Sterowanie napędów maszyn i robotów Wykład 5 - Identyfikacja dr inż. Jakub Możaryn

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Wykład 5 - Identyfikacja

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki (IAiR), Politechnika Warszawska

Warszawa, 2015

Identyfikacja statystyczna struktury i parametrów modelu serownapędu pneumatycznego

Podstawowe znaczenie dla udanej identyfikacji modelu procesu ruchu ma rozwiązanie następujących problemów:

Wybór metody identyfikacji.

Wybór struktury modelu.

Wybór postaci modelu.

Wybór okresu próbkowania.

Identyfikacja statystyczna struktury i parametrów modelu serownapędu pneumatycznego

Wybór metody identyfikacji

W przypadku identyfikacji pneumatycznego napędu siłownikowego od względem niezawodności i efektywności najbardziej przydatna jest metoda LS, w dwóch wersjach:

W wersji podstawowej (LS) podczas uruchomienia napędu, (off-line) - zbieżne i dobrze powtarzalne oszacowanie współczynników modelu (dużo danych pomiarowych, długie eksperymenty).

W wersji rekurencyjnej (RLS) podczas normalnej pracy napędu (on-line) - zdecydowanie gorsze oszacowanie współczynników modelu (mała liczba danych pomiarowych, krótkie eksperymenty, silne oscylacje wartości współczynników w początkowej fazie szacowania powodowane procedurą rekurencyjną).

Identyfikacja statystyczna struktury i parametrów modelu serownapędu pneumatycznego

Wybór struktury modelu

Dla dwóch podstawowych faz ruchu: rozbiegu i hamowania

modele fazy rozbiegu mają charakter aperiodyczny, przeważnie 4-go rzędu z opóźnieniem (d ) równym jednemu lub dwóm okresom próbkowania (przy Tp= 2ms): pewne właściwości oscylacyjne, ujawniają się tylko przy niskim wysterowaniu, poniżej 30[%]

nominalnej wartości sygnału u,

modele fazy hamowania charakteryzują się właściwościami oscylacyjnymi 3-go rzędu z krótszym opóźnieniem d w stosunku do fazy rozbiegu - przeważnie o okres Tp; właściwości te ustępują ponownie zachowaniom inercyjnym w zakresie malejących wysterowań, szczególnie poniżej 20 − 10[%] wartości umax (wpływ tarcia).

Identyfikacja statystyczna struktury i parametrów modelu serownapędu pneumatycznego

Wybór postaci modelu

Ograniczając zachowania napędu do modelu zachowań oscylacyjnego członu 2-go rzędu z pominięciem astatyczności, transmitancja i równanie różnicowe identyfikacji, podane są - w przypadku prędkościowego modelu ARMA - w postaci

G_v(z) = b₁z⁻¹+ b₂z⁻²

1 + a1z⁻¹+ a2z⁻²z^−d (1) oraz

ˆ v (k) =

2

X

i =1

a_iv (k − i ) +

2

X

j =1

b_ju(k − d − j ) (2)

Identyfikacja statystyczna struktury i parametrów modelu serownapędu pneumatycznego

Wybór postaci modelu, c.d.

Można także, na podstawie znajomości przybliżonego modelu zachowań dynamicznych napędu, wprowadzić zmodyfikowane modele dyskretne w postaci dwóch równań różnicowych

zachowań prędkościowych ˆ

v (k) = (1 − αT_p)v (k − 1) + βT_pa(k − 1) + C_mT_pαu(k − d − 1) (3) ˆ

v (k) = ˆθ_{v 1}v (k − 1) + ˆθ_{v 2}a(k − 1) + ˆθ_{v 3}u(k − d − 1) (4) zachowań przyspieszeniowych

ˆ

a(k) = −2αβv (k−1)+[1−αTp−2β(1−β)]a(k−1)+2Cmαβu(k−d −1) (5) ˆ

a(k) = ˆθa1v (k − 1) + ˆθa2a(k − 1) + ˆθa3u(k − d − 1) (6)

Identyfikacja statystyczna struktury i parametrów modelu serownapędu pneumatycznego

Wybór okresu próbkowania

Znane zalecenia (określone względem czasów narastania odpowiedzi skokowej identyfikowanego obiektu) zakładają, że okres próbkowania T_p zawierać się w granicach od kilku do kilkudziesięciu ms.

Problem próbkowania

Element ruchomy napędu przy maksymalnej prędkości ruchu przebywa w czasie 1[ms] drogę rzędu 5[mm]. Powstaje konflikt pomiędzy

koniecznością zmniejszania Tp∈ (0, 8; 1, 2)[ms] dla zapewnienia żądanej dokładności pozycjonowania a zachowaniem akceptowalnej jakości identyfikowanego modelu.

Rozwiązanie problemu próbkowania

Wprowadza się oddzielny okres próbkowania T_pident= nT_p, n ∈ C przeznaczony do identyfikacji.

Procedury identyfikacji statystycznej modelu serownapędu pneumatycznego

Wybierając model przyspieszeniowy procesu ruchu napędu, podstawą procedur metody LS jest oszacowanie w chwili dyskretnej k wektora parametrów modelu ˆΘa(k)

Θˆa(k) = [V^T(k)V (k)]⁻¹V^T(k)a(k) = ˆΘa(k − 1) + ∆ ˆΘa(k) (7) który minimalizuje błąd szacowania ˆη_a(k) .

ˆ

η_a(k) = a(k) − ˆa(k) (8)

gdzie:

a(k) - sygnał przyspieszenia w rzeczywistym napędzie, ˆ

a(k) - sygnał przyspieszenia w modelu.

Procedury identyfikacji statystycznej modelu serownapędu pneumatycznego

Zapis (7) łączy dwa podejścia do identyfikacji metodą najmniejszych kwadratów:

w wersji podstawowej metody LS - wykorzystywane są na raz wszystkie zebrane w chwilach k = 1, 2, ..., m pomiarowe dane wejściowe v (k), a(k) i u(k − d )

V (m) =





v (1) a(1) u(1) ... ... ...

v (m) a(m) u(m)



, a(m) =



 a(1)

...

a(m)



 (9)

Prowadzi to do oszacowania wektora parametrów modelu za pomocą wyrażenia

Θˆ^LS_a (m) = [V^T(m)V (m)]⁻¹V^T(m)a(m) (10) minimalizującego kryterium jakości w postaci

I_a^LS(m) = 1 m

m

X

i =1

ˆ

η²_a(i ) , min (11)

Procedury identyfikacji statystycznej modelu

w wersji rekurencyjnej (RLS), w której korekcyjny - względem wektora parametrów modelu ˆΘ^RLS_a (k) - wektor ∆ ˆΘ^RLS_a (k) określają zależności

∆ ˆΘ^RLS_a (k) = γ_a(k)ˆη_a(k) = γ_a(k)[a(k)−ˆa(k)] = γ_a(k)[a(k)− ˆΘ^RLS_a (k−1)w (k)]

(12) gdzie γ_a(k) - współczynnik szacowania: zmianę wartości parametrów modelu wywołuje η_a(k) 6= 0.

W procedurze tej, w każdej kolejnej chwili k macierze V i a uzupełniane są o nowy niezerowy wiersz (wiersze k < i ¬ m pozostają zerowe), co pozwala na szacowanie wektora parametrów modelu w postaci

Θˆ^RLS_a (k) = [V^T(k−1)V (k−1)+w^T(k)w (k)]⁻¹[V^T(k−1)a(k−1)+w^T(k)a(k)]

(13) Postać ta pozwala na wykorzystanie obliczeniowo oszczędnej techniki pseudoinwersji macierzy.

Procedury identyfikacji statystycznej modelu

Pseudoinwersja macierzy polega ona na zastąpieniu odwracanej macierzy następująco:

[V^T(k − 1)V (k − 1) + w^T(k)w (k)]⁻¹' [V^T(k − 1)V (k − 1)]⁻¹+

−µ(k)[V^T(k − 1)V (k − 1)]⁻¹w^T(k)w (k)[V^T(k − 1)V (k − 1)]⁻¹ (14)

µ(k) = 1

w (k)[V^T(k − 1)V (k − 1)]⁻¹w^t(k) + λ (15) gdzie: λ - współczynnik zapominania (λ = 1 przy równym traktowaniu wszystkich danych pomiarowych).

Macierz odwracana w chwili k daje się obliczyć ze znanej już dla chwili poprzedniej (k − 1) macierzy odwrotnej. W tej procedurze

minimalizowane jest kryterium jakości w postaci

I_a^LS(m) = 1 k

k

X

i =1

λ^k−1ηˆa(i )², min (16)

Konwersja parametrów modelu dyskretnego w parametry modelu ciągłego

Konwersja parametrów modelu dyskretnego w parametry modelu ciągłego polega odwrócenie przyporządkowania parametrów modelu ciągłego zachowań ruchowych napędu (C_m, ω_om, D_m) elementom wektora szacowania ˆθ_v lub ˆθ_a modelu dyskretnego.

Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

Model z czasem ciągłym

X (t) =˙





0 1 0

0 0 1

0 −ω_om² −Dmωom



X (t) +





0 0

0 0

Cmω²_om −Cmω_om²



U(t)

y (t) = [1 0 0] x1(t)

Doprowadzany jest przez usunięcie z zależności wyrazów z czynnikiem Tpwyższym niż kwadratowy, do postaci modelu z czasem dyskretnym

X (k+1) =





1 T_p 0

0 1 − αTp βTp

0 −2αβ 1 − αTp− 2β(1 − β)



X (k)+



 0 CmTpα 2Cmαβ



U(k)

y (k) = [1 0 0] X (k) gdzie

α = 1

2ω²_omT_p; β = 1 − D_mω_omT_p

Konwersja parametrów modelu dyskretnego w parametry modelu ciągłego

Można poprawić niezawodność numerycznej konwersji i uzyskać lepsze uwarunkowania równań procedury oraz zmniejszenia nakładu obliczeń poprzez uproszczenie uzasadnione zakresami zmian wartości

współczynników α i β (znając własności modelu bilansowego i wyniki eksperymentalne). Dla siłowników pneumatycznych wartości parametrów modelu ciągłego mieszczą się w zakresach

Cm∈ (0, 15; 1, 5)[m/sV ], ωom∈ (10; 60)[rad /s], Dm∈ (0, 1; 1, 5) co prowadzi do

DmωomTp∈ (0, 0008; 0, 18)[rad ] dla okresu próbkowania Tp(0, 8, 2)[ms]

i można przyjąć uproszczenie DmωomTp≈ 0.

Konwersja parametrów modelu dyskretnego w parametry modelu ciągłego

Uproszczone równania konwersji dla modelu prędkościowego

Cm= θˆv 3

1 − ˆθv 1

, ωom ≈ q

2(1 − ˆθ_{v 1}) Tp

, Dm≈ 1 ωomTp

(1 − θˆv 2

Tp

) (17)

dla modelu przyspieszeniowego

Cm= − θˆa3

θˆ_a1, ωom≈ s

−ˆθa1

Tp

, Dm≈ 1 2ωomTp

(1 −ω_om² T_p²

2 − ˆθa2) (18)

Konwersja parametrów modelu dyskretnego w parametry modelu ciągłego

W celu zmniejszenia wpływu chwilowych odchyłek aktualnie szacowanych wartości parametrów modelu na wynik konwersji zastosowano

następujący filtr uśredniający:

Φusr(k) = νΦakt(k) + (1 − ν)Φusr(k − 1) (19) gdzie:

Φ = [Cm ωom Dm]^T, Φusr(k) = [Cusrm ωusrom Dusrm]^T,

ν << 1 - współczynnik filtracji, Φakt - bieżąca wartość parametrów i Φusr

- uśredniona wartość parametrów modelu ciągłego.

Przykładowo dla współczynnika v = 0, 1 wynik wcześniejszy o 5 okresów próbkowania względem chwili k ma już tylko połowę tej wagi, co aktualny (0, 9⁵≈ 0, 59).

Realizacja identyfikacji statystycznej modelu

ETAP 1: Identyfikacja uruchomieniowa → dla wyznaczenia deskryptorów, charakterystyk i modeli układu napędowego:

zakresu ruchu (siły, momentu) i jego korelacji z szerokością zakresu pomiarowego zastosowanego przetwornika pomiarowego, tzn.

rzeczywistej charakterystyki pomiaru kontrolowanego parametru w układzie napędowym,

biegunowości podłączenia elektrycznego, błędu punktu zerowego i histerezy wysterowania nastawnika,

charakterystyki prędkościowej ruchu i charakterystyki

kompensacyjnej jej nieliniowości w układzie nastawnik - siłownik, parametrów modelu zakłóceniowego (np. zmian obciążenia masowego, siłowego) układu napędowego,

parametrów modelu zachowań ruchowych (siłowych, momentowych) układu napędowego; parametry te są wykorzystywane dla doboru nastaw startowych sterowania oraz jako parametry startowe szacowanego w trybie on-line modelu.

Uwagi - sterowanie pozycyjne napędów pneumatycznych

W trakcie identyfikacji uruchomieniowej możliwe jest zastosowanie w procedurze identyfikacyjnej modelu planowanego eksperymentu czynnego z możliwością pobudzenia pseudoprzypadkowym sygnałem binarnym (PRBS – ang. Pseudorandom Binary Sequence) o właściwościach zbliżonych do „białego szumu”, wytwarzanym przez generator w postaci rejestru przesuwnego z wejściem przez sprzężenia z wybranych pozycji;

przy amplitudzie równej aktualnemu wysterowaniu u pozostałe parametry generatora dobiera się eksperymentalnie

Dla napędu pneumatycznego i okresu próbkowania T_p< 0, 8, 2 > ms oraz przewidywanego zbioru identyfikowanych napędów wybrano jako długość rejestru n = 4 i jako minimalną wartość przedziału czasowego sygnału mT_p, m(2; 9), optymalnie m = 6.

Uwagi - sterowanie pozycyjne napędów pneumatycznych

Identyfikacja uruchomieniowa prowadzona jest po rozpędzeniu siłownika (silnika) do bezpiecznej wartości prędkości vbezpi następnie wyhamowaniu przy pomocy sygnału PRBS dla obydwu kierunków ruchu (istotne dla siłowników i niehoryzontalnych położeń napędu), różnych obciążeń masowych mobc, wybranych położeń s i

wysterowań u.

W najprostszym przypadku identyfikowane są cztery modele: dla dwóch kierunków ruchu oraz minimalnego i maksymalnego obciążenia masowego dla wybranego, np. środkowego, położenia elementu ruchomego napędu (siłownika).

Identyfikacja uruchomieniowa napędu

Rysunek 1. Identyfikacja uruchomieniowa napędu.

Realizacja identyfikacji statystycznej modelu

ETAP 2: Identyfikacja w trakcie normalnej pracy napędu służy do:

wyznaczenia lokalnych (chwilowych) modeli zachowań układu napędowego; jest prowadzona równolegle do sterowania pozycyjnego:

szacowanie wektora parametrów modelu dyskretnego (ˆθ) i potem modelu ciągłego (Φ) przebiega w każdym okresie Tpident w trzech kolejnych krokach obliczeniowych, w powtarzalnych ciągach po kilkadziesiąt szacowań kończonych każdorazowo

modyfikacji nastaw sterowania przez szacowanie obciążenia masowego i identyfikację on-line modelu procesu ruchu.

Identyfikacja w trakcie normalnej pracy napędu

Rysunek 2. Identyfikacja w trakcie normalnej pracy napędu.

Uwagi - sterowanie pozycyjne napędów pneumatycznych

W porównaniu do modelu obliczeniowego (bilansowego), gorzej szacowany jest wpływ obciążenia masowego. Tak więc dla bardziej zaawansowanych metod sterowania (np. adaptacyjnego) konieczne może być stosowanie specjalnej procedury identyfikacyjnej.

Obserwowane rozbieżności w przypadku współczynnika tłumienia Dm

wynikają z trudności analitycznego określenia zachowań ciernych napędu pneumatycznego: współczynnik tarcia jest przyjmowany w praktyce według katalogowych danych producenta, z reguły jako pewna wartość stała dla całego typoszeregu

siłowników (silników, przekładni), bez uwzględnienia rzeczywistych oporów ruchu w kompletnym układzie napędowym.

W stosunku do „uśrednionych” wyników modelowania analitycznego i uruchomieniowego (metoda LS), różnice w odniesieniu do

identyfikacji w trakcie normalnej pracy, zwłaszcza zmniejszenie wzmocnienia obiektowego C_m, wywołane są dwoma czynnikami:

zapewnieniem procedurze RLS charakteru silnie bieżącego szacowania oraz wpływu tarcia przylgowego w przypadku małych przemieszczeń i prędkości ruchu.

Uwagi

W trakcie normalnej pracy układu napędowego są identyfikowane charakterystyczne dla napędów przebiegi zależności parametrów zachowań modelu oscylacyjnego od parametrów ruchu i

wysterowania: dotyczy to charakterystyk pulsacji drgań swobodnych ωom i tłumienia Dm w funkcji położenia s.

Spośród działań o charakterze ulepszeń numerycznych zmniejszających wrażliwość identyfikacji i konwersji parametrów na zakłócenia i zniekształcenia pomiarowe, dyskretyzacyjne i

rekonstrukcyjne wykorzystywanych sygnałów, jak np. skalowanie ich wartości dla poprawy uwarunkowań równań procedur lub

dopasowania czasu próbkowania, szczególne znaczenie przypisać należy działaniom filtracyjnym zarówno na sygnałach

wejściowych, jak i na estymowanych parametrach modeli.

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Wykład 5 - Identyfikacja

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki (IAiR), Politechnika Warszawska

Warszawa, 2015