Zestaw VII
Podstawy teorii spinu 1/2
Przydatne informacje:
Operator spinu S:
σ
S 2
, (1)
gdzie macierze Pauliego:
0 1
1 0
x ,
0
0 i
i
y ,
1 0
0 1
z .
Własność macierzy Pauliego:
Aσ
Bσ
ABI i
AB
σ, (2) gdzie A i B są wektorami lub operatorami wektorowymi przemiennymi z σ . Magneton Bohra:
T eV 10 8 . 5 T J 10 274 . 2 9
5
24
m
e
B
Operator momentu magnetycznego (dla elektronu g2):
S S
μ m
g e
S 2
(3)
ZADANIA 1. Wiadomości wstępne
1.1 Proszę podać postulaty teorii Pauliego.
1.2 Zakładając, że spin elektronu jest wynikiem jego wirowania wokół własnej osi obrotu, oszacować wartość prędkości liniowej ruchu obrotowego na „równiku” elektronu. O czym świadczy otrzymany wynik?
(Wskazówka: założyć, że elektron jest sztywną kulką o promieniu re z klasyczną wartością momentu bezwładności. Za wartość oczekiwaną S przyjąć 3 2).
2. Macierze Pauliego 2.1 Wyraź macierz M:
d c
b M a
przez macierze Pauliego.
(Wskazówka: można przyjąć, że macierz jednostkowa jest czwartą macierzą Pauliego).
2.2 Proszę wyznaczyć wartości własne macierzy Pauliego σ .
2.3 Wykazać, że operator rzutu spinu na dowolny kierunek n w przestrzeni ma postać:
cos sin
sin cos
2 i
i
e S e
n .
(Wskazówka: skorzystaj z faktu, że kierunek w przestrzeni jest wyznaczony przez wektor jednostkowy n
sincos,sinsin,cos
).2.4 Oblicz wartości własne i funkcje własne operatora S z zadania 2.3. n 2.5 Korzystając z własności macierzy Pauliego:
m jkm jk
k
j i
udowodnić związek (2), tzn.:
