Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wykład 4 - Model w przestrzeni stanów dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Wykład 4 - Model w przestrzeni stanów

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2015

(2)

Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w

przestrzeni stanów z czasem ciągłym

X (t) = A˙ mcX (t) + BmcU(t)

y (t) = CmcX (t) (1)

gdzie: X (t) ∈ Rⁿ- wektor stanu, U(t) ∈ R^m - wektor sygnałów sterujących, y (t) ∈ R^p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, Amc ∈ R^n×n - macierz stanu Bmc∈ R^n×m - macierz sterowania, Cmc∈ R^p×m - macierz wyjścia.

(3)

Równania stanu - zmienne fizykalne

Zmienne stanu i sterujące











unt(t) = Unt(t) upt(t) = Upt(t) x1= s(t) x2= v (t)

x3= Pnt(t) − Patm

x4= Ppt(t) − Patm

(2)

gdzie:

unt(t) = Unt(t) – napięcie wysterowania rozdzielacza proporcjonalnego (dla komory nadtłokowej)

u_pt(t) = U_pt(t) – napięcie wysterowania rozdzielacza proporcjonalnego (dla komory podtłokowej)

x₁(t) = s(t) – położenie (przemieszczenie) tłoka siłownika x₂(t) = v (t) – prędkość ruchu tłoka siłownika

x3(t) = Pnt(t) − Patm = pnt(t) - ciśnienie względne w komorze nadtłokowej siłownika

x4(t) = Ppt(t) − Patm = ppt(t) - ciśnienie względne w komorze podtłokowej siłownika

(4)

Równania stanu









 dx1(t)

dt = x2(t) dx₂(t)

dt = −k_tvP mobc

x₂(t) +A_tlont mobc

x₃(t) −A_tlopt mobc

x₄(t) dx3(t)

dt = −nntoPntoAtlont

V_nto x₂(t) +nntoRϑntokqmnt

V_nto u_nt(t) dx4(t)

dt =nptoPptoAtlopt

V_pto x2(t) +nptoRϑptokqmpt

V_nto upt(t)

(3)

Równanie wyjścia

y (t) = x₁(t) (4)

(5)

Równania stanu - zmienne fizykalne

Ostatecznie, dla sterowania dławieniowego rozdzielonego, model procesu ruchu realizowanego przez pneumatyczny napęd siłownikowy opisują zależności macierzowe

X (t) =˙







0 a12 0 0 0 a22 a23 a24

0 a32 0 0 0 a42 0 0











 x1(t) x2(t) x3(t) x4(t)





 +







0 0

b31 0 0 b42







unt(t) upt(t)

+

(5)

y (t) = [1 0 0 0]X (t) (6)

gdzie

a₁₂= 1; a₂₂= −k_tvP mobc

; a₃₂= −n_ntoP_ntoA_tlont Vnto

; a₄₂=n_ptoP_ptoA_tlopt Vpto

(7)

a23= Atlont

m_obc; a24= −Atlopt

m_obc; b31=nntoRϑntokqmnt

V_nto ; b42=nptoRϑptokqmpt

V_nto (8) Układ liniowy : parametry macierzy mają stałe wartości

(6)

przyjmując

u(t) = unt(t) = −upt = U(t)∆P(t) = pnt(t) − ppt(t) (9) a następnie przechodząc od fizykalnych do fazowych zmiennych stanu, po wprowadzeniu jako trzeciej zmiennej przyspieszenia a(t) ruchu tłoka siłownika i uwzględnieniu zależności

x₃(t) = a(t) = Atlont

m_obc∆P(t) − ktvP

m_obcv (t) (10) Fazowe zmienne stanu i zmienne sterujące są następujące











u_nt(t) = U_nt(t) u_pt(t) = U_pt(t) x₁(t) = s(t) x₂(t) = v (t) x3(t) = a(t)

(11)

(7)

Równania stanu - zmienne fazowe

Równania stanu









 dx1(t)

dt = x2(t) dx2(t)

dt = x3(t) dx3(t)

dt = − 1 m_obc

"

nntoPntoA²_tlont

V_nto +nptoPptoA²_tlopt V_pto

#

x2(t) − ktvP

m_obcx3(t)+

+n_ntoRϑ_ntok_qmntA_tlont mobcVnto

u_nt(t) −n_ptoRϑ_ptok_qmptA_tlopt mobcVpto

u_pt(t)

(12) Równanie wyjścia

y (t) = x1(t) (13)

(8)

oznaczając

Cmntω_om² =nntoRϑntokqmntAtlont

mobcVnto

; Cmptω_om² =nptoRϑptokqmptAtlopt

mobcVpto

(14)

2D_mω_om = ktvP

m_obc (15)

ω²_om= − 1 mobc

"

n_ntoP_ntoA²_tlont Vnto

+n_ptoP_ptoA²_tlopt Vpto

#

(16)

Równania stanu i wyjścia można sprowadzić do postaci macierzowej, z trzema parametrami liniowego modelu zachowań prędkościowych ru- chu tłoka napędu pneumatycznego o właściwościach oscylacyjnych z:

wzmocnieniem prędkościowym Cm, pulsacją drgań swobodnych ω_om tłumieniem D_m

(9)

Równania stanu - zmienne fazowe

W ten sposób otrzymuje się model stanu procesu ruchu jako członu oscylacyjnego zachowań prędkościowych

X (t) =˙





0 1 0

0 0 1

0 −ω_om² −Dmωom



X (t)+





0 0

Cntmω²_om −Cptmω²_om



U(t) (17)

y (t) = [1 0 0] x1(t) (18)

(10)

Szczególne miejsce pośród wielu modeli (różne warianty dławienia i różne układy wartości parametrów) zajmuje - ze względu na prostotę zapisu i wykorzystania - model zlokalizowany w położeniu odpowiadającym poło- wie objętości cylindra siłownika (0, 5Vcyl), opisany przez stałe (’mode- lowe’) wartości parametrów przemian gazowych (nm, ϑm), współczyn- nika tarcia (ktm) oraz ciśnienia roboczego (Pm): dla siłownika z połączo- nym sterowaniem komór (r = 1) i tłokiem równopowierzchniowym (Atlo) w postaci

C_m=Rϑ_mk_qm AtloPm

; ω_om = 2A_tlo

s n_mP_m mobcVcyl

; D_m= k_tm 4Atlo

r V_cyl nmPmmobc

(19)

(11)

Równania stanu - zmienne fazowe

Model ten pozwala, przy ograniczeniu liczby koniecznych do podania warto- ści parametrów, w prosty sposób estymować dynamikę napędu w oparciu o minimalną wartość pulsacji ωom, przy stałym wzmocnieniu prędko- ściowym Cm i tłumieniu Dm, dla wybranych położeń tłoka siłownika so

ωom= s

nmPmAtlo

mobc

1 so

+ 1

smax − so

(20) Dobrym, ze względu na zgodność modelu z wynikami doświadczalnymi, przybliżeniami są:

wartość wykładnika przemiany politropowej: nm ≈ 1, 35, stałej rozdzielacza: kqm≈ 2 · 10⁻⁸kg /s∆Pa,

ciśnienia: Pm≈ 0, 65Pzas

stałej tarcia napędu: k_tm≈ 125Ns/m

(12)

Podane modele obliczeniowe z czasem ciągłym procesu ruchu w pneumatycznym układzie napędowym mają 4 zalety:

1 pojęcia typu wzmocnienie prędkościowe, pulsacja drgań, tłumienie są dla inżynierów zrozumiałe, oraz jako wartości parametrów -

intuicyjne i inżyniersko weryfikowalne,

2 jakościowo poprawnie modelują zależność dynamiki napędu od położenia tłoka, obciążenia masowego i warunków pracy,

3 spełniają warunki sterowalności i obserwowalności układu w sensie Kalmana oraz istotny w przypadku układu napędowego warunek sterowalności wyjściowej,

4 przekładają się w implementacyjnie prosty sposób w algorytm wyboru macierzy sprzężeń zwrotnych, uwzględniając założone właściwości statyczne i dynamiczne układu pozycyjnego.

(13)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli

Chcąc zaprojektować układ regulacji w technice mikroprocesorowej, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem dyskretnym

X (k + 1) = A_mdX (k) + B_mdU(k)

y (k) = CmdX (k) (21)

gdzie: X (k) ∈ Rⁿ- wektor stanu, U(k) ∈ R^m - wektor sygnałów sterujących, y (k) ∈ R^p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, Amd ∈ R^n×n - macierz stanu Bmd∈ R^n×m - macierz sterowania, Cmd∈ R^p×m - macierz wyjścia.

(14)

Transformacja ciągłych równań różniczkowych do dyskretnych równań różnicowych.

Uwzględniając : czas dyskretny k,

okres próbkowania (dyskretyzacji) Tp

sterowanie sygnałami odcinkowo - stałymi zmienianymi wyłącznie w chwili próbkowania (sygnałami schodkowymi) , czyli:

U(t) = U(kTp) dla t ∈ hkTp, k + 1Tpi (22)

(15)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli

Równanie stanu modelu przekształca się, zgodnie z zasadami dyskretyzacji w postać:

X (k + 1) = exp (A_mcT_px (k)) +

Tp

Z

0

exp (A_mct)B_mcdtU(k) (23)

gdzie

Amd= exp (AmcTp) = L⁻¹[(sI − Amc)⁻¹]; (24)

B_md =

T_p

Z

0

exp (A_mct)B_mcdt = A⁻¹_mc[exp (A_mcT_p) − I ]B_mc, det A 6= 0 (25)

(16)

W przypadku modelu opisanego przez wzmocnienie prędkościowe Cm, pulsację drgań swobodnych ω_om i tłumienie D_m – macierz A_md poszukiwana jest przy pomocy zależności

A_md= L⁻¹[(sI − A_mc)⁻¹] _t=T

p (26)

e^A^mc^T^p = L⁻¹





 1 s

s + 2Dmωom

s³+ 2D_mω_oms²+ ω_om² s

1

s³+ 2D_mω_oms²+ ω²_oms 0 s + 2D_mω_om

s²+ 2Dmωoms + ω²_om

1

s²+ 2Dmωoms + ω_om²

0 −ω²_om

s²+ 2Dmωoms + ω²_om

1

s + 2Dmωom+ ω_om² /s







t=Tp

(27) gdzie L⁻¹ - odwrotne przekształcenie Laplace’a.

Bmd = A⁻¹_mc(Amd− I )Bmc, det Amc 6= 0 (28)

(17)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli

Ostatecznie otrzymuje się model z czasem dyskretnym:

X (k + 1) = AmdX (k) + BmdU(k)

y (k) = CmdX (k) (29)

UWAGA: W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny.

(18)

szereg Taylora

Jeśli funkcja f : D → Y , gdzie D ⊆ R oraz Y jest przestrzenią unormowaną i ma w punkcie x₀∈ D pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg

∞

X

n=0

1

n!f⁽ⁿ⁾(x₀)(x − x₀)ⁿ, (30) gdzie przyjęto f⁽⁰⁾(x0) = f (x0).

Jeżeli x₀= 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina ma następującą postać

f (x ) = f (0) +

∞

X

n=1

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ (31)

Dla funkcji wykładniczej, szereg Maclaurina ma postać e^x =

∞

X

n=1

xⁿ

n! (32)

(19)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu

dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny polegający na:

Krok 1: zastąpieniu funkcji exp (AmcTp) szeregiem funkcyjnym MacLaurina,

Krok 2: zapisie macierzy Amd i Bmd w postaci

Amd =

∞

X

i =0

Aⁱ_mc

i ! T_pⁱ; Bmd= Tp

∞

X

i =0

Aⁱ_mc

(i + 1)!T_pⁱBmc (33)

Krok 3: uwzględnieniu tylko kilku pierwszych (lub pierwszego) wyrazów tego rozwinięcia.

(20)

Postępowanie to odwołuje się do transformacji Tustina polegającej na ograniczeniu rozwinięcia potęgowego operatora s do jednego wyrazu przy wyznaczaniu transmitancji dyskretnej.

Transformacja Tustina polega na aproksymacji Pad´e funkcji eksponencjalnej

z = e^sT (34)

Przekształcenie metodą Tustina polega na wykorzystaniu następujących podstawień przy transformacji z przestrzeni Laplace’a do przestrzeni ’z’:

s = 2 T

(z − 1)

(z + 1) (35)

(21)

Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

Prawidłowość doboru okresu próbkowania i przeprowadzenia powyższej aproksymacji wynika z twierdzenia Kotielnikowa- Shannona, określa- jącego pod jakim warunkiem z sygnału dyskretnego x (k) złożonego z pró- bek danego sygnału ciągłego x (t), można wiernie odtworzyć sygnał x (t).

Częstotliwość próbkowania musi być większa niż dwukrotność naj- wyższej składowej częstotliwości w mierzonym sygnale.

ω_p= 2π Tp

; ω_p 2ωom (36)

Taka aproksymacja znajduje swe uzasadnienie w stwierdzeniu skali róż- nic wartości pomiędzy pulsacją próbkowania ωp wynikająca z okresu Tp a pulsacją ωom .

Przy milisekundowym okresie próbkowania, np. Tp ∈< 0, 8, 2 > ms, otrzy- muje się pulsację próbkowania ω_p∈< 7850, 3140 > rd /s która jest o rzędy wielkości większa od pulsacji drgań swobodnych ω_om∈< 10, 60 > rd /s za- chowań ruchowych (siłowych) napędu - takie częstotliwości charakteryzują nawet szybkie napędy pozycyjne.

(22)

Model z czasem ciągłym

X (t) =˙





0 1 0

0 0 1

0 −ω_om² −Dmωom



X (t)+





0 0

Cntmω²_om −Cptmω²_om



U(t)

y (t) = [1 0 0] x1(t)

Doprowadzany jest przez usunięcie z zależności wyrazów z czynnikiem Tpwyższym niż kwadratowy, do postaci modelu z czasem dyskretnym

X (k+1) =





1 T_p 0

0 1 − αTp βTp

0 −2αβ 1 − αTp− 2β(1 − β)



X (k)+



 0 CmTpα 2Cmαβ



U(k)

y (k) = [1 0 0] X (k) gdzie

α = 1

2ω²_omT_p; β = 1 − D_mω_omT_p

(23)