Rozdział 8
Elementy analizy fal cząstkowych (PWA - partial wave analysis)
w eksperymentach formacji cząstek
Rozpraszanie w polu V(r) – bez spinu
θ tarcza
Fala płaska wzdłuż osi z z
Pęd cząstki k = h/
λ
= 1/λΨ
in= e
ikz= e
ikr cosθAsymptotycznie, kr → ∞
( ) ( )
-ikr ikr( )
in
= 0
Ψ = i × 2 + 1 1 e e P cosθ
2kr
l
l l
l
∞
⎡ ⎣ − − ⎤ ⎦
∑
+ Wpływ tarczy na falę wychodzącą 1) absorbcja (kanały nieelastyczne) 2) przesunięcie fazowe
ikr ikr
ikr ikr 2iδ
e e
e e
η
η e
ll l
→
→
1
2δ η
bez tarczy
rozpraszającej
e
ikrz tarczą
rozpraszającą
e
ikrη e
2iδwspółczynnik absorpcji η = 1 znaczy, że nie ma absorpcji
(wszystkie cząstki wchodzące wychodzą także po rozproszeniu jesli przesunięcie fazowe δ = 0 oraz η = 1, to wiązka padająca na tarczę nie doznaje żadnego zaburzenia
η , δl l − (1 ηfunkcje momentu pędu l oraz Ecm ≥ l ≥ 0)
( ) ( )
-ikr ikr( )
in
= 0
Ψ = i × 2 + 1 1 e e P cosθ
2kr
l
l l
l
∞
⎡ ⎣ − − ⎤ ⎦
∑
( ) ( ) ( )
( ) ( )
-ikr ikr 2iδ końc
= 0
2iδ ikr
rozp końc in
Ψ = i × 2 + 1 1 e η e e P cosθ 2kr
1 η e 1 e
Ψ Ψ 2 1 P cosθ
k 2i r
l
l
l
l l
l
l
l
l
l
∞ ⎡⎣ − − ⎤⎦
⎡ − ⎤
Ψ = − = + ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
∑
amplituda parcjalna al amplituda rozpraszania f(θ)
( )
ikrrozp
= f θ e
Ψ r
amplituda rozpraszania f(θ) zawiera całą informację
o procesie rozpraszania
rozp( )
ikr= f θ e Ψ r
( ) ( ) ( )
1( )
0 1 2 4
P cosθ = 1, P cosθ = cosθ, P cosθ = 3cos 2θ 1 ,... +
Dla rozpraszania ku przodowi (cos θ = 1), Pl (1) = 1
( )
( ) ( )( )
η e2iδ 1 1
a η sin 2δ 1- η cos 2δ
2i 2
Im f 0 1 2 1 1 η cos 2δ 2k
l
l
l l l l l
l l
i l
= − = ⎡⎣ + ⎤⎦
=
∑
+ −Przekrój czynny (rozpraszanie elastyczne, k niezmienione)
( )
*
in 0 in in 0
2
2 * 2
out 0 rozp rozp 0 2 in
2 2
0 0
el
strumień cząstek wchodzących
Φ = v Ψ Ψ = v
f (θ)
Φ = r dΩ v Ψ Ψ = v r dΩ = dσ Φ
r
v dσ v f (θ) d dσ f (θ) dΩ
⋅
⎛ ⎞
= Ω ⇒ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ =
df
sens fizyczny amplitudy rozpraszania
( )
2iδ( )
2 el
dσ 1 η e 1
22 1 P cosθ
d k 2i
l
l
l ⎡ − ⎤
l⎛ ⎞ = +
⎜ Ω ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ∑ ⎣ ⎦
π 2
' '
0 0
2 4π
P sinθ dθ ; P P d
2 1 2 1
l l l ll
l l
π
δ
= Ω =
+ +
∫ ∫
całkowanie po kącie
( )
2iδel 2
4π η e 1
2σ 2 1
k 2i
l
l ⎡
l− ⎤
= + ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
( )
2 2
el
π 2
el, max 2
el
2 el
σ = 4π 2 +1 sin δ
max. dla δ σ 4π (2 1) δ 0 σ 0
η 0 σ π (2 1)
l
l l
l
l
l
l
= ⇒ = +
= ⇒ =
= ⇒ = +
∑
dla η = 1
(
2 2)
2 2(
2)
inel r in końc
,max 2
inel el
η 1 rozpraszanie nieelastyczne (reakcje)
σ = σ r dΩ = π (2 1) 1 η
(z zachowania prawdopodobieństwa) σ = π (2 1) σ (η 0)
<
= Ψ − Ψ + −
+ = =
∫ ∑
l
l
l l
l
l
l
ηl= 0
Twierdzenie optyczne
2
tot el inel
el
el tot
σ = σ + σ = π (2 1) 2(1 η cos 2δ ) Im f (0) 1 (2 1) (1 η cos 2δ )
2k
Im f (0) k σ 4π
l l
l l
l l
+ ⋅ −
= + ⋅ −
=
∑
∑
Przykład: Czarna kula (R >> )
pełna absorpcja brak
η = 0; R/
η = 1; > R/
l l
l l
≤
R/ R/
2 2 2
el
0 0
R/ 2 2
2 R/
2 2
0 0
σ (2 1)π π (2 1) πR
R R R
ponieważ (2 +1) d
l l
l l
l l l l
= =
= + = + ≈
⎡ ⎤
⇒ = ⎣ + ⎦ = + ≈
∑ ∑
∑ ∫
σ
inel= σ
elσ
całk= σ
inel+ σ
el= 2 π R
2Tarcza ze spinem ½ (bariony)
Dla każdego l dwa stany całkowitego momentu pędu J = l ± ½
2 δ 2 δ
η e
l i l→ η e
l± i l±(2l + 1) → (2J + 1)/2
zatem sumowanie we wzorach na przekroje czynne po dwóch stanach dla każdego l
dla danego l, J mamy:
( )
( )
2iδ
2 1
el 2
2 1 2
r 2
ηe 1
2σ 4π J
2i
σ π J (1 η )
⎡ − ⎤
= + ⎢ ⎥
⎣ ⎦
= + −
Funkcja η, δ
η
(
el)
2 1
2
σ π J +
(
r)
22 1
2
σ 1 η
π J + = −
η
σel zależy od δ oraz η σr zależy tylko od η
Rozpraszanie rezonansowe (opuszczamy l, kładziemy η = 1)
2iδl iδ iδ -iδ
iδ
R
η e 1 e (e e ) 1
f e sin δ
2 2 ctg δ 1
δ = , ctg δ = 0, rezonans przy E = E 2
l
i i
π
− −
= ⇒ = =
−
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
R
R R
E=E
R
R
Szereg Taylora :
ctg δ E = ctg δ E + E E d ctg δ E ...
dE E E 2 2/
1 / 2
f E ctg δ 1 E E i / 2
⎡ ⎤
− ⎢⎣ ⎥⎦ + ≅
≅ − − − Γ
Γ
= = Γ
− − − Γ
( ) ( )
( )
2 2
el 2 2
R
σ E 4π 2 1 / 4
E E / 4
l Γ
= +
− + Γ
Breita-WignerawzórRozpraszanie pion-proton
( ) ( )
( )
2 2
el 2 2
R
2J 1 / 4 σ E π
2 E E / 4
= + Γ
− + Γ
max 2 2
el
σ 4π J 1 8π
2
⎛ ⎞
= ⎜ + ⎟ =
⎝ ⎠
dla J = 3/2
Wykres Arganda
ηl = 1
2 1 2 1
2 4
u + (v − ) =
2 2
R
/ 2 1 ε 1
f + = u + v
(E E ) / 2 ε ε +1 ε +1
l
i i
i i
= Γ = =
− − Γ −
Jeśli występują reakcje: Γ = Γe + Γr x = Γe/ Γ
e
e 2 2
/ x xε x
f ε ε ε 1 i ε 1
i i
= Γ Γ = = +
− − + +
2 2
2
(Re f )e Im f
2 2
e
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
xr = Γr/ Γ = (Γ – Γe)/ Γ
r r r
2 2
xx x(x 1) xx xx
f ε
ε ε ε 1 ε 1
r
i
i i
= = − = +
− − + +
2 2
2 r r
r
xx xx
(Re f ) Im f
2 2
r
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⎜⎜ − ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Analiza fal cząstkowych (partial wave analysis – PWA)
dN dcos θ
dσ dcos θ
dσ dcos θ
-1 0 1 cos θcm -1 0 1
cos θcm
-1 0 1 cos θcm
doświadczenie dopasowanie
!["Göttingen Toruń im Mittelalter bis zur Neuzeit, eine Beilage für die Schulbucher der Partnerstädte", 1998 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)