dla dla dla

Zadania do tematu: ekstrema lokalne i monotoniczność funkcji.

1. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x)x³6x²9x7. Podaj przedziały, w których jest rosnąca oraz przedziały, w których jest malejąca.

Postępujemy w takim przypadku dość schematycznie. Schemat będzie się wielokrotni powtarzał, problemy, jakie się przy tego typu zadaniach pojawią, będą miały „charakter techniczny”. Żeby sobie z nimi

poradzić, trzeba umieć rozwiązać różne typy równań i nierówności ( niekoniecznie tylko kwadratowych, jak poniżej)

Rozwiązanie

1. Wyznaczamy dziedzinę DR

2. Różniczkujemy funkcję i wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej f(x)3x²12x90 Te miejsca zerowe to punkty stacjonarne, w tym przypadku są to : x₁ 1 x₂ 3

3. Dokonujemy weryfikacji tych punktów wykorzystując twierdzenie o warunku dostatecznym istnienia ekstremum, a „przy okazji” otrzymujemy wnioski dotyczące przedziałów monotoniczności funkcji.

Sprawdzając warunek wystarczający dla ekstremum lokalnego badamy przecież znaki pochodnej w lewym i prawym sąsiedztwie punktów stacjonarnych.

W tym przypadku badanie znaków pochodnej jest banalne (nie zawsze tak będzie)

Schemat monotoniczności:

4.Formułujemy wnioski



f dla x(;1)



f dla x(1;3)



f dla x(3;) 17 ) 3

min  f( 

f f_max f(1)1

2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji 4 4 7

3 5 4 ) 1

(x  x⁴  x³  x²  x

f . Podaj przedziały, w których

jest rosnąca oraz przedziały, w których jest malejąca.

Rozwiązanie 1.DR

2. f(x)x³5x²8x40

1 3

minimum maksimum

Tym razem mamy do rozwiązania równanie 3 stopnia, i trzeba się posłużyć dostępnymi narzędziami umożliwiającymi rozkład wielomianu na czynniki. Musimy się tu posłużyć tw.

Bezoute’a, odgadując wcześniej jakiś wymierny pierwiastek i dokonując dzielenia wielomianu przez dwumian związany z tym pierwiastkiem.

Takim pierwiastkiem będzie liczba 1 f(1)15840 4

4 )

1 ( : ) 4 8 5

(x³ x² x x  x² x szczegóły dotyczące techniki dzielenia pomijam, 0

) 4 4 )(

1

(x x² x  0

1



x lub x²4x40

1

x lub x2 to punkty stacjonarne

3. Weryfikacja. W tym przypadku również możemy dość łatwo wykreślić schemat znaków funkcji pochodnej, pamiętając, że x=2 jest pierwiastkiem podwójnym.



f dla x(;1) f  dla x(1;) 12

5 7 ) 1

min  f( 

f W punkcie x=2 nie jest spełniony warunek wystarczający, więc nie ma tak ekstremum lokalnego, chociaż było ono potencjalnie możliwe.

Do samodzielnego rozwiązania:

3.Wyznacz ekstrema lokalne poniższych funkcji. Podaj przedziały, w których są one rosnące oraz przedziały, w których są malejące.

a) f(x)x³12x²36x10 b) f(x)x⁴8x³22x²24x10

c) 2

) 1

( ₂

2



  x x x

f d)

2 25 ) 10

(

2





  x

x x x

f e)





) 3

( 

  x x x f

4. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji i zbadaj jej monotoniczność. f(x)e^x26x3 Rozwiązanie:

1.DR

2. f(x)e^x26x3(2x6)0

2 1

3 0

2 6

 

 x

ex lub 2x60

Funkcja wykładnicza ^{6 3} ) 2

(x e^{x x}

g przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości, toteż miejsca zerowe pochodnej pochodzą tylko od drugiego czynnika, pierwsze z równań nie posiada rozwiązań.

Zatem x=3 jest jedynym punktem stacjonarnym.

3. Aby zweryfikować ten punkt trzeba zbadać znaki pochodnej. f(x)e^x26x3(2x6)0 Znak pochodnej będzie taki jak znak funkcji h(x)2x6, ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości. Najłatwiej będzie więc naszkicować wykres funkcji liniowej:

4.f  dla x(;3)



f dla x(3;)

6 min f(3)e^ f

4.Wyznacz ekstrema lokalne funkcji i zbadaj jej monotoniczność. f(x)ln(x² 7x10) Rozwiązanie

1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji, liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem 0

10

27  

x x czyli D(2;5).

2. ( 2 7) 0

1 7 ) 1

( ₂   





 

 x

x x x f

0 1 7 1

2 





x x ^lub 2x70

Sprzeczność x3,5D

3. W celu weryfikacji punktu stacjonarnego potrzebujemy zbadać znak funkcji )

7 2 ( 1 7 ) 1

( ₂  





 

 x

x x x

f . I tu już nie będzie aż tak banalnie jak poprzednio, choć też nie jest to trudne. Najprościej¹ rozwiązać nierówności:

1 Można także rozwiązywać tę nierówność w dziedzinie zawężonej do zbioru, który stanowi dziedzinę funkcji logarytmicznej czyli przedziału (2;5) (bo tylko ten zbiór nas w tym przypadku interesuje). Wówczas wiadomo, że mianownik funkcji wymiernej jest dodatni, a jej znak jest taki jak znak licznika. Otrzymamy oczywiście to samo rozwiązanie i te same wnioski odnośnie monotoniczności

3

0 ) 7 2 ( 1 7 1

2   





 x

x x

oraz ( 2 7) 0

1 7 1

2   





 x

x x

0 ) 7 2 )(

1 7

(x²  x  x  0 ) 7 2 )(

5 )(

2

(     

 x x x

4.f  dla x(2;3,5)



f dla x(3,5;5) ) 25 , 2 ln(

) 5 , 3

max f( 

f

Do samodzielnego rozwiązania:

5.Wyznacz ekstrema lokalne funkcji i zbadaj jej monotoniczność.

a) x

x x

f 1 ln

)

(   b) f(x)(x1)²ln(x1) c)

x x x

f ln

ln 1 )

(  

d)

f ( x )  e

f x x e

1

)

( 

x

e x

f 

2

) (

Opracowanie dr Elzbieta Badach

5 3 3,5

2