Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 2 - piątek 15.10.2010) 3. Proszę narysować portrety fazowe dla 1-wymiarowego ruchu po osi

Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 2 - piątek 15.10.2010)

3. Proszę narysować portrety fazowe dla 1-wymiarowego ruchu po osi 𝑥 w potencjałach (tzn. o energiach potencjalnych):

(a) 𝑈 (𝑥) = − 1 cosh

𝑥 , (b) 𝑈 (𝑥) = tan

𝑥.

4. W przypadku potencjałów z poprzedniego zadania można otrzymać scisłe rozwiązania równań ruchu. Korzystając z zasady zachowania energii proszę znaleźć trajektorię cząstki o masie 𝑚 poruszającej się w potencjale (tzn. o energii potencjalnej)

𝑈 (𝑥) = − 𝑈

cosh

𝜅𝑥 , 𝑈

> 0.

Proszę rozważyć 3 przypadki:

(a) −𝑈

< 𝐸 < 0, (b) 0 = 𝐸,

(c) 0 < 𝐸.

Wskazówka: ∫ √ 𝑑𝑥

1 − 𝑥

= arcsin 𝑥, ∫ √ 𝑑𝑥

1 + 𝑥

= arcsinh 𝑥.

5. Niech dla 1-wymiarowego ruchu cząstki po osi 𝑥, energia potencjalna osiąga lokalne maksimum w 𝑥 = 𝑥

, o wartości 𝑈 (𝑥

). Proszę pokazać, że jeśli 𝐸 = 𝑈 (𝑥

) (gdzie 𝐸 oznacza całkowitą energię cząstki), to czas potrzebny aby cząstka wspięła się do punktu 𝑥 w pobliżu 𝑥

, rośnie jak − ln ∣𝑥 − 𝑥

∣ (dotarcie do 𝑥

zajęłoby takiej cząstce nieskonczenie dużo czasu).

6. Cząstka porusza się po krzywej łączącej punkty 𝐴 o współrzędnych (𝑥

, 𝑦

) i 𝐵 o współrzędnych (𝑥

, 𝑦

) położone w płaszczyźnie 𝑥𝑦, przy czym 𝑥

< 𝑥

i 𝑦

< 𝑦

. Pole stałej, jednorodnej siły jest skierowane wzdłóż osi 𝑦. Dla jakiego kształtu krzywej cząstka startująca ze spoczynku w punkcie 𝐴 osiągnie punkt 𝐵 w najkrótszym możliwym czasie?

Wskazówki (jak bezboleśnie otrzymać rozwiązanie) : Niech 𝐿 oznacza funkjonał, który należy zminimalizować. Obliczając zupełną pochodną 𝑑𝐿/𝑑𝑥 oraz korzystając z równań Lagrange- Euler proszę pokazać, że 𝐿 − 𝑦

(∂𝐿/∂𝑦

) = 𝑐, gdzie 𝑐 jest stałą całkowania, a 𝑦

= 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

Następnie proszę otrzymać rozwiązanie w postaci parametrycznej: 𝑥 = 𝑥(𝜏 ) i 𝑦 = 𝑦(𝜏 ), gdzie 𝜏 = 2 arctan 𝑦

.

7. Proszę napisać lagranżjan i równania ruchu dla cząstki swobodnej we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/∼arostwor/