Estymacja przedziałowa Niech X = (X1

Estymacja przedziałowa

Niech X = (X₁, . . . , X_n) będzie próbą z rozkładu P_θ należącego do rodziny rozkładów P = {P_θ : θ ∈ Θ}.

Definicja 1. Niech P (T₁(X) < T₂(X)) = 1. Mówimy, że [T₁(X), T₂(X)] jest 100(1 − α)%

przedziałem ufności dla parametru θ ∈ Θ, jeżeli

∀_θ∈Θ P_θ(T₁(X) ≤ θ ≤ T₂(X)) ≥ 1 − α, dla zadanego α ∈ (0, 1).

Definicja 2. Niech P (T₁(X) < T₂(X)) = 1. Mówimy, że [T₁(X), T₂(X)] jest 100(1 − α)%

asymptotycznym przedziałem ufności dla parametru θ ∈ Θ, jeżeli

∀_θ∈Θ lim

n−→∞P_θ(T₁(X) ≤ θ ≤ T₂(X)) ≥ 1 − α, dla zadanego α ∈ (0, 1).

Zmienne losowe T₁ i T₂ nazywają się odpowiednio dolnym i górnym końcem lub granicą przedziału ufności. Wartość współczynnika 1 − α nazywa się poziomem ufności.

Definicja 3. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą z rozkładu P_θ, θ ∈ Θ. Funkcja Q(X₁, . . . , X_n, θ) nazywa się funkcją centralną lub wiodącą dla parametru θ, jeżeli jej rozkład prawdopodobień- stwa nie zależy od θ.

Konstrukcja przedziału ufności

Załóżmy, że dysponujemy funkcją centralną Q(X₁, . . . , X_n, θ) parametru θ. Przedział ufności dla parametru θ ∈ Θ konstruujemy następująco:

• wybieramy liczby a i b tak, aby spełniały one równość

P_θ(a ≤ Q(X₁, . . . , X_n, θ) ≤ b) = 1 − α, dla każdego θ ∈ Θ i zadanego α ∈ (0, 1). Mamy więc

1 − α = F_Q(b) − F_Q(a). (1)

Wystarczy teraz dobrać α1, α2 tak, aby α1 + α2 = α. Wówczas a = F_Q⁻¹(α₁), b = F_Q⁻¹(1 − α₂),

co daje nam (1). W ten sposób możemy utworzyć nieskończenie wiele przedziałów ufności.

W praktyce przyjmuje się α₁ = α₂ = ¹₂α.

• Gdy Q(X₁, . . . , X_n, θ) jest ciągłą i ściśle monotoniczną funkcją parametru θ, to nierówność a ≤ Q ≤ b jest równoważna nierówności

L(X₁, . . . , X_n, a, b) ≤ θ ≤ U (X₁, . . . , X_n, a, b).

Stąd

[L(X₁, . . . , X_n, a, b), U (X₁, . . . , X_n, a, b)]

jest 100(1 − α)% przedziałem ufności dla parametru θ ∈ Θ.

1

Poniższe twierdzenie pozwala wyznaczyć przedział ufności o najkrótszej długości.

Twierdzenie 1. Załóżmy, że f jest ciągłą gęstością i g jest dodatnią funkcją ciągłą. Całka Z

C

g(x)dx

przy warunku pobocznym

Z

C

f (x)dx = 1 − α, α ∈ (0, 1) (2)

osiąga minimum dla C postaci

C =



x : f (x) g(x) > λ

 , gdzie λ dobrana jest tak, by spełniona była równość (2).

Metoda stabilizacji wariancji

Załóżmy, że √

n(ˆθ − θ) −→^dN (0, σ²(θ)).

Z metody delta mamy, że

√n(g(ˆθ) − g(θ)) −→^d N (0, (g⁰(θ))²σ²(θ)).

Należy tak dobrać funkcję g(θ), aby asymptotyczna wariancja estymatora g(ˆθ) nie zależała od θ. Zatem musi być spełnione:

(g⁰(θ))²σ²(θ) = c², dla pewnej stałej c, co implikuje

g(θ) =

Z c

σ(θ)dθ.

Wówczas mamy

n−→∞lim P_θ



g(ˆθ) − φ⁻¹(1 − α/2)c

√n ≤ g(θ) ≤ g(ˆθ) + φ⁻¹(1 − α/2)c

√n



= 1 − α.

Jeżeli g(θ) jest funkcją rosnącą, to przedział ufności dla g(θ) możemy bez trudu przekształcić na przedział ufności dla samego parametru θ (i odwrotnie).

2