Ćwiczenie nr 4
Badanie zjawiska Halla i przykłady zastosowań tego zjawiska do pomiarów kąta i indukcji magnetycznej
Opracowanie: Ryszard Poprawski, Katedra Fizyki Doświadczalnej, Politechnika Wrocławska Cel ćwiczenia: Zapoznanie studentów z ruchem cząstek naładowanych w polu elektrycznym i magnetycznym, zjawiskiem Halla, przykładami zastosowań tego zjawiska do pomiaru różnego typu wielkości fizycznych, a w szczególności pomiaru kąta oraz indukcji magnetycznej.
1. Wstęp
Zjawisko gromadzenia się ładunków elektrycznych na ściankach płytki przewodzącej umieszczonej w polu magnetycznym przez którą płynie prąd elektryczny zostało przewidziane przez Maxwella, a odkryte przez E.H. Halla w 1879 roku.
Rozpatrzmy płytkę płasko–równoległą wykonaną z metalu lub półprzewodnika (materiału przewodzącego prąd elektryczny) umieszczoną w polu magnetycznym o indukcji B (rys.1).
Rys.1. Rysunek pomocniczy do wyprowadzenia wzoru na napięcie Halla
Duża powierzchnia płytki przez którą płynie prąd o natężeniu I jest prostopadła do kierunku pola magnetycznego. Na poruszające się w polu magnetycznym nośniki ładunku działa siła Lorentza
B v q
FL , (1)
gdzie: q – ładunek nośnika, v – prędkość nośnika.
Siła Lorentza jest prostopadła do kierunku pola magnetycznego i kierunku ruchu nośników ładunku.
Pod działaniem tej siły tory nośników ulegają zakrzywieniu i na powierzchniach bocznych płytki gromadzą się ładunki przeciwnego znaku. Pole elektryczne o natężeniu E wytworzone przez ładunki zgromadzone na powierzchniach bocznych płytki działa na ładunki poruszające się wewnątrz płytki siłą
E q
FE , (2)
Kierunek tej siły jest przeciwny do kierunku siły Lorenza. Po bardzo krótkim czasie ustala się równowaga (siła Lorentza jest równoważona przez siłę FE)
qEqvB (3)
Jeżeli kierunek ruchu nośników ładunku (kierunek przepływu prądu przez płytkę) jest prostopadły do kierunku pola magnetycznego równanie (3) można zapisać jako
E B
v (4)
Różnicę potencjałów czyli napięcie między powierzchniami bocznymi płytki nazywamy napięciem Halla,
a E
UH , (5)
gdzie: a – oznacza odległość pomiędzy ścianami bocznymi płytki (hallotronu). Równanie (5) jest spełnione, jeżeli natężenie pola elektrycznego wewnątrz płytki można uznać za jednorodne. Podstawiając do równania (4) natężenie pola elektrycznego obliczone z równania (5) otrzymujemy:
B v a
UH (6)
Prędkość nośników można obliczyć znając natężenie prądu płynącego przez hallotron.
Gęstość prądu j możemy zapisać jako stosunek natężenia prądu do pola przekroju poprzecznego przewodnika S,
S
j Is (7)
Gęstość prądu związana jest z koncentracją nośników n. Koncentracja nośników oznacza liczbę nośników w jednostce objętości
V
n N , (8)
gdzie: N liczba nośników, V – objętość przewodnika.
Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośników dodatnich i ujemnych, dlatego gęstość prądu można zapisać jako
n v q n v q
j , (9)
gdzie: n+, n- – oznacza odpowiednio koncentrację nośników dodatnich i ujemnych, v+, v- – prędkość nośników a q+, q- ładunki tych nośników. W metalach nośnikami ładunku elektrycznego są swobodne elektrony, w półprzewodnikach elektrony i (lub) dziury, w elektrolitach jony dodatnie i ujemne, natomiast w zjonizowanych gazach jony dodatnie i elektrony.
Załóżmy, że nośnikami ładunku są tylko elektrony. Z równania (9) wynika, że prędkość elektronów Sne
I ne
v j s , (10)
gdzie: e – oznacza ładunek elektronu (ładunek elementarny), natomiast S – pole przekroju poprzecznego hallotronu. Wprowadzimy jeszcze definicję ruchliwości nośnika ładunku
E
v
. (11)
Ruchliwość nośnika ładunku jest więc prędkością nośnika w polu elektrycznym o natężeniu jednostkowym (w układzie SI – V/m). Wstawiając prędkość nośników ładunku (10) do równania (6) otrzymujemy
dne B I adne
B aI Sne
B a I
UH s s s , (12)
gdzie: a jest odległością między bocznymi ściankami hallotronu. Równanie (12) możemy zapisać w postaci:
B I
UH s (13)
gdzie:
dne
1
(14)
jest stałą hallotronu. Zwróćmy uwagę na to, że wartość tej stałej zależy od grubości hallotronu oraz koncentracji nośników ładunku, a jej znak od znaku nośników ładunku. Tak więc wyznaczając stałą Halla można wyznaczyć koncentrację i znak nośników ładunku.
Równanie (13) w postaci wektorowej można zapisać jako:
B I
UH s , a wartość UH IsBsin (15) gdzie: jest kątem między kierunkiem prądu płynącego przez hallotron i kierunkiem wektora indukcji magnetycznej B.
Kończąc krótkie wprowadzenie do zjawiska Halla warto zwrócić uwagę, na to, że hallotrony znajdują wiele zastosowań praktycznych: są stosowane do pomiaru natężenia prądu (w tym mierniki bezstykowe w których mierzone jest natężenie pola magnetycznego wytworzone przez przepływający w przewodniku prąd), natężenia pola magnetycznego, pomiaru mocy (iloczynu natężenia prądu i napięcia), kąta obrotu, częstości obrotów, drgań, przesunięć oraz do budowy głowic odczytujących informacje zapisane na nośnikach magnetycznych (taśmy magnetofonowe, wideo, twarde dyski i dyskietki).
2. Badanie charakterystyk hallotronu 2.1. Cel ćwiczenia :
Wyznaczenie podstawowych charakterystyk hallotronu oraz zastosowanie hallotronu do pomiaru kątów.
2.2 Układ pomiarowy
Schemat ideowy układu do badania zjawiska Halla przedstawiono na rys. 2. Fotografię tego układu zamieszczono na rys.3. Układ składa się z nieruchomego hallotronu umieszczonego w polu magnetycznym o indukcji B wytworzonym przez dwa magnesy neodymowe (rysunki 2 i. 3). Magnesy zamocowane są tak, że można nimi obracać wokół nieruchomego hallotronu. Do obudowy magnesów zamocowana jest podziałka kątowa umożliwiająca pomiary kąta obrotu magnesów względem hallotronu.
Regulowane napięcie zasilające hallotron podawane jest z zasilacza widocznego z lewej strony rys. 3. W obwód zasilacza należy podłączyć miernik prądu – miliamperomierz (rys. 2), a do zacisków napięciowych hallotronu miliwoltomierz, który służy do pomiaru napięcia Halla. Indukcja magnetyczna w obszarze między magnesami jest stała co do wartości i wynosi około 0.5 T.
Orientację pola magnetycznego względem płaszczyzny hallotronu można zmieniać obracając magnesami w przedziale od zera do 360o. Z równania (15) wynika, że napięcie Halla UH IsBsin.
Rys.2. Schemat ideowy układu do badania
zjawiska Halla. Rys.3. Układ do badania zjawiska Halla
Układ pomiarowy umożliwia wyznaczenie zależności napięcia Halla od natężenia prądu płynącego przez hallotron przy ustalonej wartości indukcji magnetycznej (ustalonym kącie między płaszczyzną hallotronu i kierunkiem indukcji magnetycznej), oraz zależności napięcia Halla od kąta między płaszczyzną hallotronu i kierunkiem indukcji magnetycznej przy ustalonym natężeniu prądu. Na podstawie uzyskanych wyników można wyznaczyć stałą hallotronu, a znając grubość hallotronu możemy wyznaczyć koncentrację nośników prądu (równanie 14) .
2.3. Zadania pomiarowe
1. Dla dwóch ustalonych wartości natężenia prądu płynącego przez hallotron (z przedziału od 6 do 12 mA) wyznaczyć zależności napięcia Halla od kąta między powierzchnią płytki (kierunkiem przepływu prądu) i kierunkiem indukcji magnetycznej. Pomiary wykonać w przedziale od 0 do 360o co 10o.
2. Wyznaczyć zależność napięcia Halla od natężenia prądu płynącego przez hallotron dla dwóch orientacji magnesów względem hallotronu.
2.4. Opracowanie wyników
1. Narysować wykresy zależności napięcia Halla od kąta jaki tworzy kierunek indukcji magnetycznej z płaszczyzną hallotronu.
2. Narysować wykresy zależności napięcia Halla podzielonego przez wartość maksymalną tego napięcia dla danej wartości prądu. Na wykres nanieść zależność funkcji sinx od x. Wyznaczyć przesunięcie 0 między wykresami UH /UHmax i funkcji sinx.
3. Narysować wykres zależności napięcia Halla od natężenia prądu płynącego przez hallotron przy ustalonym kącie.
4. Obliczyć stałą hallotronu, koncentrację nośników oraz niepewności wyznaczenia tych wielkości.
Wartość indukcji magnetycznej obliczyć ze wzoruB B0sin
0
. Przyjąć B0 = (500 5) mT, grubość hallotronu d 2m, 2%d
d , ładunek elektronu e1.61019 C.
5. Na podstawie wyników pomiarów obliczyć:
– czułość prądową hallotronu:
s H
I I
S U
przy ustalonym B,
– czułość polową
B SB UH
,
– maksymalną czułość kątową układu
UH
S .
Uwaga: Jeżeli narysujemy wykres zależności czułości kątowej od kąta , staje się jasna odpowiedź na pytanie – dlaczego stosując hallotrony do pomiarów kątów (w szerokim zakresie) stosuje się dwa wzajemnie prostopadłe hallotrony.
3. Pomiar indukcji magnetycznej za pomocą hallotronu, wyznaczanie zależności indukcji magnetycznej między biegunami elektromagnesu od natężenia prądu płynącego przez elektromagnes.
3.1. Cel ćwiczenia :
Zastosowanie hallotronu do pomiaru indukcji magnetycznej, wyznaczenie charakterystyki elektromagnesu.
3.2. Zestaw przyrządów : 1. Elektromagnes.
2. Zasilacz elektromagnesu.
3. Zasilacz hallotronu.
4. Miliwoltomierz do pomiaru napięcia Halla.
5. Miliamperomierz do pomiaru natężenia prądu płynącego przez hallotron.
6. Amperomierz do pomiaru natężenia prądu płynącego przez elektromagnes.
7. Hallotron w ruchomej obudowie 8. Przystawka hallotronu
3.3. Schemat układu pomiarowego i połączenia
Połączyć układ zasilający elektromagnes oraz układ hallotronu wg schematów przedstawionych na rysunkach 4 i 5.
Rys. 4. Układ zasilania elektromagnesu
Rys. 5 Układ połączeń hallotronu 3.4. Przebieg pomiarów.
Wyznaczyć zależność napięcia Halla UH od natężenia prądu magnesującego Im przy ustalonym natężeniu
prądu płynącego przez hallotron Is = const.
a) ustalić prąd zasilania hallotronu (w zakresie 4 – 12 mA ) np. Is = 6 i 10 mA;
b) włączyć zasilacz elektromagnesu;
c) przeprowadzić pomiary zależności napięcia Halla od natężenia prądu płynącego przez elektromagnes Im (prąd magnesujący) w zakresie od 50 mA do 500 mA (np. co 50 mA ), przy ustalonej wartości prądu płynącego przez hallotron.
d)Pomiary wykonać dla obu kierunków prądu magnesującego. W celu zmiany kierunku prądu płynącego przez elektromagnes należy zamienić miejscami przewody zasilające elektromagnes.
3.5. Opracowanie wyników
Narysować wykres zależności indukcji magnetycznej od natężenia prądu płynącego przez elektromagnes.
Wartości indukcji magnetycznej obliczyć korzystając ze wzoru
H H
I B U
, gdzie
AT 5 V . 0 4 . 33
.
+ Zasilacz hallotronu
-
I
sU
hV
mA
