Anna Lemańska
"Platonism and anti-platonism in
mathematics", Mark Balaguer, New
York 1998 : [recenzja]
Studia Philosophiae Christianae 37/1, 195-201
S tu d ia P h ilo so p h iae C h ristian ae U K SW
37(2001)1__________
RECENZJE
M ark B alaguer, Platonism a n d A n ti-P la to n ism in M athem atics, O x ford -N ew York 1998, ss. 217.
Z ag ad n ien ie, czym jest p rzed m io t b a d a ń m atem atyka, stanow i fun d am entaln y p ro b lem filozofii m atem atyki. Z e w zględu n a ró ż n o rakie uw ikłanie tego zag ad n ien ia w h istorii filozofii w ypraco w ano wiele stanow isk w tym zakresie. W w ieku X X rozwój w ie dzy m atem atycznej, a także wyniki uzyskane w podstaw ach m a tem atyki zm usiły do rewizji starych i zapro p o n o w an ia nowych koncepcji dotyczących istoty m atem atyki a uwzględniających w spółczesny stan b a d ań m etodologiczno-logicznych. Jak d o tąd jed n a k nie w ypracow ano stanow iska, k tó re zostałoby z a ak c e p to w ane przez znaczną większość filozofów m atem atyki. K w estie te n a nowo p o d jął w swej m onografii M ark B alaguer.
A u to r dzieli stanow iska w kw estii c h a ra k te ru przed m io tu m a tem atyki n a dwie grupy: n a stanow iska p lato ńskie i antyplatoń- skie. P lato nizm w filozofii m atem atyki o kreśla ja k o pogląd, g ło szący istnienie abstrakcyjnych obiektów . Te obiekty nie są ani czasowe, ani p rzestrzen n e, ani zależne od um ysłu. Ich własności opisują teo rie m atem atyczne. Stanow iska antyplatońskie n a to m iast wykluczają m ożliwość istn ienia abstrakcyjnych obiektów . Toteż teo rie m atem atyczne m uszą być in te rp re to w a n e odm iennie niż w platonizm ie. Z aró w no koncepcje plato ńskie, jak i antypla toń sk ie w ystępują w w ielu w ersjach. W pracy M. B alaguer an a li zuje o b a typy stanow isk o raz argum enty wysuwane przeciw ko nim z różnych pozycji.
A u to r sta ra się pokazać, że choć nie istnieją niepodw ażalne r a cje, przem aw iające n a korzyść któ reg o ś ze stanow isk, to nie m a rów nież argu m entó w obalających te koncepcje. Co więcej, w pracy bro ni „p ełn eg o ” p lato n izm u (plenitudinous platonism ,
fu ll-b lo o d e d plato n ism ), k tóry przyjm uje istnienie wszystkich bez
w yjątku logicznie możliwych abstrakcyjnych obiektów m a te m a tycznych, o raz fikcjonalizm u, k tóry tra k tu je pojęcia m atem atycz n e ja k fikcje literackie. W tym celu a u to r pokazuje, jak o ba te stanow iska rozw iązują wysuwane przeciw ko nim trudności.
P raca sk ład a się ze Wstępu i trzech części. We Wstępie a u to r szkicuje p lan swojej pracy. Tu też d o k o n u je podziału stanow isk platońskich i antyplatońskich. W śród stanow isk platońskich wy różnia : (1) platonizm obiektowy, (2) strukturalizm , (3) pełny pla- tonizm . Stanow iska antyplatońskie dzieli na: (1) realistyczne i (2) antyrealistyczne. D o stanow isk realistycznego antyplatoni- zm u zalicza: (1) koncepcję głoszącą, że m atem atyka b ad a obiekty fizyczne i (2) psychologizm. G łów ne stanow iska antyrealistyczne to: (1) konw encjonalizm , (2) deduktyw izm , (3) form alizm , (4) fikcjonalizm .
W części pierwszej a u to r w skazuje n a dwie najczęściej p o d n o szone trudności, jak ie stw arza przyjęcie platonizm u. Je d n ą z nich jest „problem epistem ologiczny”, a m ianow icie kw estia naszego d o stęp u poznaw czego do realn ie istniejącego pozaczaso- wego i p o zap rzestrzen n eg o św iata abstrakcyjnych obiektów m a tem atycznych. D ru g ą stanow ią tru d n ości zw iązane z istnieniem w ielu isto tn ie różnych in terp retacji po jęć m atem atycznych. M. B alaguer ro zp a tru je ob a te argum enty w sform ułow aniu wysu niętym przez P. B enacerrafa.
M. B alag uer referu je ro zm aite koncepcje, m ające na celu ro z w iązanie p ro b lem u epistem ologicznego. W skazuje n a ich niewy- starczalność, a n a stęp n ie p ró b u je uzasadnić, że p e łn a w ersja p la tonizm u pozw ala om inąć trudności, pojaw iające się w innych stanow iskach platońskich. K w estie epistem ologiczne p rzestają bow iem być, w edług a u to ra , jakim kolw iek problem em , gdyż sk o ro istnieją dow olne abstrakcyjne obiekty, to k ażda nasza nie- sprzeczna te o ria m atem atyczna opisuje pew ien fragm ent świata m atem atycznego. S tąd d o stęp poznawczy m am y pop rzez te o rie m atem atyczne i nie m a żadnej konieczności, by obiekty m a te m a tyczne w jakiś sposób n a nas oddziaływały. P odobnie, argum ent z niejednoznaczności in terp retacji nie obala, w edług au to ra, p e ł nego platonizm u. U niw ersum obiektów m atem atycznych jest b o w iem tak bog ate, że dopuszcza istn ienie odm iennych możliwych światów.
W drugiej części a u to r analizuje, z kolei, argum enty przeciw ko antyplatonizm ow i. K oncentruje się tu n a argum encie Fregego oraz na argum encie z niezbędności Q u in e ’a -P u tn a m a , gdyż je je dynie uważa za pow ażne argum enty przeciw ko stanow iskom anty- platońskim . D la Fregego jedynym sposobem wyjaśnienia praw dzi wości teorii m atem atycznych jest przyjęcie platonizm u, a teo rie m atem atyczne są prawdziwe, gdyż są niezb ęd ne w naukach przy rodniczych. N atom iast Q uine uważa, iż nie m a zasadniczej różni cy m iędzy rozm aitym i term inam i, występującym i w teoriach przy rodniczych. Skoro zatem przyjm uje się istnienie obiektów fizycz nych, to rów nież trzeb a uznać istnienie obiektów abstrakcyjnych. Podobnie, ja k w poprzedniej części odn o śnie do platonizm u, tak tu w odniesieniu do antyplatonizm u M. B alaguer wskazuje, że te argum enty, chociaż m ogą stw arzać trudności rozm aitym wersjom antyplatonizm u, to nie stosują się do fikcjonalizm u. By podważyć argum ent Q u in e ’a -P u tn a m a przyjm uje nom inalistyczny realizm w odniesieniu do nauk przyrodniczych, tzn. uznaje, że ta część teorii przyrodniczej, k tó ra dotyczy świata fizycznego m oże być prawdziwa, nato m iast to, co odnosi się do obiektów abstrakcyj nych, jest fikcyjne.
M. B alaguer uważa zatem , że p latonik m oże rozw iązać praw ie wszystkie swoje problem y, przyjm ując pełny platonizm , a anty- platonik pokon ać trudności ujęć antyplatońskich, opow iadając się za fikcjonalizm em . W arto podkreślić, że w edług auto ra, arg um en ty B en acerrafa obalają inne niż pełny platonizm wersje p lato n i zmu. Z astosow ania m atem atyki oraz przyjęcie „brzytwy O ckha- m a” stw arzają n atom iast problem y dla p ełneg o platonizm u.
W trzeciej części M. B alaguer p rez e n tu je swoją koncepcję. Jest to stanow isko negatyw ne w duchu neopozytyw izm u. A u to r stw ierdza m ianow icie, że nie m oże rozstrzygnąć kontrow ersji m iędzy plato n izm em (pełnym ), a an typlatonizm em (fikcjonali zm em ). Z a te m przyjm uje praw ie wszystko, co na tem a t m a te m a tycznych teo rii i praktyki tw ierdzą platoniści i fikcjonaliści, lecz jedno cześn ie nie zajm uje żadnego stanow iska w kwestii istnienia bądź nieistnien ia abstrakcyjnych obiektów m atem atycznych.
Szczególną uwagę zwraca jasność i precyzja wywodów M. Ba- laguera. Pod w zględem form alnym p raca przypom ina bardziej rozpraw ę m atem aty czną niż tra k ta t filozoficzny. Już we Wstępie a u to r w yraźnie staw ia tezę swojej pracy, by w dalszym ciągu k o n
sekw entnie dążyć do jej uzasadnienia. Szuka rów nież w swojej koncepcji tych m iejsc, k tó re m ogą budzić wątpliwości, czy p ro w o kować do staw iania nowych problem ów . Zaw sze rzetelnie u s to sunkow uje się do ew entualnych zastrzeżeń i jednocześnie p ró b u je pokazywać, ja k m ogą być o n e u su n ięte. G łów ny zarzut, jaki m ożna postaw ić autorow i pracy, to ten , że nie odw ołuje się on w istocie do praktyki m atem atyków , do żywej, realnej m atem aty ki z całym jej bogactw em treściow ym , fo rm alną stru k tu rą i p o w iązaniam i z nau k am i przyrodniczym i, hum anistycznym i, sp o łecznymi. K o ncepcja B alag u era odnosi się raczej do w yidealizo w anego o b razu m atem atyki, jak i tworzy a u to r na użytek swojej pracy, niż do praw dziw ej m atem atyki rozw ijanej od tysiącleci przez m atem atyków . M. B alagu er widzi bow iem w m atem atyce tylko szereg teo rii m atem atycznych. W praw dzie systemy aksjo- m aty czno -ded uk cy jn e od czasów E u klid esa odgrywają w m a te m atyce d o nio słą rolę, lecz dotyczy o n a tylko p rezentacji d anego frag m en tu wiedzy m atem atycznej. M atem aty ka zaś nie jest tw o rzo n a w postaci gotowych system ów dedukcyjnych. W iedza m a tem atyczna rozw ijana jest początkow o w postaci nieform alnych teo rii w yraźnie o ch ara k te rz e treściow ym . N a tym etap ie m ozo l nego k ształtow ania się nowych pojęć i idei z reguły w yznaczni kiem praw dziw ości staje się o d n iesien ie do jakiegoś św iata pojęć m atem atycznych. Te pojęcia m atem atycy tw orzą przez idealizacje i abstrak cje w ielostopniow e.
M. B alag u er nie po ru sza w ogóle p ro b lem u abstrakcji i ideali- zacji. W praw dzie zajm uje się abstrakcyjnym i obiektam i, lecz nie p ró b u je przyjrzeć się, w jaki sposób człow iek dokonuje a b stra k cji i idealizacji, tw orząc pojęcia abstrakcyjne. Z budow anie je d nak adekw atnej epistem ologii i ontologii m atem atyki wym aga analizy praktyki badaw czej samych m atem atyków oraz uw zględ nien ia genezy podstaw ow ych pojęć m atem atycznych.
P om inięcie kw estii zw iązanych z ab strah o w an iem i id ealizo w aniem p raw d o p o d o b n ie p o w o d u je to, że a u to r b ardzo n e g a tywnie o cen ia realistyczny antyplatonizm . W swej pracy om aw ia tylko stanow isko J. S. M illa i w spom ina koncep cję P. K itchera. Pom ija zaś zu p e łn ie poglądy n a m atem aty k ę m ieszczące się w nu rcie filozofii arystotelesow skiej i tom istycznej, a także k oncepcję zw olenników m aterializm u dialektycznego. W łaśnie w tych stanow iskach je st p o łożony b a rd z o duży nacisk n a p ro c e
dury a b strah o w an ia i idealizow ania, p ro w adzące do utw orzenia p ojęć abstrakcyjnych. M. B alag u er prześlizguje się rów nież nad pogląd am i M. R esn ika i S. S hap iro , k tórzy (w ram ach p la to n i zm u) zajm u ją się p ro cesam i a b strah o w an ia z fizycznych p rz e d m iotów . Je st to niew ątpliw ie słabość koncepcji M. B alaguera. R ozw ażenie bow iem kw estii dotyczących genezy pojęć m a te m a tycznych m ogłoby u sunąć w iele p ro b lem ó w i dać odpow iedź n a n iek tó re z pytań.
M. B alaguer w ielokrotnie pod k reśla, że nie in teresuje go, w jaki sposób m atem atyk tworzy teo rie m atem atyczne, w szcze gólności stw ierdza, że teo ria „m oże się przyśnić” (s. 48). Pow staje tu zatem n a tu ra ln e pytanie, skąd m atem aty k wie, że jeg o teo ria jest te o rią m atem atyczną, a term iny, w niej w ystępujące, są p o jęciam i m atem atycznym i? W ydaje się, że jedynym przyjm ow a nym przez a u to ra ograniczeniem jest niesprzeczność teo rii i oczywiście zgodność z form alnym schem atem teo rii aksjom a- tyczno-dedukcyjnej. M ożna jed n a k z b a rd z o dużym p raw d o p o dobieństw em postaw ić h ip o tezę, że m atem atycy nie stworzyliby interesujących, płodnych i o licznych zastosow aniach teorii, gdy by zwracali uw agę tylko na niesprzeczność teorii.
Jeżeli w takim kontekście analizujem y epistem ologiczną k o n cepcję M. B alaguera dotyczącą pozn aw an ia obiektów m a te m a tycznych, to łatw o daje się zauważyć, iż w praw dzie pozw ala ona om inąć trud n o ści w skazane przez B en acerrafa, lecz jednocześnie zastosow ać ją m ożna do obrony każdego ze stanow isk, w idzącego w m atem atyce tylko szereg teo rii aksjom atyczno-dedukcyjnych. Poniew aż jed n a k m atem aty k a nie w yczerpuje się tylko w tego ty p u teo riach , więc koncepcja B alag uera w ydaje się nie dotyczyć realnej m atem atyki. Toteż definityw ne o drzu cen ie zarzutów B e n a c errafa wym aga innego rozw iązania „p ro b lem u epistem olo- gicznego” . D la B alagu era m oże nie m ieć tó znaczenia z tego p o w odu, że ja k sam stw ierdza, jego k oncepcja pokazuje, w jaki sp o sób m ożna poznać abstrakcyjne obiekty, nie w chodząc z nim i w żadne relacje, a tym samym om inąć tru d n o ści w skazane przez B enacerrafa. Jedn o cześn ie rozw iązanie zap ro po no w ane przez B alagu era nie stanow i arg u m en tu za przyjęciem pełn ego p la to n i zm u. A u to r bow iem p rogram ow o nie chce się wypowiadać n a t e m aty ontologiczne m atem atyki. Jeg o arg u m en tacja zatem p o z o staje czysto negatyw na.
Nie podzielając stanow iska, że do p o zn ania abstrakcyjnych obiektów konieczny jest jakiś k o n tak t poznawczy z nimi, M. B a lag uer w ielok ro tnie pisze o intuicji m atem atycznej, o pojęciu liczby czy zbioru, o intuicji przedteoretycznej. W szczególności, opisuje pro ces tw orzenia teo rii m atem atycznej począwszy od n a szych intuicji na tem a t pojęć m atem atycznych (s. 65). Skąd p o chodzą te intuicje, jeżeli nie m am y k o n tak tu poznaw czego ze św iatem obiektów m atem atycznych? Czy mogły o ne pow stać bez naszego k o n ta k tu poznaw czego z rzeczywistością m atem atycz ną? Czy w te n sposób rzeczywistość m atem atyczna nie zostaje podzielo n a w arbitralny sposób n a nasze dobrze nam intuicyjnie po zn ane po jęcia m atem atyczne i jak ąś resztę, w gruncie rzeczy do niczego nam n iep o trzeb n ą, gdyż i ta k nie m am y aktualnie do niej żad n ego d o stęp u poznaw czego? M. B alaguer stara się w yka zać, że jest m ożliw a w iedza o o biek tach abstrakcyjnych bez w chodzenia z nim i w relacje. W szystko m ianowicie zaczyna się od zbudow ania teorii m atem atycznej. Je st to błyskotliwy a rg u m ent, ale zakładający już nasze u p rze d n ie obycie z pewnym i p o jęciam i m atem atycznym i.
B alag uer rów nież w ielokrotnie pisze o standardow ych m o d e lach dla teorii. W yróżnienie je d n a k jakiejś klasy standardow ych m odeli nie wydaje się m ożliwe bez k o n tak tu poznaw czego z obiektam i m atem atycznym i. W praw dzie a u to r zauw aża, że m odele stan d ard o w e są szczególne tylko ze względów socjolo gicznych b ądź psychologicznych (s. 64), zatem ich status ontyczny jest taki sam jak innych m odeli, lecz przy rozpatryw aniu praktyki m atem atyków pow staje in teresu jące pytanie: dlaczego pew ne m odele m atem atycy są skłonni uw ażać za uprzyw ilejow ane i n i mi się szczególnie zajm ować?
M. B alag u er pisze, że jest jedynym czy jednym z b ard zo n ie licznych obrońców koncepcji p ełn eg o platonizm u (s. 7). W arto jed n a k w spom nieć, że stanow isko b ard zo zbliżone do pełnego plato n izm u przyjm uje ks. M ichał H eller. Szkoda, że M. B alaguer nie zna języka polskiego i nie m ógł zapoznać się z koncepcją H ellera. M oże pew ne jego w ątpliwości mogłyby zostać rozw iane.
Stw ierdzenie, że w filozofii m atem atyki nie istnieje żaden a r g um ent rozstrzygający n a korzyść któ reg o ś z istniejących sta n o wisk ontologicznych, nie jest odkrywcze. Je d n ak p rac a B alaguera jest św ietną m onografią, ukazu jącą w spółczesne stanow iska
w kwestii istoty p rzed m io tu m atem atyki i n a pew no zainteresuje wszystkich poszukujących odpow iedzi na pytanie: co to jest m a te m atyka?
A n n a Lem ańska Wydział Filozofii Chrześcijańskiej, U K SW
D ietrich von H ildeb rand , Koń trojański w mieście Boga. Przyczyny
kryzysu w Kościele katolickim , tłum . J. W ocial, B iblioteka Frondy,
W arszawa 2000, ss. 214.
D ietrich von H ild eb ran d (+ 19 7 7 ) filozof niem iecki pracujący przez wiele lat na U niw ersytecie Ford h am w Nowym Jorku, zo stał nazwany przez p apieża Piusa X II „d o ktorem Kościoła X X w ieku”. To rzadko spotykana oznaka wysokiego uznania, którym cieszy! się filozof jeszcze przed swoją śm iercią. W dwa lata po za kończeniu S oboru W atykańskiego II H ild ebrand wydal głośną, jak się później okazało, książkę pod tytułem : Trojan Horse in the City
o f God: The Catholic Crisis Explained. Jest to praca, w której au
to r z dużą wnikliwością i jasnością od słania błędy związane z przeprow adzeniem posoborow ej odnowy w Kościele. Błędy te zauw ażalne już w 1967 r. niestety nadal zagrażają Kościołowi, nic więc dziwnego, że książka doczekała się w U SA drugiego wyda nia (w 1993 r.), poszerzonego m. in. o przedm ow ę kardynała N o wego Jo rk u Jo h n a O ’C onnora.
„K oniem tro ja ń sk im ”, zd an iem D. von H ild eb ra n d a, jest źle rozu m ian a p o sob o ro w a odno w a p ro p ag o w an a przez tzw. „p o stępow ych k atolikó w ”. K siążka sk ład a się z Wprowadzenia i czterech części.
N a szczególną uwagę zasługuje cz. I pt.: Prawdziwa i fałszywa
odnowa, w której H ild eb ran d słusznie zauw aża, że takie o kreśle
nia jak: „postępow y” lub „konserw atyw ny” odnoszone do n iek tó rych katolików czy grup kościelnych są czystym nieporozum ie niem . Sugerują one bowiem podział członków K ościoła na tych, którzy są za odnow ą i tych, którzy są przeciw odnowie. A p rze cież jest czymś oczywistym, że Kościół jak o żywe Ciało C hrystusa p o trzebuje ciągłej odnowy. Z drugiej strony, gdy weźm ie się pod uwagę takie cechy Kościoła jak np. jego nieom ylność, obow iązek
