O okresowości pewnych ciągów liczb naturalnych

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I : PRACE MATEMATYCZNE IX (1965)

W.

(Warszawa)

O okresowości pewnych ciągów liczb naturalnych

1. Niech, dla danych liczb naturalnych n i s, f s(n) oznacza liczbę otrzymaną (w dziesiętnym układzie liczenia) przez odwrócenie kolejności cyfr liczby n-{-s, np.: / б(95) = 1, / 7(621) = 826, / п (1) =

= 21, itd.

W pracach [1], [2], [3], [4] badany jest ciąg kolejnych iteracji funkcji f s(n), czyli ciąg postaci

(1) n, f s{n), f sf s(n) , . . .

W pracy niniejszej podamy kilka niezauważonych dotychczas właści­

wości tego ciągu.

2. Najpierw odpowiemy na niektóre pytania dotyczące- ciągów postaci (1) postawione przez W. Sierpińskiego w pracy [4]:

Czy dla każdej liczby naturalnej n oraz dla s — 2, 4, 6, 8 ciąg (1) będzie miał okres odpowiednio 81, 54, 207 i 27 wyrazowy ?

Jak sprawdził W. Sierpiński dla n < 100 odpowiedź na to p y­

tanie jest twierdząca. Jednak w przypadku ogólnym odpowiedź jest przecząca, ponieważ dla n = 1011 i s — 2, 4, 5, 8 otrzymujemy ciągi o podanych niżej okresach czystych złożonych odpowiednio z 90, 90, 36 i 90 wyrazów:

s = 2:

1011, 3101, 3013, 5103, 5015, 7105, 7017, 9107, 9019, 1209,

1121, 3211, 3123, 5213, 5125, 7215, 7127, 9217, 9129, 1319,

1231, 3321, 3233, 5323, 5235, 7325, 7237, 9327, 9239, 1429,

1341, 3431, 3343, 5433, 5345, 7435, 7347, 9437, 9349, 1539,

1451, 3541, 3453, 5543, 5455, 7545, 7457, 9547, 9459, 1649,

1561, 3651, 3563, 5653, 5565, 7655, 7567, 9657, 9569, 1759,

1671, 3761, 3673, 5763, 5675, 7765, 7677, 9767, 9679, 1869,

1781, 3871, 3783, 5873, 5785, 7875, 7787, 9877, 9789, 1979,

1891, 3981, 3893, 5983, 5895, 7985, 7897, 9987, 9899, 1099.

s = 4:

1011, 5101, 5015, 9105, 9019, 3209, 3123, 7213, 7127, 1317, 1231, 5321, 5235, 9325, 9239, 3429, 3343, 7433, 7347, 1537, 1451, 5541, 5455, 9545, 9459, 3649, 3563, 7653, 7567, 1757, 1671, 5761, 5675, 9765, 9679, 3869, 3783, 7873, 7787, 1977, 1891, 5981, 5895, 9985, 9899, 3099, 3013, 7103, 7017, 1207, 1121, 5211, 5125, 9215, 9129, 3319, 3233, 7323, 7237, 1427, 1341, 5431, 5345, 9435, 9349, 3539, 3453, 7543, 7457, 1647, 1561, 5651, 5565, 9655, 9569, 3759, 3673, 7763, 7677, 1867, 1781, 5871, 5785, 9875, 9789, 3979, 3893, 7983, 7897, 1097.

1011, 5:

6101, 6016, 1206, 1121, 6211, 6126, 1316, 1231, 6321, 6236, 1426, 1341, 6431, 6346, 1536, 1451, 6541, 6456, 1646, 1561, 6651, 6566, 1756, 1671, 6761, 6676, 1866, 1781, 6871, 6786, 1976, 1891, 6981,

8:

9101,

6896, 1096.

s =

1011, 9019, 7209, 7127, 5317, 5235, 3425, 3343, 1533, 1451, 9541, 9459, 7649, 7567, 5757, 5675, 3865, 3783, 1973, 1891, 9981, '9899, 7099, 7017, 5207, 5125, 3315, 3233, 1423, 1341, 9431, 9349, 7539, 7457, 5647, 5565, 3755, 3673, 1863, 1781, 9871, 9789, 7979, 7897, 5097, 5015, 3205, 3123, 1313, 1231, 9321, 9239, 7429, 7347, 5537, 5455, 3645, 3563, 1753, 1671, 9761, 9679, 7869, 7787, 5977, 5895, 3095, 3013, 1203, 1121, 9211, 9129, 7319, 7237, 5427, 5345, 3535, 3453, 1643, 1561, 9651, 9569, 7759, 7677, 5867, 5785, 3975, 3893, 1093.

Czy przy 5 = 6 dla dowolnej liczby naturalnej n > 100 ciąg (1) ma okres będący cykliczną permutacją któregoś z okresów otrzymywanych dla n ś C 100?

M e wypisujemy tutaj okresów ciągu (1) dla s — 6 i n < 100. Zauważ­

my tylko na podstawie pracy [4], że są one złożone z liczb co najwyżej 3-cyfrowycłi. Otóż odpowiedź na to pytanie jest również negatywna, ponieważ dla n — 1011 otrzymujemy ciąg o następującym okresie czy­

stym złożonym z liczb 4-cyforwyeh:

1011, 7101, 7017, 3207, 3123, 9213, 9129, 5319 5235, 1425, 1341, 7431, 7347, 3537, 3453, 9543 9459, 5649, 5565, 1755, 1671, 7761, 7677, 3867 3783, 9873, 9789, 5979, 5895, 1095.

3. Niech teraz dla naturalnych n, s i z (z > 1), f ss(n) oznacza liczbę

otrzymaną przy zasadzie liczenia г przez odwrócenie kolejności cyfr

O okresowości pewnych ciągów liczb naturalnych

liczby n + s . Przez kolejne iteracje funkcji Д я(п) otrzymujemy następu­

jący ciąg

(2) W) fs,z{w,)l fs,zfs,z{^) ^ •••

Udowodnimy następujące

T

. Jeżeli n = (10...0010 ...0 1 )3 i 1 Ф s\z, to ciąg (2)

к к

jest ciągiem okresowym o okresie czystym złożonym z 2 (z — l)z k+1/s wyrazów (k— liczba całkowita ^ 0).

Oznaczymy przez $ 2{п) l-tą iterację funkcji f Sj2{n) a przez e{ cyfry przy zasadzie liczenia г.

Przed udowodnieniem podanego twierdzenia dowiedziemy nastę­

pujący

L

. Jeżeli n = (10...0010 ...0 1 )s i 1 Ф ф , to przy r = (скск_ х...

* к

. . . c xcQ)2, gdzie ck < 0 — 2, mamy

fs,Tls](n) = (lc 0...c* _ 1c*cio*_1. .. c 0l ) e; ck~ c k = 1.

D o w ó d lematu przeprowadzimy metodą indukcji matematycznej.

1° Dla r = 0 lemat jest oczywiście prawdziwy, bo j = n.

2° Założymy teraz, że lemat jest prawdziwy dla r — {скек_ 1...с й)я i udowodnimy jego prawdziwość również dla r’ = r + 1, o ile tylko r’ =

= ( W k - i - ..ć 0)s, gdzie ck < 0 —2.

Oznaczmy l + m$ przez sm (w — liczba naturalna). Dla m — zjs mamy szjs = (11)2. Dla m < z/s liczby sm są < z, co oznacza, że są one liczbami jednocyfrowymi w układzie liczenia przy zasadzie z. Dalej przez sm będziemy rozumieć cyfry w układzie liczenia przy zasadzie z odpowia­

dające liczbom sm (sm Ф 0).

Z założenia prawdziwości lematu dla r — {скск_ 1...с 1сй)2 mamy f S r,s)(n) = (lc 0c1...c ft_ 1c*cic*_1. .. c 1c0l ) e; ck—ck = 1.

Wykorzystując właściwości sm oraz korzystając z tego, że r’ — r + 1 =

= (

&

_

...C

C0)3, gdzie c* < 2 — 2, możemy policzyć dalsze iteracje funkcji f 3>z(n). Otrzymujemy:

fi2 ? l3+1)(n) = (s1c0Ci...oifc_ 1cic*cft_ 1...<?1o0l ) e, / g r/3+2)(w) =

/ g r/s+3)(^) = (*ac0Ci...c*_icic*c*_1. .. c 1c0e1) „

ygr/S+4)(^) = (52

0

1...С*_1СА;4

А;_ 1...С1С

82)

,

j ( 2 j / S + 2*/S- 2 ) ^ = (Sz/s_ J Co 0i # . . ck _ г ck c 'k ck _ ! . . . Cl C0 SB/s_ ! ) g ,

fs,zlS+2ZlS- X {П) = ( l Ć 0 Ć 1 . . . C ft_ 1c i c * C * _ 1 . . . O 1 C 0 S 1,/ e _ 1 ) e ,

ff;Z/!s+2SlS) (П ) = f f p S){n) = ( 1 C 0 C j . . . Ck_ ^ j cC]cCk_ i. . .Сц C0 1 ) 3 ,

@k == 1 •

Z ostatniej z obliczonych iteracji widzimy, że lemat jest prawdziwy dla r' = r + 1.

Wobec 1° i 2° na zasadzie indukcji matematycznej stwierdzamy, że lemat jest prawdziwy dla wszystkich r = (скск_ г. . .сгс0)г takich, że <

< 0 —2.

D o w ó d t w i e r d z e n i a . Przyjmijmy r = (Cc...c)e,

^~k

gdzie C = 0—2, a c = 0—1. Na podstawie dowiedzionego lematu mamy Л 7 /8) (n) = (1 с...сС сс^ с1 )г.

fc A c Dokonując dalszych iteracji otrzymujemy:

Л Т "+Ч(») =

aT”^ A:

/S!f/e+2) (W) = (

1

. . .

(7

^

1)2,

aT ~ A :

А ? ' +*>(п) = (8гС^СсСс^С8х)в,

к к

/i ! f /S+4)(w) = (82С...С0СС^С82)Я,

А: А;

^ r /s+24»-2,(B) = ^

А: А

/» !f,s+“ 's- 1)(» ) =

""й!

i g " 8 + ” ' * ) ( » ) = ( l o ^ o o i o ^ o i ) , = Л 2 ( » ) •

А: А;

Otrzymaliśmy fs*J,s+2z,s\n) = /^ (w ). Łatwo zauważyć z podanych

tu oraz w dowodzie lematu wzorów na iteracje fs} 2(n), że dla i , j (i Ф j )

mniejszych od Zzrjs + Zzjs mamy fs} in) Ф fs,l {n). W obec tego okres

ciągu (2) składa się z 20f/s + 20/$ wyrazów. Ale ponieważ r — (Cc...c)B,

O okresowości pewnych ciągów liczb naturalnych

gdzie c = z —1 = 0 + 1 ) więc

2zrfsĄ-2zjs — 2z(r+l)/s = 2z(z — l ) z k/s — 2(z— l ) z k+1/s;

c. b. d. o.

Ponieważ к jest dowolną nienjemną liczbą całkowitą, więc z udowod­

nionego twierdzenia wynikają natychmiast 2 następujące wnioski:

Wn i o s e k

1. Dla ustalonych liczb naturalnych s i z takich, że z > 2 i 1 Ф s\z ciąg (2) może mieć okres o ilości wyrazów większej od każdej z góry zadanej liczby.

Wn i o s e k

2. Dla ustalonych liczb naturalnych s i z takich, że z ^ 2 i 1 ф s\z zbiór wszystkich możliwych okresów ciągu (2) jest zbiorem nie­

skończonym.

Stąd w szczególności mamy

W

V. Dla s = 2, 5, 10 ciąg (1) może mieć okres o ilości wyrazów większej od każdej z góry zadanej liczby.

Wn i o s e k

2'. Dla s = 2, 5, 10 zbiór wszystkich możliwych okresów ciągu (1) jest zbiorem nieskończonym.

Wnioski 1' i 2' uzupełniają odpowiedzi na pytania W. Sierpińskiego dotyczące ciągów postaci (1) przy s = 2 i s = 5.

W związku z wnioskiem 2' zauważymy tutaj, że w pracy [3] A. Schin- zel wykazał, że dla s — 3, 7, 9 i 11 zbiór różnych możliwych okresów ciągu (1) jest zbiorem skończonym.

Kończąc pracę autor pragnie serdecznie podziękować Docentowi A. Schinzlowi za cenną dyskusję na temat pracy.

Prace cytowane

Г11 J. B r o w k in ,

O okresowości pewnych ciąaów liczb naturalnych,

[2] B. K o k o w s k a , O

okresowości pewnych ciągów liczb naturalnych,

Mat. 3 (1959-60), str. 41.

[3] A . S c h in z e l,

O okresowości pewnych ciągów liczb naturalnych,

[4] W . S ie r p iń s k i,

O pewnych ciągach nieskończonych liczb naturalnych,

W . Gorzkowski (Warszawa)

ON T H E P E R IO D IC IT Y OF C E R T A IN SEQ U EN CES OF N A T U R A L N U M B E R S S U M M A R Y

Let

fs,z{n)

z)

The author proves the following theorem:

I f n —

and

ф s\z, then the sequence o f the successive iterations

)c Yt

o f the function f SfZ(n) is a periodic sequence with a pure period consisting o f

(z — l ) z k+1/s terms (k being an integer

This theorem gives a negative answer to one of the questions posed by W . Sier­

piński in paper [4]. Moreover, the number

n

f s,s{n).