Udowodnij, że jeśli |A| ¬ |B| i |B| ¬ |C|, to |A| ¬ |C|.
Twierdzenie (Cantor-Bernstein). Jeśli |A| ¬ |B| oraz |B| ¬ |A|, to |A| = |B|.
17. Korzystając z tego twierdzenia udowodnij jeszcze raz zadanie 8.
18. Przypominając sobie zadanie 12 udowodnij, że
|N| = Q+= {x ∈ Q : x > 0}.
Niech P(A) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A, a AB zbiór wszystkich funkcji f : B → A.
Uwaga: Zapis |A| < |B| oznacza |A| ¬ |B| i nieprawda, że |A| = |B|.
19. Wskaż bijekcję między P(A) oraz {0, 1}A. 20. Kilka trudniejszych faktów:
(a) Zbiór liczb niewymiernych N Q jest większy od Q (tzn. |Q| < kN Q|), (b) |A| < |P(A)| (wsk. rozwaz zbior {a ∈ A : a /∈ A},
(c) |{0, 1}N= |NN| = |P(N)| (wsk. P(N) = P(N2)), (d) |R| ¬ |P(Q)| = |P(N)|,
(e) |{0, 1}N| ¬ |R|,
(f) Wniosek: |{0, 1}N= |NN| = |P(N)| = |R|, (g) |R| = |R2| (wsk: skorzystaj z: |R| = |{0, 1}N).
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
2
