Zestaw zadań z fizyki kwantowej
4. Teoria spinu (macierze Pauliego, spinory, równanie Diraca)
Przydatne informacje:
Operator spinu S:
σ
S 2
, (1)
gdzie macierze Pauliego:
0 1
1 0
x ,
0
0 i
i
y ,
1 0
0 1
z .
Własność macierzy Pauliego:
Aσ
Bσ
ABI i
AB
σ, (2) gdzie A i B są wektorami lub operatorami wektorowymi przemiennymi z σ . Magneton Bohra:
T eV 10 8 . 5 T J 10 274 . 2 9
5
24
m
e
B
Operator momentu magnetycznego (dla elektronu g2):
S S
μ m
g e
S 2
(3)
ZADANIA 1. Wiadomości wstępne
1.1 Proszę podać postulaty teorii Pauliego.
1.2 Zakładając, że spin elektronu jest wynikiem jego wirowania wokół własnej osi obrotu, oszacować wartość prędkości liniowej ruchu obrotowego na „równiku” elektronu. O czym świadczy otrzymany wynik?
(Wskazówka: założyć, że elektron jest sztywną kulką o promieniu re z klasyczną wartością momentu bezwładności. Za wartość oczekiwaną S przyjąć 3 2).
2. Macierze Pauliego 2.1 Wyraź macierz M:
d c
b M a
przez macierze Pauliego.
(Wskazówka: można przyjąć, że macierz jednostkowa jest czwartą macierzą Pauliego).
2.2 Proszę wyznaczyć wartości własne macierzy Pauliego σ .
2.3 Wykazać, że operator rzutu spinu na dowolny kierunek n w przestrzeni ma postać:
cos sin
sin cos
2 i
i
e S e
n .
(Wskazówka: skorzystaj z faktu, że kierunek w przestrzeni jest wyznaczony przez wektor jednostkowy n
sincos,sinsin,cos
).2.4 Oblicz wartości własne i funkcje własne operatora S z zadania 2.3. n 2.5 Korzystając z własności macierzy Pauliego:
m jkm jk
k
j i
udowodnić związek (2), tzn.:
Aσ
Bσ
ABI i
AB
σ. 3. Spinory (przypadek s1 2)Wprowadzamy dwa wektory: oraz tworzące bazę w przestrzeni 2-wymiarowej:
0
1 2 , 1 2 1
ms
s ,
1
0 2 , 1
2 1
ms
s . (4)
Mamy: S2 2s
s1
oraz Sz ms .Wprowadzamy także spinor (funkcję falową o dwóch składowych) w postaci:
2 , 1
2 , 1
s s
m m r r
r r
r . (5)
3.1 Wprowadzając operatory (podnoszący i obniżający) S SxiSy obliczyć:
a)* S ,S ; b)* S ,S ;
c) Sx ,Sx ; d) Sy ,Sy .
(Wskazówka: Przeanalizować działanie operatora Sz na wektor S s,ms ; porównać otrzymany wynik (odpowiedni element macierzowy) z elementem macierzowym typu s,ms SSs,ms ).
3.2 Obliczyć wartość iloczynu skalarnego w przypadku, gdy część przestrzenna i spinowa funkcji falowej rozdzielają się (iloczyn tensorowy), tzn.: . ( jest wektorem 2-elementowym typu (4)).
3.3 Obliczyć działanie złożenia operatora orbitalnego i spinowego A (iloczyn tensorowy S operatorów) na spinor
r (S jest macierzą hermitowską 2 ). 23.4 Obliczyć wynik działania na spinor:
a) operatora spinowego S
r (najpierw wyznaczyć macierzową postać operatora S ); b) operatora orbitalnego pˆx
r ;c) złożenia operatorów orbitalnego i spinowego LzSz
r . 4. Równanie DiracaOddziaływanie cząstki o ładunku q i masie m z polem elektromagnetycznym o potencjale
A, opisuje hamiltonian:
c q mc q
i t
2
A P
α , (6)
gdzie
0 0 σ
α σ ,
I I 0
0 .
4.1 Wychodząc z równania
c2P2 m2c4
21i t
i zakładając (wg Diraca), że powinno
ono mieć postać:
2
mc t ci
α P
wykazać, że muszą zachodzić następujące związki:
i x y z
i2 2 1, , ,
,
i j
i j j
i 0,
,
0
i
i
.
4.2* Wychodząc z równania (6):
c
q
mc2
i t
α P A
i zakładając, że jego
rozwiązanie ma postać
iEt/ e iEt/ e Φt
(,Φ są spinorami) otrzymać
równanie Pauliego w postaci:
c Φ m
ES
2 π σ π π σ
σ
,
gdzie ES Emc2 oraz πPqA (operator pędu kinetycznego).
4.3 Wykazać, że równanie Pauliego można zapisać w postaci:
P A σ B
m q m
ES q
2 2
2 ,
tzn., że jest to równanie opisujące cząstki o spinie ½ oraz g2.
(Wskazówka: porównać otrzymany wynik z hamiltonianem „intuicyjnym” typu: Hint μB, gdzie μ jest określone równaniem (3)).
4.4* Na podstawie rozważań z zadania 4.2 wykazać, że dla cząstki swobodnej możliwymi rozwiązaniami równania Diraca są wartości energii E
