Zad.2 Okre±li¢ liczb¦ pierwiastków wielomianu P (z

Analiza zespolona 2019/2020

Zadania domowe - cz¦±¢ 4

Twierdzenie Rouché, zasada maksimum

Zad.1 Okre±li¢ liczb¦ pierwiastków wielomianu P (z) = 2z⁵ − z³+ 3z² − z + 8 le»¡cych wewn¡trz: (a) D(0, 1), (b) P (0, 1, 5)

Odpowied¹ (a) P (z) nie ma pierwiastków w D(0, 1), (b) w P (0, 1, 5) le»¡ wszystkie pierwiastki P (z).

Zad.2 Okre±li¢ liczb¦ pierwiastków wielomianu P (z) = z⁸−4z⁵+z²−1le»¡cych wewn¡trz:

(a) D(0, 1), (b) P (0, 1, 2)

Odpowied¹ P (z) ma pi¦¢ pierwiastków w D(0, 1), w P (0, 1, 2) ma trzy pierwiastki.

Zad.3 Okre±li¢ liczb¦ pierwiastków wielomianu P (z) = z⁵− 16z + 14le»¡cych wewn¡trz D(0, 1).

Odpowied¹ P (z) ma tylko jeden pierwiastek w D(0, 1).

Zad.4 Korzystaj¡c z twierdzenia Rouché wykaza¢, »e funkcja 2 + z²− e^iz ma dokªadnie jedno zero w górnej póªpªaszczyznie H⁺= {z ∈ C : Imz > 0}.

Odpowied¹ Niech

f (z) = 2 + z², g(z) = −e^iz.

Poka»emy, »e na Γ = [−R, R] ∪ ΓR, gdzie ΓR= {z ∈ C : z = Re^it, t ∈ [0, π]} zachodzi

|g(z)| < |f (z)|.

Dla z ∈ [−R, R] mamy, »e |f(z)| ≥ 2 > 1 = |g(z)|. Za± dla z ∈ ΓR

|f (z)| ≥ R²− 2 > 1 > e^{−R sin t}= |g(z)|

dla R >√

3. Speªnione s¡ zaªo»enia twierdzenia Rouché tzn.

|f (z)| > |g(z)|

dla z ∈ Γ, st¡d

N_{f +g} = N_f

we wnetrzu obszaru D ograniczonego przez Γ, czyli f(z) + g(z) = 2 + z²− e^iz ma tyle samo zer w D co f(z) = z²+ 2. Poniewa»,

f (z) = z²+ 2 = 0 ⇔ z = ±√ 2i.

Zatem f ma w górnej póªpªaszczyznie tylko jedno zero, czyli 2 + z² − e^iz ma te» tylko

jedno zero w górnej póªpªaszczyznie. 

Zad.5 Niech f b¦dzie funkcj¡ caªkowit¡. Udowodni¢, »e je±li Ref ≤ M (gdzie M < ∞), to f jest funkcj¡ staª¡.

1

2

Odpowied¹ Z zaªo»enia wiemy, »e f jest funkcj¡ caªkowit¡. St¡d e^f te» jest funkcj¡

caªkowit¡. Wtedy

|e^f| ≤ e^Ref. Poniewa » dla ka»dego R > 0 mamy, »e

|e^f| ≤ e^R≤ e^M,

to oznacza, »e funkcja caªkowita e^f jest ograniczona. Z twierdzenia Liouville'a wynika,

»e musi by¢ funkcj¡ staª¡ tzn. e^f ≡ const. Poniewa»

(e^f)⁰ = e^f(f )⁰ ≡ 0 oraz e^f 6= 0, wynika st¡d, »e

f⁰ ≡ 0,

czyli f(z) ≡ const. .

Zad.6 Niech f b¦dzie funkcj¡ holomorczn¡ w obszarze jednospójnym D ⊂ C, ci¡gª¡ na domkni¦ciu ¯D i ró»n¡ od staªej. Udowodni¢, »e cz¦±¢ rzeczywista funkcji f (tzn. Ref) nie mo»e przyjmowa¢ warto±ci najwi¦kszej w obszarze D.

Odpowied¹ Wprowadzimy funkcj¦ pomocnicz¡ g(z) = e^{f (z)}. Je±li f jest holomorczna w obszarze jednospójnym D ⊂ C, to e^f te» kest holomorczna w tym obszarze. Ponadto

|g(z)| = e^Ref. Je±li Ref przyjmuje warto±¢ najwi¦ksz¡ w punkcie z0 ∈ D, to max |g|

byªoby osi¡gane we wn¦trzu D, co przeczy zasadzie maksimum dla g ∈ H(D) i g ∈

C( ¯D).