ROCZNIKI POLSKIEGO TO WARZYSTW A MATEMATYCZNEGO Séria I: PRACE MATEMATYCZNE XXVIII (1989)
S a b in a S c h m id t (Karlsruhe)
Zwei Existenzsatze fur gewôhnliche Differentialgleichungen in Banachrâumen
Abstract. Consider the initial value problem x ' — f ( t , x), x(0) = a s E , where £ is a Banach space and / = k + g , к satisfies a certain condition of noncompact type and g satisfies a certain condition of dissipative type. Existence is proved if either g is uniformly continuous or E *
uniformly convex.
Einleitung. In dieser Arbeit bezeichnet E einen Banachraum, E* seinen topologischen Dualraum, und es sei a e £ , T > 0, K ^ 0, LeR. Für beschrànkte Mengen B E wird durch
diamB = sup |||x — y\\\ x , y E B ) , falls В Ф 0 : diam 0 = O der Durchmesser und durch
a (B) = in f {<5| 3 ^ 0, B = (J Biy diam B, ^ <5 (i = 1, . n), n e N }
i= l
das Kuratowskische NichtkompaktheitsmaB definiert.
Für x, y eE sei
[>, У] ± lim /i-О ±
\\x + hy\\-\\x\\
h Wir führen zwei Funktionenklassen
ЛК = \k\ k : [0, T] x E -*E stetig, beschrànkt,
a(/c([0, 7] xB)) ^ K ol (B) (B != E, B beschrànkt)}, Ль = \g\ 9 : [0, T] x E -*E stetig, beschrànkt,
[ x - y , g(t, x) — g(t, y)]_ ^ L\\x-y\\ (0 ^ t T, x , y e E )}
ein.
Es ist eine offene Frage, ob das Anfangswertproblem
(*) x'(t) = f ( t , x(t))Q x(0) = a ( O ^ t ^ T )
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lôsbar ist, wenn / = k + g mit к е Л к, g e A L. Positive Antworten existieren in folgenden Fallen:
1. / ist gleichmaBig stetig (Li [6]).
2. k ist gleichmaBig stetig (Hu [5]).
3. К = 0 (Volkmann [10]).
In Ergànzung dieser Resultate erledigen wir in vorliegender Arbeit die Fàlle
4. g ist gleichmaBig stetig.
5. E* ist gleichmaBig konvex (in Bezugnahme auf Cellina [2] und Li [6]).
Wesentliches Hilfmittel beim Beweis ist das unten stehende Lemma, welches in Anlehnung an eine Arbeit von Szufla [9] formuliert wurde.
Ein Lemma. Zunâchst werden einige bekannte Eigenschaften des Kura- towskichen NichtkompaktheitsmaBese angefiihrt: Fiir beschrankte Mengen A,B, E gilt
(1) a(v4)<diamA,
(2) А яВ=>х(А)^<х{В),
(3) a (hA) = hoi (A) (wobei hA — {hx\ x e A ) , heR),
(4) oc(A + B) ^ a(A) + a(B) (wobei A + B = Jx + j/| x e A , y e B }),
(5) oc(A) = O o A relativ kompakt,
(6) a (conv A) —
cl{A) (Darbo [3]),
dabei bezeichnet conv A die abgeschlossene konvexe Hiille von A.
Gilt noch A — \a„\ n e N) , В = {b„\ neN}, so ist (7) cc(\an\ neN}) = ct({a„\ n ^ n0}) (n0 eN ), (8) а(Л) — а (B) ^ a(\an-b„\ ne IS}).
Fiir eine gleichgradig stetige und beschrankte Familie F in C([0, T], E) besteht nach Ambrosetti [1] der Zusammenhang
(9) a(F) = sup {a({x(t)| xeF})|
L emma . Sei k eAK und (yn)neN eine beschrankte Folge in C([0, Г], E), die jiir ein M > 0 die Eigenschaft
\\Уп(1)-УпШ ^ M \ t - s \ ( O ^ t , s ^ T , neN)
besitzt. Dann existiert zu jedem e > 0 ein Ô (e) > 0, so dafi
a({]k(x, y„(x))dx\ neN})^\t-s\K[ix({y„(s)\ neN}) + e]
t
(0 ^ r, s T, \t-s\ ^ <5(e)) gilt.
Beweis. Zu e > 0 wâhle man <5(г) = в/2М. Für t, s e [0 , Г] mit —s|
^<5(e) gilt nach Voraussetzung
11У« ( t ) — (s)|| < M | t - s | ^ e/2 (t < т ^ s, neN), woraus
{(т, уй(т)| t <
T^ s, neN] Ç=[0, T ] x B mit B = |.y„(s)| ne N}+\z\ z e E , \\z\\ ^ e/2} folgt.
Unter Verwêndung von (1)—(4) und (6) erhâlt man damit die Abschâtzungen
<x(\]k(r, yn(z))dr\ neN})
t
^ a ( |t —s|conv \к(т,уп(т))\ t ^ r ^ s , n e N }) 0 - s |K [ a ( { y „ ( s ) [ neN}) + a(Ul z e E , \\z\\ ^ e/2})]
< |t-s|K [a({y„(s)l neN]) + e].
Der Fall / = k + g mit gleichmâûig stetigem g. Eine Funktion g e A L erfiillt die allgemeinere Bedingung (vgl. Hu [5])
(10) a({x — hg(t,x)\ xeB}) ^ hLcc(B)
(0 ^ t ^ T, h > 0, B ç £ , B beschrânkt).
Damit erhâlt man die Existenz einer Lôsung zu (*) für den Fall / — k + g, к е Л К, g e A L und g gleichmâBig stetig als Folgerung aus dem nachstehenden Satz.
S a tz 1. Es sei f = k + g mit k e A K und einer gleichmafiig stetigem beschrankten Funktion g: [0, T] x £ — >£, welche (mit einem L e R) der Be
dingung (10) geniigt. Dann ist das Problem (*) losbar.
Beweis. Die Stetigkeit und Beschrânktheit der Funktion / sichert die Existenz einer Folge von Nâherungslôsungen Jx„| x„: [0, T] -*E stetig dif- ferenzierbar, neN] mit den Eigenschaften
(H) x„(0) = fl,
12 — Commentationes Math. 28.2
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(12) ‘ x'n(t) = f ( t , x„(t))+y„(t), lfy„(t)lI ^ 1/n ( O ^ t ^ T), (13) I M O - * „ ( s ) ll ^ ( M + l) | r - s | (0 < f , s < r ) ,
wobei M = sup {\\f(t, x)|| | O ^ t ^ T , xeE } (vgl. Deimling [4]). Wird (p(t)
= a(U„(0l neN}} (0 ^ t ^ T) gesetzt, so erhâlt man die Stetigkeit von (p mit (1), (8) und (13) aus den Abschàtzungen
\<p(t)~(p(s)\ ^ a(\xn( t ) - x n(s)\ neN})
^ diam !x„(t) —x„(s)| neN} ^ 2{M+l)\t — s\ (0 ^ t, s < T).
Zu s > 0 làBt sich wegen der gleichmaBigen Stetigkeit von g, der gleich- gradigen Stetigkeit der Funktionenfolge (xn)neN und nach dem obigen Lemma ein <5 (e) > 0 mit den Eigenschaften
\\g(t, x„(t)) — g(s, xn(s))|| ^ e (0 < t, s ^ T, |r - s | ^ 3(e), nelV),
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