ZMIENNE LOSOWE - TEORIA
Def. 1. Zmienna losowa o warto´sciach rzeczywistych, okre´slona na przestrzeni (Ω, F , P), to odwzorowanie X : Ω → R, kt´ore jest mierzalne, a wi¸ec dla ka˙zdego A ∈ B(R) mamy X−1(A) ∈ F (a wi¸ec {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A} ∈ F ).
Def. 2. Rozk ladem prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej X o warto´sciach w [0, 1] nazy- wamy miar¸e probabilistyczn¸a pX, okre´slon¸a na B(R) zale˙zno´sci¸a
pX(A) = P(X−1(A)) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A}) = P(X ∈ A), A ∈ B(R).
Def. 3. Dystrybuant¸a rozk ladu zmiennej losowej X nazywamy funkcj¸e F : R → [0, 1], okre´slon¸a zale˙zno´sci¸a
F (t) = P(X ≤ t).
Tw. 1. Dystrybuanta F rozk ladu zmiennej losowej X posiada nast¸epuj¸ace w lasno´sci:
a) jest niemalej¸aca,
b) jest prawostronnie ci¸ag la, c) lim
x→−∞F (x) = 0, lim
x→+∞F (x) = 1
Tw. 2. Je˙zeli F jest dystrybuant¸a zmiennej losowej X, to a) P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a),
b) P(X = a) = F (a) − F (a−), c) P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a−), d) P(a < X < b) = F (b−) − F (a), gdzie F (a−) = lim
x→a−
F (x).
Def. 4. Zmienna losowa X ma rozk lad dyskretny, je˙zeli zbi´or jej warto´sci S ⊂ R jest sko´nczony lub przeliczalny. Dok ladniej, P(X ∈ S) = 1 dla pewnego zbioru S = {x1, x2, . . .} ⊂ R.
Dystrybuanta ma w´owczas posta´c
F (a) = X
x∈S: x≤a
P(X = x).
Def. 5. Zmienna losowa X ma rozk lad absolutnie ci¸ag ly, je˙zeli istnieje nieujemna funkcja f : R → R+, zwana g¸esto´sci¸a prawdopodobie´nstwa, taka, ˙ze dla dowolnych a < b mamy
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) =
b
Z
a
f (x)dx.
W´owczas w punktach, w kt´orych g¸esto´s´c jest ci¸ag la, mamy f (x) = [F (x)]0.
Dystrybuanta a g¸esto´s´c:
F (t) =
t
Z
−∞
f (x)dx.
Def. 6. Warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej X to liczba dana wzorem (o ile istnieje) a) w przypadku rozk ladu dyskretnego:
EX =
∞
X
i=1
xiP(X = xi),
b) w przypadku rozk ladu absolutnie ci¸ag lego:
EX = Z
R
xf (x)dx.
W lasno´s´c: E(aX + bY ) = aEX + bEY dla dowolnych zmiennych losowych X, Y oraz liczb a, b.
Tw. 3. Je˙zeli g : R → R jest dowoln¸a funkcj¸a borelowsk¸a, to a) w przypadku rozk ladu dyskretnego:
Eg(X) =
∞
X
i=1
g(xi)P(X = xi),
w szczeg´olno´sci:
EX2 =
∞
X
i=1
(xi)2P(X = xi), b) w przypadku rozk ladu absolutnie ci¸ag lego:
Eg(X) = Z
R
g(x)f (x)dx, w szczeg´olno´sci:
EX2 = Z
R
x2f (x)dx.
Def. 7. Wariancj¸a zmiennej losowej jest liczba okre´slona wzorem VarX = D2X = E(X − EX)2 = EX2− (EX)2. W lasno´sci:
a) Var(a + bX) = b2VarX, dla dowolnych liczb a, b,
b) VarX ≥ 0. VarX = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy X = const.
Def. 8. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy liczb¸e DX =√
VarX.
