Prosz¸e oszacować różnic¸e mi¸edzy funkcj¸ a f (x) = √

Analiza Matematyczna Lista zadań 7

Zadanie 1

Prosz¸e oszacować różnic¸e mi¸edzy funkcj¸ a f (x) = √

1 + x i jej wielomianem Taylora stop- nia drugiego o środku w punkcie 0 na przedziale [− ¹ ₂ , ¹ ₂ ].

Zadanie 2

Prosz¸e oszacować różnic¸e mi¸edzy funkcj¸ a f (x) = ^√ _2+x ¹ i jej wielomianem Maclaurina stopnia drugiego na przedziale [0, ¹ ₂ ].

Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć √

e z dokładności¸ a 10 ⁻² , korzystaj¸ ac ze wzoru Maclaurina.

Zadanie 4

Prosz¸e napisać wzór Maclaurina dla funkcji f (x) = √

1 + x z reszt¸ a r ₃ . Korzystaj¸ ac z tego wzoru, prosz¸e obliczyć przybliżon¸ a wartość

q 3

2 i oszacować bł¸ ad tego przybliżenia.

Zadanie 5

Prosz¸e napisać wzór Taylora funkcji f (x) = √

x w punkcie p = 4 z reszt¸ a r ₄ .

Zadanie 6

Prosz¸e oszacować bł¸ ad bezwgl¸edny wzoru przybliżonego ln(1 + x) ≈ x − ^x ₂

dla |x| ≤ 0.1.

Zadanie 7

Prosz¸e wykazać, że e ^x > 1 + x + ^x _2!

dla każdego x ∈ R, korzystaj¸ ac ze wzoru Taylora.

Zadanie 8

Prosz¸e oszacować bł¸ ad bezwzgl¸edny równości przybliżonej cos ^x ₂ ≈ 1 − ^x ₈

dla 0 ≤ x ≤ ₁₀ ¹ .

1

Zadanie 9

Prosz¸e sformułować twierdzenie Lagrange o reszcie we wzorze Taylora. Prosz¸e napisać wzór Taylora dla funkcji f (x) = √

1 + x w punkcie p = −2 z reszt¸ a r ₂ . Prosz¸e określić, dla jakich argumentów x otrzymany wzór jest prawdziwy.

Zadanie 10

Prosz¸e obliczyć

√

2 z dokładności¸ a 0.001, wykorzstuj¸ ac wzór Maclaurina dla funkcji f (x) =

√

1 + x.

2