Zadania z mechaniki kwantowej kurs du ˙zy, na poniedzia̷lek 4 pa´zdziernika
1. Niech 𝜓+(⃗𝑛) i 𝜓−(⃗𝑛) oznaczaja stany w̷lasne operatora ⃗𝑛 ⋅ ⃗֒ 𝑆 do warto´sci w̷lasnych odpowiednio +ℏ/2 i −ℏ/2 (⃗𝑆 jest opertorem spinu elektronu).
(a) Prosze wyrazi´c stany 𝜓֒ ±(⃗𝑒1) jako kombinacje liniowe stan´ow 𝜓±(⃗𝑒3).
(b) Prosze obr´oci´c stany 𝜓֒ ±(⃗𝑒3) o kat 𝜋/2 wok´o̷l wektora ⃗𝑒֒ 2.
⃗𝑒1, ⃗𝑒2, ⃗𝑒3 - wektory bazy kartezja´nskiej.
2. Prosze znale´z´c macierze operator´ow 𝐽֒ 1, 𝐽2, 𝐽3, 𝐽+, 𝐽−, 𝐽2 w standartowej bazie (w bazie wektor´ow w̷lasnych 𝐽2 i 𝐽3) dla 𝑗 = 1/2, 1.
3. 𝑟, 𝜃 i 𝜙 sa sferycznymi wsp´o̷lrz֒ ednymi wektora ⃗𝑥.֒ (a) Korzystajac z faktu֒
𝑅⃗𝑛(𝛼)⃗𝑥 = ⃗𝑥 + 𝛼⃗𝑛 × ⃗𝑥 + 𝒪(𝛼2),
prosze wyliczy´c wsp´o̷lrz֒ edne sferyczne wektora 𝑅֒ ⃗−1𝑛 (𝛼)⃗𝑥 z dok̷ladno´scia do cz̷lon´ow linio-֒ wych w 𝛼, dla ⃗𝑛 = ⃗𝑒1, ⃗𝑒2, ⃗𝑒3 (wektor´ow bazy kartezja´nskiej).
(b) Korzystajac z a) prosz֒ e zapisa´c transformacj֒ e [𝑈 (𝑅)𝜓](⃗𝑥) = 𝜓 (𝑅֒ −1⃗𝑥) dla 𝑅 - infinitezy- malnego obrotu dooko̷la ⃗𝑒1, ⃗𝑒2, ⃗𝑒3.
(c) Korzystajac z b) prosz֒ e znale´z´c operator kr֒ etu orbitalnego ⃗֒ 𝐿, w reprezentacji po̷lo˙ze´n, we wsp´o̷lrzednych sferycznych (jest to alternatywna metoda otrzymania ⃗֒ 𝐿 w por´ownaniu z metoda kt´ora b֒ edzie przedstawiona na wyk̷ladzie).֒
4. Prezestrze´n Hilberta ℋ ma baze {∣𝑛, 𝑘⟩}֒ 𝑛,𝑘=0,1,2,.... Definiujemy operatory 𝐴 i 𝐵 przez 𝐴∣𝑛, 𝑘⟩ =√
𝑛∣𝑛 − 1, 𝑘⟩, 𝐵∣𝑛, 𝑘⟩ =√
𝑘∣𝑛, 𝑘 − 1⟩.
Prosze znale´z´c 𝐴֒ ★, 𝐵★ oraz wszystkie regu̷ly komutacji dla 𝐴, 𝐵, 𝐴★, 𝐵★. 5. Definiujemy operatory
𝑆 = 1
2(𝐴★𝐴 + 𝐵★𝐵) 𝐽1 = 1
2(𝐵★𝐴 + 𝐴★𝐵), 𝐽2 = 𝑖
2(𝐵★𝐴 − 𝐴★𝐵), 𝐽3 = 1
2(𝐴★𝐴 − 𝐵★𝐵), gdzie 𝐴, 𝐵 sa operatorami z poprzedniego zadania.֒
Prosze pokaza´c ˙ze:֒
(a) 𝐽𝑖 spe̷lniaja regu̷ly komutacji kr֒ etu,֒ (b) [𝐽𝑖, 𝑆] = 0,
(c) 𝐽2 = 𝑆(𝑆 + 1).
A. Rostworowski
http://th.if.uj.edu.pl/∼arostwor/
