Ćwiczenia nr 2, RP 2020
Aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa
Zadanie 1. Niech A, B będą dowolnymi zdarzeniami. Za pomocą A, B, A0, B0 i odpowiednich działań na zbio- rach zapisać następujące zdarzenie: spośród zdarzeń A, B
(a) zaszło co najmniej jedno,
(b) zaszło dokładnie jedno, ale nie wiadomo które, (c) nie zaszło żadne.
Zadanie 2. Niech A, B, C będą dowolnymi zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach (a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C,
(b) zachodzą dokładnie dwa ze zdarzeń A, B, C, (c) zajdą nie więcej niż dwa zdarzenia spośród A, B, C.
Zadanie 3. Rzucamy trzy razy monetą. Zdarzenie Ai polega na tym, że otrzymamy orła w i-tym rzucie, i = 1, 2, 3. Za pomocą działań na zbiorach zapisać następujące zdarzenia:
(a) w drugim rzucie otrzymaliśmy orła, (b) otrzymano dokładnie jednego orła,
(c) otrzymano co najmniej jednego orła, (d) liczba orłów była większa od liczby reszek.
Zadanie 4. Ile jest σ-ciał, jeśli Ω ma 4 elementy?
Zadanie 5. Na podstawie aksjomatów rachunku prawdopodobieństwa wywnioskować, że (a) P(∅) = 0;
(b) Jeśli A ⊂ B, to P(B \ A) = P(B) − P(A) i P(A) ¬ P(B);
(c) P(A) ¬ 1 dla dowolnego zdarzenia A;
(d) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B);
(e) P(A1∪ A2∪ . . . ∪ An) ¬Pn
i=1P(Ai).
Zadanie 6. Niech A1, A2, . . . , An będą zdarzeniami. Wiadomo, że zawsze co najmniej jedno z nich zachodzi i nie zachodzą jednocześnie więcej niż dwa. Ponadto P(Ai) = p, P(Ai∩ Aj) = q. Udowodnij, że p 1/n, q ¬ 2/n.
Zadanie 7. (Ω, F , P) jest przestrzenią probabilistyczną, A, B, C ∈ F.
(a) Załóżmy, że P(A ∪ B) = 1/2, P(A ∩ B) = 1/4, P(A \ B) = P(B \ A). Obliczyć P(A) oraz P(B \ A).
(b) Załóżmy, że A ∪ B ∪ C = Ω, P(B) = 2P(A), P(C) = 3P(A), P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C).
Wykazać, że 1/6 ¬ P(A) ¬ 1/4.
(c) Załóżmy, że P(A) 2/3, P(B) 2/3, P(C) 2/3, P(A ∩ B ∩ C) = 0. Obliczyć P(A).
Zadanie 8. ∗ Niech Ak będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez k. Udowodnij, że na N nie istnieje prawdopodobieństwo takie, że P(Ak) = 1/k dla k 1.
Zadanie 9. (Twierdzenie o ciągłości.)
(a) Jeśli ciąg zdarzeń (Ai) jest wstępujący (tzn. A1⊆ A2⊆ . . .) to
P
∞
[
i=1
Ai
!
= lim
i→∞P(Ai), jeśli zaś ten ciąg jest zstępujący (A1⊇ A2⊇ . . .), to
P
∞
\
i=1
Ai
!
= lim
i→∞P(Ai).
Zadanie 10. Rozważamy eksperyment losowy polegający na wielokrotnym rzucaniu symetryczną mone- tą. Eksperyment zakończymy, gdy otrzymamy dwa orły pod rząd. Określ Ω, F i funkcję prawdopo- dobieństwa P. Jakie są szanse, że będziemy rzucać w nieskończoność. A jakie, że będziemy rzucać nieparzystą liczbę razy?
Zadanie 11. Niech Ω będzie zbiorem przeliczalnym, F = 2Ω, zaś P jakimś prawdopodobieństwem na Ω.
Wykazać, że istnieją liczby pa, a ∈ Ω takie, że
P(A) = X
a∈A
pa, (*)
dla każdego zbioru A ∈ F . Ponadto, jeśli pa 0 iP
a∈Ωpa= 1, to wzór (*) zadaje prawdopodobień- stwo.
Zadanie 12. Udowodnij, że każde σ-ciało nieskończone musi być nieprzeliczalne.
Zadanie 13. Kij o długości 1 złamano losowo w dwóch punktach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z powstałych trzech odcinków można zbudować trójkąt.
Zadanie 14. Na nieskończoną szachownicę o boku 1 rzucono monetę o średnicy 2/3. Jakie jest prawdo- podobieństwo, że moneta znajdzie się w całości we wnętrzu jednego z pól?
Zadanie 15. (paradoks Bertranda) Losujemy cięciwę okręgu. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?
Zadanie 16. (igła Buffona) Igłę o długości l rzucamy na podłogę z desek o szerokości a, przy czym a < l.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła w całości będzie leżeć na jednej z desek.
Zadanie 17. ∗ Cztery muchy usiadły na sferze. Oblicz prawdopodobieństwo, że można je przykryć pewną półsferą o tym samym promieniu.
Zadanie 18. ∗ Niech Bnoznacza liczbę wszystkich relacji równoważności w zbiorze n-elementowym. Przyj- mijmy tez, ze B0= 1. Udowodnij, ze dla każdego n ∈ N zachodzi wzór
Bn+1=
n
X
k=0
n k
Bk.
Zadanie 19. Losujemy funkcję f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , k}. Udowodnij, że prawdopodobieństwo, że f jest „na” wynosin
k k!/kn, gdzie
n k
= 1 k!
k
X
i=0
(−1)ik i
(k − i)n
2
