Zadania z mechaniki kwantowej kurs duży, na poniedziałek 10 stycznia 39. Definiujemy ślad operatora

Zadania z mechaniki kwantowej kurs duży, na poniedziałek 10 stycznia

39. Definiujemy ślad operatora 𝐴:

Tr𝐴 = ∑

𝑖

(𝜓

, 𝐴𝜓

) ,

gdzie 𝜓

tworzą bazę ℋ (ślad operatora jest zdefiniowany jeśli suma jest zbieżna). Proszę pokazać, że powyższa definicja nie zależy od wyboru bazy {𝜓

}.

40. Niech 𝐴 będzie obserwablą o dyskretnym spektrum, 𝐴 = ∑

𝑎

𝑎𝑃

.

Proszę pokazać, że prawdopodobieństwo otrzymania wartości 𝑎, w wyniku pomiaru 𝐴 w stanie

∣𝜓⟩, wynosi Tr (∣𝜓⟩⟨𝜓∣𝑃

) oraz ⟨𝐴⟩

= Tr (∣𝜓⟩⟨𝜓∣𝐴).

41. Proszę znaleźć poprawkę do energii stanu podstawowego atomu wodoropodobnego związaną ze skończonym rozmiarem jądra atomowego, w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń. Proszę przyjąć, że ładunek jądra jest równomiernie rozłożony w kuli o promieniu ∣⃗𝑥∣ ≤ 𝑅.

42. W 𝐿

(ℝ) działa 𝐻 = 𝐻

+ 𝑉 , gdzie 𝐻

jest hamiltonianem oscylatora harmonicznego, a zaburzenie 𝑉 wynosi: i) 𝑉 = 𝛼𝑋, ii) 𝑉 = 𝛽𝑋

. Proszę znaleźć wartości własne 𝐻

(a) ściśle,

(b) w rachunku zaburzeń z dokładnością do drugiego rzędu.

Proszę porównać otrzymane wyniki.

43. Przestrzeń stanów układu jest 3-wymiarowa. W bazie {∣𝜓

⟩, ∣𝜓

⟩, ∣𝜓

⟩}:

[ 𝐻

] =

⎛

⎝

𝑎 0 𝑏

0 𝑎 + 𝑏 0

𝑏 0 𝑎

⎞

⎠ .

Proszę znaleźć wartości i wektory własne 𝐻

. Następnie proszę znaleźć, w pierwszym rzędze rachunku zaburzeń, wartości i wektory własne zaburzonego hamiltoinianu: 𝐻 = 𝐻

+ 𝑉 , gdzie:

[ 𝑉 ] =

⎛

⎝

𝑡 𝑖𝑠 𝑢 − 𝑖𝑣

−𝑖𝑠 𝑤 −𝑖𝑠

𝑢 + 𝑖𝑣 𝑖𝑠 𝑡

⎞

⎠ 𝑡, 𝑠, 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℝ.

44. Dany jest hamiltonian 𝐻 = 𝐻

+ 𝑉 : 𝐻

= 1

2𝑚 (𝑃

+ 𝑃

) + 1

2 𝑚𝜔

(𝑋

+ 𝑋

) , 𝑉 = 𝛼𝑋

𝑋

.

Proszę znaleźć odpowiednią bazę (tzn. dopasowaną do zaburzenia 𝑉 ) w przestrzeni rozpiętej na wektorach wlasnych odpowiadających pierwszemy poziomowi wzbudzonemu 𝐻

(tzn. ∣0, 1⟩

i ∣1, 0⟩) oraz poprawki do energii w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/