Zadania Arkusz 4 Ciągi Liczbowe Zbieżne
Niech (an), n = 1, 2, . . . będzie ciągiem liczbowym. Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (an), gdy w każdym przedziale (g − ε, g + ε) (czyli dla każdej liczby dodatniej ε) leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, tj. począwszy od n0-wego:
an ∈ (g − ε, g + ε) dla n ! n0. Piszemy wówczas
g = lim
n→∞an
i mówimy, że ciąg (an) jest zbieżny do liczby g.
1. Obliczyć pięć początkowych wyrazów ciągu, którego wyraz ogólny dany jest wzorem:
i) an= n+2n2 , ii) bn= 1+(−1)2 n, iii) cn = (−2)n,
iv) dn = n(−1)n,
v) en = log10(n) − log10(n + 1), vi) fn=√
2n − 3.
O d p o w i e d ź. i) 1/3, 1, 9/5, 8/3, 25/7; ii) 0, 1, 0, 1, 0; iii) −2, 4, −8, 16, −32;
iv) 1, 2, 1/3, 4, 1/5; v) log10(1/2), log10(2/3), log10(3/4), log10(4/5), log10(5/6); vi) wyraz a1 nie istnieje, kolejne wyrazy to: 1,√
3, √ 5, √
7. Ciągi monotoniczne
2. Zbadać, czy poniższe ciągi są ograniczone i monotoniczne:
i) an= 3nn,
ii) bn= 2n+13n+5, iii) cn=√
4n2+ 3 − 2n,
iv) dn = nn+52+2, v) en= 2n2− n, vi) fn= 3√n+5√n+7.
O d p o w i e d ź. i) malejący, ograniczony; ii) rosnący, ograniczony; iii) malejący, ograniczony; iv) malejący, ograniczony; v) rosnący, nieograniczony z góry; vi) malejący, ograniczony.
3. Obliczyć granice ciągów:
i) lim
n→∞(7n3+ 3n2− 8n + 2);
ii) lim
n→∞(−3n4+ 5n2+ 3n − 1);
iii) lim
n→∞
−2n2+ 5n − 6 5n2− 3n ; iv) lim
n→∞
(4n2 − 3n + 5)(1 − n) (2 − n)3 ; v) lim
n→∞
−7n3+ 5n2− 3n + 1 4n3+ 2n2+ n − 1 ; vi) lim
n→∞
1 + 2 + . . . + n n2 + n − 1 ; vii) lim
n→∞
!1 + 2 + . . . + n n+ 3 −n
2
"
; viii) lim
n→∞
2n2+ 5n − 1
12n3− 2n2+ 3n + 1;
ix) lim
n→∞
13n4 + 5n3 + 2n2 − 8n + 3
−6n2+ 3n − 1 ; x) lim
n→∞
#1 n
#n 1
$
+ 1 n2
#n 2
$
+ 1 n3
#n 3
$$
; xi) lim
n→∞
1 n2
#n+ 2 n
$
; xii) lim
n→∞
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + . . . − 2n
2n + 1 ;
xiii) lim
n→∞
10n+1+ 4 · 7n 2n+1· 5n−1+ 3 · 8n; xiv) lim
n→∞
4 · 6n+1· 3n−2+ 15n−1
−2 · 32n+1· 2n+ 16n+2; xv) lim
n→∞
7 · 6n−1· 22n+ 5n· 22n+1 5 · 23n−1· 3n−1+ 6n+1· 3n.
O d p o w i e d ź. i) +∞; ii) −∞; iii) −2/5; iv) 4; v) −7/4; vi) 1/2; vii) −1; viii) 0;
ix) −∞; x) 1 + 1/2 + 1/6; xi) 1/2; xii) −1/2; xiii) 25; xiv) −4/9; xv) 7/5.
4. Obliczyć granice ciągów:
1
Zadania Arkusz 4
i) lim
n→∞
√n√2− n + 1 − 1 n2+ 3 + n ; ii) lim
n→∞
√n3− n + 1 − 4n√
√ n
n3+ 3 + 1 ; iii) lim
n→∞(√
n2+ n −√
n2 − 2n);
iv) lim
n→∞(√
4n2+ 7n − 1 − n);
v) lim
n→∞(√
4n2+ 7n − 1 − 2n);
vi) lim
n→∞n(√
n4+ 2n − 3 −√
n4− 4n + 5);
vii) lim
n→∞
√ 1
n2 + 3n + 2 − n; O d p o w i e d ź. i) 1/2; ii) −3; iii) 3/2; iv) +∞; v) 7/4; vi) 3; vii) 2/3.
Nieskończony ciąg geometryczny. Suma szeregu.
5. Policzyć sumy szeregów:
i) 7 + 2, 1 + 0, 63 + . . .;
ii) −4 − 45 − 254 − . . .;
iii) 1 − 13 + 19 −271 + . . ..
O d p o w i e d ź. i) iloraz ciągu geometrycznego q = 0, 3, |q| < 1, więc suma szeregu S = 1−0,37 = 10; ii) q = 0, 2, S = −5; iii) q = −1/3, S = 3/2.
6. Obliczyć sumę S nieskończonego ciągu geometrycznego, mając dany pierwszy wyraz a1
i iloraz q.
i) a1 = 2, q = 13;
ii) a1 = 4, 3, q = 0, 1; iii) a1 = −2, q = 0, 8;
iv) a1 = 1, 5, q = −34. O d p o w i e d ź. i) S = 3; ii) S = 43/9; iii) S = −10; iv) S = 6/7.
7. Wyznaczyć pierwszy wyraz a1 nieskończonego ciągu geometrycznego, mając dany iloraz q i sumę S.
i) q = 19, S = 18; ii) q = 45, S = −10.
O d p o w i e d ź. i) a1 = 16; ii) a1 = −2.
8. Wyznaczyć iloraz q nieskończonego ciągu geometrycznego, mając dany pierwszy wyraz a1 i sumę S.
i) a1 = 9, S = 13, 5; ii) a1 = 70, S = 56.
O d p o w i e d ź. i) q = 1/3; ii) q = −1/4.
9. Zamienić ułamek dziesiętny na zwykły.
i) 0, (1); ii) 0, 3512(12).
O d p o w i e d ź. i) 0, (1) = 1/9; ii) 0, 3512(12) = 1159/3300.
10. Wyzaczyć nieskończony ciąg geometryczny (tzn. znaleźć pierwszy wyraz a1 i iloraz q), wiedząc, że suma wszystkich wyrazów S = 24, a suma a1+ a2+ a3 = 21.
O d p o w i e d ź. a1 = 12, q = 1/2.
2
