Komitet Redakcyjny Tadeusz Białecki, Janusz Faryś Stanisław Musielak - przewodniczący

UNIWERSYTET SZCZECIŃSKI

MATERIAŁ Y * KONFERENCJE NR 23

M l KROEKONOM ET R l A W TEORII l PRAKTYCE

SZCZECIN 1997

Komitet Redakcyjny Tadeusz Białecki, Janusz Faryś Stanisław Musielak - przewodniczący

Marian Gołębiowski - redaktor naczelny

Recenzent

prof. zw. dr hab. Kazimierz Zając

Redaktor naukowy prof. zw. dr hab. JózefHozer

Redaktor Wydawnictwa Anna Mariańska

Korektor

Małgorzata Szczęsna

ISSN 1232-5848

WYDAWNICTWO NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO

Wydanie I. Nakład 150 egz. Ark. wyd. 9,0. Ark. druk. 12,2. Format BS.

Oddano do druku w czerwcu 1997 r. Druk ukończono w lipcu 1997 r.

Cena zł 9,00

USPol 77/97

V

SPIS TREŚCI

Józef Hozer, Mirosława Gazińska , Waldemar Tarczyński, Barbara Batóg - Klasyfikacja 4 13 spółek i przedsiębiorstw objętych Progra - mem Powszechnej Prywatyzacji dla potrzeb alokacji w Narodowych Funduszach Inwestycyjnych ... ... ... ... ... ... 7 Danuta Strabl - System oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstwa

(wybrane problemy) ... ... ... ... 29 Kinga Szymonowicz, Michał Woźniak - Specyfika rynku walut w Polsce.

Metod y' i wyniki badań . .. .. . .. . . . .. ... . . .. . .. .. .. . .. .. ... . .. . . . . .. . . . . . .. ... .. ... .. .. .. .. . . 4 7 JózefHozer - Zastos owania ekonometrii w opisie i analizie rynku nieru-

chom ości ... . ... .. .... . ... . . . ... . .. . ... . ... 57

Stanisława Bartosiewicz - O ryzyku w przedsiębiorstwie . . .. . . .... .. ... ... .... 67 Krzysztof Jajuga - Ryzyko projektu inwestycyjnego ... ... 71 Kazimierz Zając - Statystyczna analiza rozwoju społeczno-gospodarcze-

go i kulturalnego ... .. ... ... 85

Michał Kolupa, Andrzej Kokoszewicz - Teoretyczne podstawy kon- strukcji port fe la lokat ... l O l Józef Biolik, Lesław Fornal - Badanie marketingowe zapotrzebowania

na urządzenia ochrony powietrza nie produkowane w Polsce ... ... III Katarzyna Wawrzyniak, Jacek Batóg -· Wykorzystanie nonn w zarzą-

dzaniu ... ... ... 123 Ryszard Aotooiewicz -· Jeszcze o liniach regresji ... 139 Marek Walesiak - Zastosowania skalowania wielowymiarowego w roz-

wi ązywaniu problemów marketingowych ... 143 Maria Szmuksta-Zawadzka, Jan Zawadzki - O metodzie predykcji bra-

kujących informacji dla danych sezonowych ... 155

UNIWERSYTET SZCZECIŃSKI

NR 23 MATERIAŁY * KONFERENCJE 1996

MAREK WALESIAK

Akademia Ekonomiczna, Wrocław

ZASTOSOWANIA SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO W ROZWIĄZYWANIU PROBLEMÓW MARKETINGOWYCH •

ZAGADNIENIA WSTĘPNE

Celem skalowania wielowymiarowego jest przedstawienie w przestrzeni (na ogół jedno-, dwu- lub trójwymiarowej') relacji zachodzących pomiędzy

badanymi obiektami. Obiektami badania mogą być produkty, producenci, sprze- dawcy, respondenci, zmienne charakteryzujące produkty, hasła reklamowe itd.

W klasycznym ujęciu skałowanie wielowymiarowe rozpoczyna się od wyznaczenia macierzy przedstawiającej odległości między każdą parą badanych obiektów. Macierz ta jest konstruowana na podstawie postrzegania przez re- spondentów podobieństw między badanymi obiektami . Często jednak w prak- tycznych badaniach marketingowych punktem wyjścia tej metody jest macierz danych przedstawiająca obiekty jako punkty przestrzeni wielowymiarowej.

W tej sytuacji czynnością wstępną, poprzedzającą zastosowanie skalowania wie- lowymiarowego, jest normalizacja zmiennych (dla zmiennych mierzonych na

•

wykonano w ramach grantu KBN I-H02B-016-08 pn. Komputerowo wspomagane gromadzenie i analiza danych marketingowych

1

Przy

liczbie wymiarów

staje

geometrycma interpretacja otrzyma-

nych wyników skalowania.

144 Marele Walesiole

skali przedziałowej i/lub ilorazowej) i konstrukcja macierzy odległości na pod- stawie odpowiedniej formuły odległości.

W praktycznych zastosowaniach rezultaty skalowania wielowymiarowe- go najczęściej są przedstawiane na płaszczyźnie w postaci tak zwanej mapy percepcyjnej. Do tego celu wykorzystuje się specjalne procedury, których ce- lem jest takie rozmieszczenie punktów na płaszczyźnie (mapie percepcyjnej), aby dopasowanie konfiguracji odległości z przestrzeni wiełowymiarowej i dwu- wymiarowej było najlepsze.

Termin skałowanie wielowymiarowe oraz pierwszą procedurę metryczną zaproponował W.S.Torgerson w 1952 roku ² , choć pierwotnie idea skalowania

wiełowymiarowego pojawiła się w opracowaniu M.W. Richardsona z l 938 roku 3. Podstawy niemetrycznego skalowania wiełowymiarowego stworzyli w pierwszej połowie łat sześćdziesiątych R.N . Shepard ⁴ ( 1962) i J .B. Kruskal ⁵ ( 1964). Zagadnienie skalowania wiełowymiarowego zostało najlepiej opraco- wane w literaturze marketingowej w pracach : T. E. Cox i M.A.A. Cox ( 1994 );

P.E. Green, F.J. Carmone i S.M . Smith (1989); P. Arabie, J.D . Carroll i W. DeSarbo (1987); M.L. Davison (1983) ; S.S. Schiffman, M.L. Reynolds i F.W . Young (1981); J.B . Kruskal i M. Wish (1978); P.E. Green i V.R. Rao (1972). W pracy P.E. Greena, F.J. Carmone·a i S.M . Smitha zawarto ponadto przedruk dwóch obszernych przeglądowych artykułów z tej tematyki (ich auto- rami są L.G . Cooper oraz J.D. Carroll i P. Arabie). Godnymi uwagi monogra- fiami i artykułami traktującymi o skalowaniu wielowymiarowym są ponadto prace: J. de Leeuwa, F. W. Younga i Y. Takane (1976); Y. Takane, F. W. Youn- ga i J. de Leeuwa (1977); Y. Younga i C. Nułla (1978); G.J. Hooleya (1980b);

J. Wilczyńskiego ( 1980); A.D. Gordona ( 1981 ); B.S. Everitta i G. Dunna ( 1983 , 1991 ); G.A.F. Sebera ( 1984); F. W. Younga ( 1985); G. Wieczorkowskiej ( 1985);

B.F.J. Man1y'ego ( 1986); W .J. Krzanowskiego ( 1988); A. Bieli (1992); L. Hu - berta, P. Arabie i M. Hesson-Mcinnisa ( 1992); P.J .F. Groenena (1993); J.F. Hair, R. E. Andersona, R.L. Tathama i W.C . B1acka ( 1995).

2

Zob. [27. s. 238] .

3

Por. [13 , s. 24).

4

Zob. [28].

s Zo b. [22]; [23].

Zastosowanie skalowania wielowymiaro"K>ego ... 145

J. PROCEDURA SKALO W ANIA WIELOWYMIAROWEGO

Punktem wyjścia skalowania wielowymiarowego jest macierz [d ;k] . Jeśli (k oznacza odległość między i-tym i k-tym obiektem (i, k =l, ... ,n), to dane zawarte w macierzy [ (k] są mierzone na skali przedziałowej lub ilorazowej . Do skalowania wielowymiarowego obiektów stosuje się wówczas procedury metryczne. W przypadku, gdy dana jest macierz korelacji [rik], to należy prze-

kształcić wartości współczynników korelacji na odległości, stosując na przy-

kład formułę ^{6 :}

(l)

Jeśli macierz [ (k J powstała w wyniku uporządkowania przez responden- ta (respondentów) t n(n- l) par obiektów, na przykład w taki sposób, że licz- ba l oznacza parę obiektów najbardziej podobnych, a liczba t ^{n{ n- l) parę}

obiektów najmniej podobnych, to macierz ta nazywa się macierzą podobień-

stwa obiektów (będzie ona oznaczana jako [(~] ), a dane w niej zawarte są

mierzone na skali porządkowej . Wtedy do skalowania wielowymiarowego obiektów stosuje się procedury niemetryczne. Następnie określa się arbitralnie

liczbę wymiarów przestrzeni t, w której będzie przeprowadzane skalowanie obiektów. Zwykle początkowo przyjmuje się, że t= l. Dalsze czynności prze-

biegają w postaci następującej procedury:

l. Ustała się konfigurację początkową n obiektów w przestrzeni t-wymia- rowej . Konfigurację tę wyznacza się przy użyciu metody głównych składowych

w sposób losowy lub jest to konfiguracja podana przez użytkownika ⁷ . Niech i-ty obiekt ma współrzędne (Pil> ... , Pi

2. Obliczamy odległości spełniające własność metryki ⁸ między n obiek- tami, których współrzędne określono w kroku l. Niech dik oznacza odległość między obiektem i-tym i k-tym .

6

Zob. (2.s.ll3J.

7

Por. (7, s. 70-71); (14, s. 43).

8 Własność

metryki ma

Minkowskiego

zwrot-

ności, symetryczności

i

której szczególnymi przypadkami

miejska, euklidesowa i Czebyszewa (por. np. (31 , s. 42-43]).

146 Marek Walesiak

3. W metrycmej procedurze skalowania wyznacza się regresję liniową mię­

dzy odległościami dik oraz d~:

~=a+~, ⁽²⁾

gdzie a, b- oceny parametrów regresji.

Jeśli odległości dik są mierzone na skali ilorazowej, to a = O i równanie regresji przyjmuje postać

(3) Metryczne procedury skalowania szukają takiej przestrzennej konfigura- cji obiektów, w której dopasowanie odległości początkowych zawartych w ma- cierzy [(k] i odległości między tymi obiektami w przestrzeni t-wymiarowej (macierz [ dik]) jest naj lepsze.

W niemetrycznej procedurze skalowania wyznacza się regresję monoto- niczną między dik oraz d~ :

(4) gdzie f- nieznana monotonicznie rosnąca funkcja spełniająca następujący wa- runek ^9:

(5) Niemetryczne procedury skalowania szukają takiej przestrzennej konfigu- racji obiektów, w której uporządkowanie podobieństw par obiektów w macie- rzach (dik] i [(n jestjak najbardziej zbliżone.

4. Oblicza się wartości formuły pozwalającej ocenić dopasowanie odle- głości d;k oraz d~k (uporządkowania podobieństw par obiektów w macierzach [d;k] oraz [d~n ). Do tego celu wykorzystuje się między ^innymi następujące

formuły:

a) Kruskala- współczynnik STRESS 10:

9

Zob. [27, s. 241).

10

Nazwa STRESS oznacza znonnalizowaną swnę kwadratów reszt (STandardized REsidual

Sum ofSquares); (14, s. 43-44, 349).

Zastosowanie skalowania wielowymiarowego ... 147

l

s= [ I{dik _ d;s ^{/Id~kr (6)}

b) Younga- współczynnik S-STRES S ¹¹ :

[ ( 2 A2)2/ ( 2)2~

SS = I d;k - d;k I d;k J ; ⁽⁷⁾

c) Guttmana- współczynnik alienacji ¹² :

(8)

gdzie:

K

[O; l], l

0 • 0 A

2 ²

²

re- cosmus kąta między wektorami- re= Ld;kdik (Id;k) (Idik) .

l<k l<k l<k

Dopasowanie odległości w macierzach [d;k] i [(k] (uporządkowania po- dobieństw par obiektów w macierzach [d;k] i [(~])jest tym lepsze, im formu-

ły S, SS oraz K przyjmują mniejsze wartości.

5. Jeśli dopasowanie mierzone współczynnikiem S, SS łub K jest niewy-

starczające, to nieznacznie zmienia się współrzędne obiektów określone w kro- ku l, tworząc nową konfigurację n obiektów w t-wymiarowej przestrzeni. Nowe

współrzędne dla i-tego obiektu wyznacza się z następujących wzorów ^{13 :}

gdzie O <a < l (zwykle a= 0,2 ).

11

Por. [30].

12

Zob. [8, s. 89).

13

Zob. (14, s. 45].

(9)

148 Marek Walesiak

Kroki od 2 do 5 powtarza się do momentu, gdy nie nastąpi znaczna reduk- cja (wartość tę określa się arbitralnie) wartości współczynnika S, SS lub K.

Jeśli przy danej liczbie wymiarów t otrzymaliśmy niezadowalające rezul- taty w sensie dopasowania mierzonego współczynnikami S, SS lub K, to nale-

ży zmienić liczbę wymiarów t i powtórzyć całą procedurę.

Zagadnienie skalowania wielowymiarowego obiektów rozwiązuje się za

pomocą programów komputerowych. Tabela l przedstawia podstawowe pro- cedury skalowania wielowymiarowego.

Tabela l Podstawowe komputerowe procedury skalowania wielowymiarowego

Typ procedury Autorzy

Metryczne

KYST J.B. Kruskal , F .W. Young i J.B. Seery (1973)

INDSCAL J.D. Carroll i J.J . Chang (1970); J.J . Chang i J.D. Carroll (1969) ALSCAL F. W. Young i R. Lewyckyj (1979)

Y. Takane, F. W. Young i J . de Leeuw (1977) Niemetryczne

KYST J.B. Kruskal, F.W. Young i J.B. Seery (1973)

SfNDSCAL S. Pruzansky (1975)

ALSCAL F.W. Young i R. Lewyckyj (1979) Źródło: [ 14, s. 50).

Z punktu widzenia potrzeb potencjalnego użytkownika na uwagę zasłu ­ gują programy SPSS, STATISTICA i SYSTA T, pracujące w środowisku

MS WINDOWS i łatwe w obsłudze. Programy te wykorzystują procedury przedstawione w tabeli l .

Otrzymany rezultat w przypadku procedur skalowania metrycznego ozna- cza, że konfiguracja obiektów w przestrzeni t-wymiarowej zapewnia najlepsze z możliwych dopasowanie odległości początkowych badanych n obiektów i odległości między tymi obiektami w przestrzeni t-wymiarowej. Dla procedur skalowania niemetrycznego rezultat ten oznacza, że otrzymana konfiguracja obiektów w przestrzeni t-wymiarowej zapewnia najlepsze z możliwych dopa- sowanie porządku początkowych podobieństw par obiektów i porządku podo-

bieństw tych obiektów w przestrzeni t-wymiarowej .

Zastosowanie skalowania wielowymiarowego ... 149

Merytoryczna interpretacja otrzymanych wyników skalowania wielowy- miarowego polega na interpretacji wymiarów (poszczególnych osi) uzyskanej przestrzeni, a następnie interpretacji otrzymanych konfiguracji obiektów w tej przestrzeni.

Innym zagadnieniem jest orientacja osi wymiarów skalowania wielowy- miarowego w przypadku dwuwymiarowym i trójwymiarowym . Orientacja osi wymiarów nie ma wpływu na otrzymane rezultaty (odległości między obiekta- mi pozostają te same), ale zmiana konfiguracji osi ma wpływ na łatwość inter- pretacji wyników.

2. ZASTOSOWANIA

W badaniach marketingowych skalowanie wielowymiarowe bywa stoso- wane14 w następujących przypadkach:

l . W segmentacji rynku (segmentacji nabywców na rynku dóbr i usług

konsumpcyjnych oraz segmentacji nabywców na rynku dóbr i usług produk- cyjnych). W klasycznym ^ujęciu segmentacji rynku obiektem badaniajest poje- dynczy konsument-nabywca (indywidualny nabywca, gospodarstwo domowe, organizacja lub przedsiębiorstwo-nabywca). W badaniach segmentacyjnych sen- su largo obiektem badania może być pojedynczy konsument-nabywca lub ich

zbiorowość na określonym rynku (na przykład zbiór pracowników wykonują­

cych dany zawód , zbiór nabywców z danego miasta , regionu czy kraju) . 2. Do określania pozycji produktu na rynku. Metody skalowania wielo- wymiarowego mogą być zastosowane do oceny możliwości istniejących pro- duktów w stosunku do produktów konkurencyjnych . Pozwalają więc określić pozycję produktu na rynku na tle produktów konkurencyjnych .

3. W procesie wprowadzania nowego produktu na rynek . Metody skalo- wania wielowymiarowego mogą być zastosowane do oceny możliwości nowych produktów w stosunku do produktów konkurencyjnych. W ten sposób firma

może sprawdzić usytuowanie na rynku swojej oferty w postaci nowego pro- duktu w stosunku do konkurencyjnych produktów.

4 . Do określania cech produktów, które są dla konsumentów naj istotniej- sze .

14

Por. [13); [16, s. 61()...{il5] ; [14, s. 19-24, 140-168); [l]; [19) ; [4); [6, s. 346 ]

150 Marele Walesiak

5. Do rozpoznawania "luki" na rynku. Poszukiwanie luk rynkowych przy

użyciu metod skalowania wielowymiarowego może się odnosić do poszczegól- nych rynków, produktów, nabywców.

6. Do określania struktury rynku.

7. Do oceny haseł reklamowych .

Przykład.

Na podstawie danych z tabeli 2 przeprowadzono skalowanie wielowymia- rowe 15 samochodów osobowych sprzedawanych na polskim rynku w 1992

roku . Celem badania jest określanie pozycji na rynku samochodów produko-

wanych w Polsce w stosunku do produktów konkurencyjnych .

Symbol

a b c d e f g h i j k

l m

n o

Dane o wybranych samochodach osobowych sprzedawanych w Polsce w 1992 roku w cenie do 150 mln zł

Pojemność Prędkość

Marka samochodu skokowa Moc maksy- silnika (KM) maina

(ccm) (km/h)

Fiat 126p 650 25 105

Lada Tawrija 1100 53 140

Cinquecento 704 31 127

Polonez Caro 1500 82 150

Skoda Favorit 135L 1289 60 150

Maruti Suzuki 5d 796 35 133

Lada Samara 3d 1300 63 150

Fiat Panda 750 34 120

Fiat Uno 453d 999 45 145

Nissan Micra LX 3d 1000 45 140

Opel Corsa "City" 3d 1000 45 139 Peugeot 205 Junior 3d llOO 60 164

Ford Fiesta llOO 54 145

Renault 53d 1100 49 145

VW Polo 1000 45 140

Zródło: "Auto Sukces" 1992, nr 6, s. 7.

Tabela 2

Cena w mln zł

(z marca 1992 roku)

37,9

76,0

62,9

75 ,5

89 ,9

99,0

90,0

110,0

117,0

124,5

130,0

142.0

149,0

149,0

149,5

Zastosowanie skalowania wielowymiarowego ... 151

W wyniku zastosowania programu ALSCAU ⁵ otrzymano po trzech itera- cjach dwuwymiarową konfigurację samochodów osobowych (porównaj rysu- nek l), dla której współczynnik Kruskala wynosi S = 0,03739 (współczynnik

Younga SS= 0,02960). W kroku 3 tej procedury wykorzystano regresję (3),

oznaczającą, że odległości mierzone są na skali ilorazowej.

"C

::s ..c o

o

E "'

"'

<U

f::i .!::!

..c c B

c

3

2

v o

"' E ^....

"'

l

....

"'

E

-l

:s

-1 .0 o

o

k !

n

n

o

m

o

l

o

-0,5

a

o

c

h

c

f

o

i

Q o

~g

d

0,0 0,5 1,0

Wymiar 2 -cena samochodu

Rys. l . Dwuwymiarowa konfiguracja samochodów osobowych uzyskana za pomocą

metrycznego modelu skalowania wielowymiarowego ALSCAL

Tabela 3 pokazuje otrzymane współrzędne samochodów osobowych w dwuwymiarowej przestrzeni, gdzie wymiar l oznacza parametry techniczne samochodu, a wymiar 2 jego cenę.

Otrzymane rezultaty skalowania wielowymiarowego pokazują, że w 1992 roku samochody Fiat 126p, Cinquecento oraz Polonez Caro nie miały konku- rentów na polskim rynku.

15

Program ten jest

m.in. w pakiecie statystycznym SPSS ProfessionaJ for Windows

V.

6.J (1994).

152 Marek Walesiak

Tabela 3

Współrzędne samochodów osobowych w dwuwymiarowej przestrzeni

Symbol Marka samochodu Wymiar l Wymiar2

a Fiat l26p 2,7088 0,9317

b Łada Tawrija -0,1056 0,7292

c Cinquecento 1,6959 0,4198

d Polonez Caro - 1,924S 1,4737

e Skoda Favorit 13SL -1 ,0059 0,663S

f Maruti Suzuki 5d 1,0282 -0,2047

g Łada Samara 3d -1,1061 0,7089

h Fiat Panda 1,4671 -0,366S

i Fiat Uno 453d -0,0717 -0,3262

j Nissan Micra LX 3d O,Q319 -0,4100

k Opel Corsa "City" 3d 0,0309 -0,5112

l Peugeot 205 Junior 3d - 1,4129 -0,7012

m Ford Fiesta -0,6880 -0,7139

n Renault S3d -0,5422 -0,7867

o VW Po1o -O,IOS9 -0,9066

Źródło : opracowanie własne.

LITERATURA

l. A guide to the use ofquantitative techniques in marketing. Ed. G.J. Holley . "Euro- pean Joumal o f Marketing" 1980a, vol. 14, No . 7.

2. Anderberg M.R: Cluster analysisfor applications. Academic Press. New York, San Francisco, London 1973.

3. Arabie P., Carroll J.D., DeSarbo W.: Three-way sca/ing and clustermg. Sage. Be- verly Hills 1987 .

4. Beane T.P., Ennis D.M.: Market segmentation. A review. " European Joumal of Mar- keting" 1987, No. S, vol. 21.

S. Bie1a A.: Skalowanie wielowymiarowejako metoda badań naukowych. Towarzystwo Naukowe KUL, Lublin 1992.

6. Boyd H. W., Westwall R., Stasch S.F.: Marketing research. Text and cases. Home-

wood , 1rwin 1989.

7. Cox T.F., Cox M.A.A.: Mu/tidimensional sca/ing. Chapmao & Hall, London 1994.

8. Davison M.L. : Multidimensiona/ scaling. Wiley, New York 1983 .

Zastosowanie skalowania wielowymiarowego ... 153

9. De Leeuw J., Young F . W., Takane Y.: Additive structure in qualitative data: an alternating least squares method with optima/ scaling jeatures. "Psychometrika"

1976, No. 41.

10. Everitt B. S., Duun G .: Advanced methods oj data exploration and mode/ling. Hei- nemann, London 1983.

11 . Everin B.S., Dunn G.: Applied mu/tivariate data ana/ysis. Edward Arnold, Lon- don 1991.

12. Gordon A.D.: C/assification. Chapman and Hall, London 1981.

13. Green P.E.: Marketing applications oj MDS: assessment and out/ook. "Journal of Marketing" 1975, January.

14. Green P.E., Cannone F.J., Smith S.M.: Mu/tidimensiona/ scaling. Concepts and app/ications. Allyn and Bacon, Boston, London, Sydney, Toronto 1989.

15. Green P.E., Rao V .R.: Applied multidimensional sca/ing. Holt, Rinehart and Win- sten, New York 1972.

16 . Green P.E., Tuli D.S., Albaurn G.: Researchjor marketing decisions. Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1988.

17 . Groenen P.J.F.: The majorization approach to mu/tidimensiona/ sca/ing: same pro- b/ems and extensions . DSWO Press, Leiden 1993.

18 . Hair J.f., Andersen R. E., Tatham R.L., Black W.C. : Multivariate data analysis with readings . Prentice Hall, Englewood Cliffs 1995 .

19. Hooley G .J.: Multidimensiona/ sca/ing oj eonsurner perceptions and prejerences.

"European Journal o f Marketing" 1980b, vol. 14, No. 7.

20. Hubert L. , Arabie P., Hesson-Mcinnis M. : Multidimensional scaling in the city- -block metric: a combinatorial approach. "Joumal o f Classification" 1992, No. 2.

21 . Kroskal J.B.: Multidimensional sca/ing by optimizing goodness o f fi t to a nonme- tric hypothesis. "Psychometrika" 1964, No. 29.

22 . Kroskal J.B.: Nonmetric multidimensional scaling: a numerical method. "Psycho- metrika" 1964, No. 29.

23 . Kroskal J.B., Wish M.: Multidimensional sca/ing. Sage, Beverly Hills 1978.

24. Krzanewski W .J.: Princip/es of mu/tivariate analysis. Cłarendon Press, Oxford 1988.

25 . Man1y B.F.J.: Multivariate statistical methods. A primer. Chapman and Hall, Lon-

don 1986.

154 Marek Walesiak

26. Schiffman S.S., Reynolds M.L., Young F. W.: lntroduction to multidimensional sca- ling: theory, methods, and applications. Academic Press, New York 1981 . 27 . Seber G.A .F.: Mu/tivariate observations. Wiley, New York 1984.

28. Shepard R.N.: Analysis ofproximities: multidimensional scaling with an unknown dislance function . "Psychometrika" 1962, No. 2, 27.

29. SPSS Professiona/for Windows, Version 6.1. SPSS Inc., Chicago 1994.

30. Takane Y., Young F. W., de Leeuw J. : Nonmetric individual differences in multidi- mensional scaling: an alternating least squares method with optima/ scalingfeatu- res. "Psychometrika" 1977, 42, No. l.

31 . Walesiak M.: Statystyczna analiza wielowymiarowa w badaniach marketingowych.

Prace Naukowe AE nr 654. Wrocław 1993.

32. Wieczorkowska G .: Zastosowanie skalowania wielowymiarowego do wydobywa-

nia .. ukrytej struktury" w darryc h o podobieństwie obiektów. W: E. Paszkiewicz,

T. Szustrowa: Metody badań psychologiczrrych. Seria Ill, t. 4. PWN , Warszawa 1985.

33 . Wilczyński J.: Skalowanie wielowymiarowe jako metoda geometrycznej reprezen- tacji psychologicznej relacji podobieństwa. "Przegląd Psychologiczny" 1980, nr 3.

34. Young F.W.: Multidimensional scaling. W: Encyclopedia of statistical sciences.

Ed. S. Kotz, N.L. Johnson. Vol. 5. Wiley, New York 1985.

35. Young F. W., de Leeuw J., Takane Y.: Regression with qualitative and quantitallve variables: an alternating least squares method with optima! scalingfeatures " Psy·

chometrika" 1976, No. 4 l .

36. Young F.W., Nułl C.H.: Multidimensional scaling oj nommai data. the recovery oj

metric information with ALSCAL. .,Psychometrika" 1978. 43. No . 3.