Statyka pręta podpartego w sposób sprężysty poddanego działaniu wpływów mechanicznych i niemechanicznych

(1)

1964

Mgr inż. WOJCIECH SITKO

Katedra Mechaniki i Wytrzymałości Materiałów

STATYKA PRjgTA PODPARTEGO W SPOSÓB SPRĘŻYSTY PODDANEGO DZIAŁANIU WPŁYWÓW MECHANICZNYCH

I HIEMECHAN1C ZNYCH

W pracy przedstawiono zagadnienie obliczania pręta o dowolnej konfiguracji przestrzennej, poddanego działaniu obciążeń mechanicznych i niemechanicznych, z uwzględnie

niem wpływ x pośrednich podpór sprężystych,. Podstawowe związki i relacje przedstawiono w formie macierzowej z zastosowaniem wskaźnikowego sposobu notowania sum (sumo

wanie podług wskaźnika powtarzającego się, przy czym cc» /3 =

Rys8 1

(2)

176 Wojciech Sitko

Korzystając ze wzorów podanych w drogą prostych przekształceń i podstawień, można otrzymać zależności wiążące wielkości uogólnionych sił i przemieszczeń w dwóch sąsiednich przekrojach odcinka pręta (rys0 1),zviaąz ki te zwane w z o r a m i t r a n s f o r m a c y j n y m i można przedstawić następująco:

I 0 0 0 % B

P

% a m p I 0 0 M0C _{b m}

°>Ł3 3

TOp I 0 +

3

% i+1 AuP A „

UM \ I % i

Bu

i, i+1 lub krócej:

M i+1 = M i -i- M lfi+1 (2)

17 powyższej relacji trójkątną macierz 12 y 12 (za

leżną od sztywności przekroju poprzecznego i cech geome

trycznych ulcłodu), nazywać będziemy m a c i e r z ą t r a n s m i s j i odcinka i, wektor W " k o 1 u m n ą o b c i ą ż e n i a , a wektor - k o l u m n ą u o g ó l n i o n y c h s i ł i p r z e m i e s z c z e ń dla przekroju i+1»

Przyjmijmy, że pomiędzy sąsiednimi przekrojami i i i” (rys.2) znajduje się podpora sprężysta. Zakładając ciągłość równania osi odkształconej i jej pochodnej przy przesunięciu przekroju z i' do i!f winny być spełnione warunki geometryczne i statyczne:

(3)

b)

Rys, 2

i i

w których AYy i oznaczają oddziaływania podpory sprężystej, a - symbol Kroneckera

c k~ k~ iho

cf c

/3

w/3

(4)

gdzie:

1 4 i

^8* ^¡8 “ uogólnione przemieszczenia od wpływów niemechanic znych

k k - cosinusy kierunkowe c/ cg

(4)

178 Wojciech Sitko

Definiując macierze!

R def.

I o o T*

o

ur _{o7 00} ] "oitoj'ko/i(Ufl+ Uf

¹

0 0

U l “ - * V » ^ą

0 0 I 0 0

0 0 0 I 0

(5)

możemy uczynić zadość warunkom (3) przemnażając wektor CW L' przez macierz R^ zwaną m a c i e r z ą p r z e j ś c i a oraz dodając do otrzymanego iloczynu k o l u m n ę w p ł y w ó w n i e m e c h a n i c z n y c h [qji#

M i " - R i M i ' + [i]±

(

⁶

)

Podstawiając zamiast [w]/ (wg 2)

[w] = T± [»]._, + [q]Ł (7)

otrzymamy:

tw]i" =.

^r^{^}

[»i., +

^{Rt [q]A}

+ Mi

^{(a )}

to proste podstawienie eliminuje z (6) wielkości [wjj' * W podobny sposób dla n - odcinków,rozdzielonych pod porami sprężystymi, otrzymamy ( n > 3 ) *

.on fion-1 jai+1

X TT tjro - i **wi*wn**

li*1 j-n

a '

V i ł i+ W » -

(9 )

i=1 j=n-

(5)

Związek pomiędzy wielkościami uogólnionych sił i prze miessczeń w przekrojach 0 i n przedstawiono w posta

ci sura składników, z których pierwsza, charakteryzuje za gadnienie jednorodne, druga ujmuje wpływ obciążenia me

chanicznego, trzecia - wpływy niemechaniczne» Dzięki za

stosowaniu prostej eliminacji niewiadomych, niezależnie od liczby pośrednich podwieszeń sprężystych i liczby od- dinków pręta relacja (9) zawiera, prócz znanych wartości tylko wielkości uogólnionych sił i przemieszczeń, które występują w przekrojach początkowym 0 i końcowym n (lub pośrednim n ** k)# Wielkości niewiadome wyznaczamy z wa

runków brzegowych, które określa sposób zamocowania pręta.

Wnioski i uwagi i

1, Zastosowanie prostej eliminacji niewiadomych spro

wadza obliczenia schematu o dowolnej konfiguracji, nie

zależnie od liczby pośrednich podwieszeń sprężystych do rozwiązania układu równań liniowych o sześciu niewiado

mych, dla układu płaskiego otrzymamy trzy równania linio we (niewiadomymi są uogólnione siły i przemieszczenia w skrajnych przekrojach pręta),

2» Technika obliczania sprowadza się do prostych w działaniu dodawania i mnożenia macierzy*

3, Przedstawiony sposób obliczeń opracowano z myślą o zastosowaniu elektronowych maszyn cyfrowych.

LITERATURA

[li Argyris J„H»s Die Matrizentheorie der Statik, Ing, Arch. XXVI, 1958,

[2] Falk S.i Die Berechnung von Rahmentragwerken mit Eil fe von Übertragungsnatrizen, 37, No 7/8-1957

(6)

180 Wojciech Sitko

Marguerre K.: Matrices of Transmission in Beams Pro

blems, Progress in Solid Mechanics - vol. I, I*N, Sneddon R, Hill Editors, I960,

[4] Ponomariow K.K#: Obliczanie belek ciągłych metodą ma cierzową, Inż. Bud. XVII - i960 Nr 1 i 2,

[5] Sitko W,: Kilka uwag o obliczaniu belek na podporach sprężystych sposobem macierzowym, Zesz, Nauk, Budow

nictwo, (w druku),

[ ⁶ ]

Woźniak C,: Statyka rozgałęzionych przestrzennych ru rociągów samokompensacyjnych, Rozpr, Inż, 1,11(1963)