Analiza matematyczna 1
Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki
1 Indukcja matematyczna
Przykªad 1. Pewnego popoªudnia Kubu± Puchatek kupiª pust¡ beczk¦, która mie±ci 20 sªoików miodu, i wlaª do niej wszystkie swoje zapasy. Co dzie« rano Prosiaczek przynosi Kubusiowi nowy sªoik miodu, który Kubu± dolewa do beczki (a sªoik oddaje Prosiaczkowi). Co dzie«
wieczorem Kubu± zjada 5% zawarto±ci beczki.
Popoªudniami Mi± o Bardzo Maªym Rozumku zastanawia si¦, czy kiedy± zabraknie mu miejsca w beczce. Czy umiesz mu pomóc?
Rozwi¡zanie. W chwili, gdy Kubu± kupiª beczk¦, miejsca nie brakowaªo. Je±li którego± popªud- nia beczka nie jest przepeªniona i zawiera x sªoików miodu (x ≤ 20), to w nocy jest tam 10095 x sªoików, a nast¦pnego popoªudnia 10095 x + 1 sªoików. Skoro x ≤ 20, to
95
100x + 1 ≤ 95
100 · 20 + 1 = 19 + 1 = 20,
czyli po upªywie jednego dnia beczka równie» nie jest przepeªniona. A wi¦c beczka wystarczy na Kubusiowe potrzeby.
Zastosowany powy»ej argument nosi nazw¦ indukcji matematycznej. W skrócie: je±li pewne twierdzenie: (1) jest prawdziwe pewnego dnia; oraz (2) jest prawdziwe jutro, je±li jest prawdziwe dzisiaj; to automatycznie jest prawdziwe zawsze (od owego pocz¡tkowego dnia).
Gdy ponumerujemy dni liczbami naturalnymi, otrzymamy nast¦puj¡ce zupeªnie ±cisªe sformu- ªowanie.
Zasada indukcji matematycznej. Je±li pewne twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej (kon- kretnej) liczby naturalnej k, oraz dla dowolnego n ≥ k z prawdziwo±ci twierdzenia dla liczby n wynika jego prawdziwo±¢ dla liczby n + 1, to twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych nie mniejszych od k.
Zasad¦ indukcji matematycznej zwykle uznaje si¦ za aksjomat (czyli zdanie prawdziwe, któ- rego si¦ nie dowodzi) w teorii liczb naturalnych. Przedstawimy teraz kilka wa»nych zastosowa«.
Przykªad 2 (Wie»e z Hanoi). Trzy pionowe pr¦ty s¡ przytwierdzone do podªo»a. Na lewy naªo»one jest jeden na drugim osiem kr¡»ków o coraz mniejszych ±rednicach. Zadanie polega na przeniesieniu wszystkich kr¡»ków na prawy pr¦t przy zachowaniu dwóch zasad: (1) w jednym ruchu wolno przenie±¢ tylko jeden kr¡»ek; oraz (2) wi¦kszy kr¡»ek nie mo»e znale¹¢ si¦ na mniejszym. Ile ruchów jest potrzebnych do przeniesienia caªej wie»y?
Uwaga. Powy»sza ªamigªówka zostaªa sformuªowana przez francuskiego matematyka Edouarda Lucasa w 1883 roku. Za Matematyk¡ konkretn¡:
Lucas ubarwiª swoje zadanie legend¡ o znacznie wy»szej Wie»y Brahmy, która miaªa mie¢ 64 kr¡»ki z czystego zªota spoczywaj¡ce na 3 diamentowych igªach. U zarania czasu Bóg umie±ciª te zªote kr¡»ki na pierwszej z igieª i poleciª grupie mnichów, aby przeªo»yli je na igª¦ trzeci¡ zgodnie z podanymi reguªami. Mnisi pracuj¡ bez wytchnienia dzie« i noc. Kiedy sko«cz¡, wie»a rozsypie si¦ i nast¡pi koniec ±wiata.
Miªo±nicy Beskidu S¡deckiego z pewno±ci¡ zetkn¦li si¦ z t¡ ªamigªówk¡ w Schronisku na Niemco- wej, gdzie znajduj¡ si¦ drewniane wie»e z Hanoi z siedmioma pi¦trami (do nabycia u bazowego!).
Rozwi¡zanie. W pewnym momencie trzeba przesun¡¢ najwi¦kszy kr¡»ek wówczas caªa wie»a bez najwi¦kszego kr¡»ka musi spoczywa¢ na trzecim, niewykorzystywanym pr¦cie. St¡d ªatwo wywnioskowa¢, »e optymalnym rozwi¡zaniem jest
• przeniesienie caªej wie»y bez najwi¦kszego kr¡»ka na ±rodkowy pr¦t;
• przeniesienie najwi¦kszego kr¡»ka na prawy pr¦t;
• przeniesienie wie»y ze ±rodkowego pr¦ta na prawy.
W ten sposób zredukowali±my zadanie do przeniesienia wie»y o jeden poziom mniejszej.
Wygl¡da wi¦c na to, »e wygodnie jest utrudni¢ rozwa»ane zadanie: niech na lewym pr¦cie spoczywa nie 8, a n kr¡»ków. Oznaczmy najmniejsz¡ mo»liw¡ liczb¦ ruchów przez hn. Zgodnie z powy»sz¡ strategi¡, hn+1 = hn+ 1 + hn = 2hn+ 1 i oczywi±cie h1 = 1. St¡d h2 = 3, h3 = 7 itd.; ªatwo policzy¢, »e h8 = 255. A co z indukcj¡?
Po chwili namysªu mo»na zgadywa¢, »e hn= 2n− 1. Jak to udowodni¢? Indukcyjnie:
• h1 = 1 = 21− 1, wi¦c twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1;
• je±li hn= 2n− 1, to
hn+1 = 2hn+ 1 = 2 (2n− 1) + 1 = 2n+1− 1.
Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla ka»dego n ≥ 1.
W szczególno±ci z powy»szego rozumowania wynika, »e mnisi z Brahmy b¦d¡ musieli wyko- na¢ a» 264− 1 = 18 446 744 073 709 551 615 ruchów.
Przykªad 3. Dla dowolnego n ≥ 1 zachodzi
12+ 22+ 32+ ... + n2 = n (n + 1) (2n + 1)
6 .
Dowód. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1, bowiem 12 = 1 · 2 · 3
6 .
Zaªó»my, »e twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego n. Wówczas 12+ 22+ 32+ ... + n2+ (n + 1)2 = n (n + 1) (2n + 1)
6 + (n + 1)2
= n + 1
6 n (2n + 1) + 6(n + 1)
= n + 1
6 (2n2+ 7n + 6)
= (n + 1) (n + 2) (2n + 3)
6 ,
czyli twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n + 1. To ko«czy dowód na mocy zasady indukcji matematycznej.
Przykªad 4 (wzór dwumianowy Newtona). Niech a, b b¦d¡ liczbami rzeczywistymi. Wiadomo,
»e
(a + b)2 = a2+ 2 a b + b2,
(a + b)3 = a3+ 3 a2b + 3 a b2+ b3,
(a + b)4 = a4+ 4 a3b + 6 a2b2+ 4 a b3+ b4, ...
Mo»na zatem przypuszcza¢, »e (a + b)n =n
0
an+n 1
an−1b +n 2
an−2b2+n 3
an−3b3 + ... +
n n − 1
a bn−1+n n
bn, gdzie nk
s¡ odpowiednimi wspóªczynnikami. Okazuje si¦, »e tak jest w istocie i ponadto
n k
= n!
k! (n − k)!, 0 ≤ k ≤ n.
Przypominamy, »e 0! = 1 oraz (n + 1)! = (n + 1) · n! dla n ≥ 0.
Dowód. Dla n = 0 twierdzenie jest prawdziwe, bowiem (a + b)0 = 1 = 0
0
a0b0,
cho¢ mo»na mie¢ w¡tpliwo±ci, co je±li a = 0, b = 0 lub a + b = 0. Zacznijmy wi¦c od n = 1:
(a + b)1 =1 0
a +1 1
b.
Zaªó»my, »e wzór dwumianowy Newtona zachodzi dla pewnego n. Wówczas:
(a + b)n+1= (a + b) n0an+ n1an−1b + n2an−2b2+ n3an−3b3+ ... + nnbn
= n0an+1+ n1anb + n2an−1b2+ n3an−2b3+ ... + nna bn+
+ n0anb + n1an−1b2+ n2an−2b3+ ... + n−1n a bn+ nnbn+1
= n0an+1+ n0 + n1 anb + n1 + n2 an−1b2+ ... + n−1n + nn a bn+ nnbn+1. Wystarczy teraz sprawdzi¢, »e:
n 0
= 1 =n + 1 0
, n
n
= 1 =n + 1 n + 1
, oraz
n k − 1
+n
k
=n + 1 k
, 1 ≤ k ≤ n, (1)
i teza wynika z zasady indukcji matematycznej.
Uwaga. Krócej wzór dwumianowy mo»na zapisa¢ nast¦puj¡co:
(a + b)n=
n
X
k=0
n k
an−kbk, o ile zgodzimy si¦ wyj¡tkowo przyj¡¢, »e 00 = 1.
wiczenie 1. Zapisa¢ dowód wzoru dwumianowego korzystaj¡c z notacji P.
wiczenie 2. Uzasadni¢ wzór (1).
wiczenie 3. Wywnioskowa¢ ze wzoru dwumianowego, »e:
n 0
+n
1
+n
2
+ ... +n n
= 2n;
n 0
−n 1
+n
2
−n 3
+ ... + (−1)nn n
= 0;
Przykªad 5. Dla dowolnego n ≥ 1, ostatnia cyfra zapisu dziesi¦tnego liczby 15n+ (−9)n to 6.
Dowód. Dla n = 1 rozwa»ana liczba to 6, ok. Zaªó»my, »e 15n + (−9)n ko«czy si¦ szóstk¡.
Wyliczamy:
15n+1+ (−9)n+1= 15 · 15n− 9 · (−9)n
= (15n+ (−9)n) + 14 · 15n− 10 · (−9)n
= (15n+ (−9)n) + 210 · 15n−1− 10 · (−9)n,
a wi¦c liczba 15n+1+ (−9)n+1 ma t¦ sam¡ ostatni¡ cyfr¦, co 15n+ (−9)n. Teza wynika z zasady indukcji matematycznej.
2 Liczby rzeczywiste
Liczby naturalne (caªkowite dodatnie, ozn. N), caªkowite (ozn. Z) i wymierne (ozn. Q) s¡
stosunkowo proste w opisie i do±¢ ªatwo je skonstruowa¢ (b¦dzie to by¢ mo»e zrobione na kursie Logika i struktury formalne). Zakªadamy, »e czytelnik zna podstawowe fakty z teorii liczb.
Liczby rzeczywiste (ozn. R) to du»o bardziej skomplikowany zbiór. Zwykle wyobra»a si¦, »e R to o± liczbowa z zaznaczonymi punktami 0 i 1. Jest to bardzo dobra intuicja, ale na formaln¡
de nicj¦ si¦ nie nadaje. S¡ dwa podej±cia: konstruktywne (np. konstrukcja Dedekinda) i aksjomatyczne (np. to przedstawione poni»ej).
Zanim omówimy podstawowe wªasno±ci liczb rzeczywistych, podkre±lmy, »e ich formalnie poprawna konstrukcja powstaªa dopiero w XX w., natomiast poprawnie posªugiwano si¦ tym poj¦ciem co najmniej kilkadziesi¡t lat wcze±niej. Wniosek: dobre intuicje s¡ w matematyce co najmniej równie wa»ne, co formalne dowody.
Przede wszystkim w zbiorze liczb rzeczywistych mo»na wykonywa¢ dodawanie. W zbiorze R jest wyró»niona liczba 0. Dodawanie ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:
dla wszystkich a, b, c : (a + b) + c = a + (b + c) (ª¡czno±¢), (2) dla wszystkich a, b : a + b = b + a (przemienno±¢), (3)
dla wszystkich a : a + 0 = a, (4)
dla ka»dego a istnieje b takie, »e : a + b = 0. (5)
W zbiorze liczb rzeczywistych mo»na równie» mno»y¢. Wyró»niona jest liczba 1, ró»na od 0.
Mno»enie ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:
dla wszystkich a, b, c : (a · b) · c = a · (b · c) (ª¡czno±¢), (6) dla wszystkich a, b : a · b = b · a (przemienno±¢), (7)
dla wszystkich a : a · 1 = a, (8)
dla ka»dego a 6= 0 istnieje b takie, »e : a · b = 1. (9) Zachodzi prawo rozdzielno±ci:
dla wszystkich a, b, c : (a + b) · c = a · c + b · c. (10) Ponadto liczby rzeczywiste uporz¡dkowane s¡ przez relacj¦ bycia mniejszym, która ma nast¦- puj¡ce wªasno±ci:
dla wszystkich a, b : a = b lub a < b lub b < a, (11) dla wszystkich a, b : je±li a < b, to nieprawda, »e b < a, (12) dla wszystkich a, b, c : je±li a < b oraz b < c, to a < c, (13) dla wszystkich a, b, c : je±li a < b, to a + c < b + c, (14) dla wszystkich a, b, c : je±li a < b oraz 0 < c, to a · c < b · c. (15)
Wreszcie ostatnia wªasno±¢, nazywana zasad¡ ci¡gªo±ci
ka»dy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny;
ka»dy niepusty i ograniczony z doªu zbiór liczb rzeczywistych ma kres dolny. (16) Wyja±nienie: zbiór A nazywamy ograniczonym z góry, je±li istnieje liczba m taka, »e a ≤ m dla wszystkich a ∈ A; liczb¦ m nazywamy ograniczeniem górnym. Kres górny zbioru A to najmniejsze z ogranicze« górnych (o ile najmniejsza taka liczba istnieje). Analogicznie okre±la si¦ poj¦cie zbioru ograniczonego z doªu i kresu dolnego. Zbiór nazywamy ograniczonym, je±li jest ograniczony z doªu i z góry.
Kres górny zbioru A oznaczamy przez sup A, a kres dolny przez inf A. Gdy A jest nieogra- niczony z góry, to zapisujemy to w postaci sup A = ∞; analogicznie gdy A jest nieograniczony z doªu, to piszemy inf A = −∞. Podkre±lmy, »e ∞ oraz (−∞) nie s¡ liczbami.
Uwaga. Kres górny to co innego ni» element najwi¦kszy! Kresem górnym zbioru {x : x < 0}
jest 0, cho¢ nie ma on elementu najwi¦kszego.
Przypomnijmy, »e je±li a < b lub a = b, to piszemy a ≤ b. Je±li b < a, to piszemy a > b;
analogicznie je±li b ≤ a, to piszemy a ≥ b. T¦ liczb¦ b, dla której a + b = 0, oznaczamy (−a). Odejmowanie de niujemy poprzez a − b = a + (−b). Analogicznie gdy a 6= 0, to t¦
liczb¦ b, dla której a · b = 1, oznaczamy a−1, za± dzielenie de niujemy wzorem a/b = a · b−1. Dla a ∈ R i n ∈ N oznaczamy przez an iloczyn n liczb a, tj. a1 = a oraz an+1 = a · an. Ponadto oznaczamy a−n = (a−1)n = (an)−1. Je±li a 6= 0, to przyjmujemy a0 = 1. Nie nadajemy znaczenia symbolowi 00.
Zbiór z dziaªaniami speªniaj¡cymi (2)(10) nazywamy ciaªem liczbowym. Je±li speªnione s¡ warunki (2)(15), to mamy do czynienia z uporz¡dkowanym ciaªem liczbowym. Przykªadem uporz¡dkowanego ciaªa liczbowego jest zbiór liczb wymiernych; nie speªnia on jednak warunku (16). Uporz¡dkowane ciaªo liczbowe speªniaj¡ce zasad¦ ci¡gªo±ci musi by¢ identyczne ze zbiorem liczb rzeczywistych. Bardzo istotne w dowodzie tego faktu jest nast¦puj¡ce, z pozoru banalne twierdzenie.
Twierdzenie (o g¦sto±ci liczb wymiernych). Niech A b¦dzie zbiorem dodatnich liczb wymiernych. Wówczas inf A = 0.
Dowód. Niech a = inf A. Oczywi±cie a ≥ 0, wi¦c a+a ≥ a. Ponadto dla ka»dej liczby wymiernej q > 0 zachodzi a ≤ q2, a wi¦c a + a ≤ q. St¡d wynika, »e a + a ≤ sup A = a. Ostatecznie a + a = a, sk¡d a = 0.
Przykªad 6. Zasada ci¡gªo±ci pozwala udowodni¢, »e istnieje pierwiastek z dwóch, tj. taka liczba a > 0, »e a · a = 2.
Dowód. Wystarczy okre±li¢
a = sup {b : b · b ≤ 2 oraz b > 0} .
Dla dowolnej liczby wymiernej q > 0 istnieje liczba wymierna r > 0 taka, »e 2 − q ≤ r · r ≤ 2 (jak j¡ znale¹¢?).
Wobec de nicji a, zachodzi a ≥ r, sk¡d a · a ≥ r · r ≥ 2 − q, czyli 2 − a · a ≤ q. Z twierdzenia o g¦sto±ci liczb wymiernych wynika wi¦c, »e 2 − a · a ≤ 0.
Z drugiej strony dla dowolnej liczby wymiernej q > 0 istnieje liczba wymierna r > 0 taka, »e 2 ≤ r·r ≤ 2+q.
Je±li teraz b · b ≤ 2 i b > 0, to b · b ≤ r · r, sk¡d b ≤ r. Wynika st¡d, »e r jest ograniczeniem górnym zbioru, którego supremum wynosi a, czyli a ≤ r. St¡d a · a ≤ r · r ≤ 2 + q, czyli a − 2 ≤ q. Z twierdzenia o g¦sto±ci liczb wymiernych wynika, »e a − 2 ≤ 0.
Ostatecznie stwierdzamy, »e 0 ≤ a − 2 ≤ 0, czyli a = 2.
Analogicznie mo»na okre±li¢ pot¦gowanie dodatnich liczb rzeczywistych. Wygodniej b¦dzie jednak wprowa- dzi¢ inn¡ de nicj¦ znacznie pó¹niej, w rozdziale o szeregach.
Jak wiadomo, √
2 nie jest liczb¡ wymiern¡. Istotnie, gdyby byªo, to mieliby±my √ 2 = mn dla pewnych m, n bez wspólnego czynnika pierwszego (tj. wzgl¦dnie pierwszych). Ale wtedy m2 = 2n2, czyli m jest podzielne przez 2, i wobec tego n2 = 2(m2)2, czyli n te» jest parzyste.
Sprzeczno±¢.
Przykªad 7. Wyznaczymy kres dolny zbioru A =m
n + n+mn : n, m ∈ N .
Zauwa»my, »e mn+n+mn ≥ n+mm +n+mn = 1, zatem A jest ograniczony z doªu i inf A ≥ 1. Ponadto je±li przyjmiemy n = k m, to otrzymamy
m
k m + m+k mk m = 1k+ 1+kk ≤ 1 + 1k.
Wobec tego inf A ≤ 1 + 1k dla ka»dego k ∈ N. St¡d inf A ≤ 1 i ostatecznie inf A = 1.
Uwaga. Ostatni krok rozumowania formalnie powinien wygl¡da¢ nast¦puj¡co. Dla dowolnej liczby wymiernej q > 0 istnieje k ∈ N taka, »e 1k < q. Ponadto A zawiera element nie wi¦kszy od 1 + 1k ≤ 1 + q. Wobec tego inf A ≤ 1 + q, czyli inf A − 1 ≤ q. Z twierdzenia o g¦sto±ci liczb wymiernych wynika, »e inf A − 1 ≤ 0.
Przykªad 8. Zachodzi 0, 99999... = 1.
Dowód. atwo zawua»y¢, »e 0, 99999... ≥ 1 − q dla ka»dej liczby wymiernej q > 0. St¡d, wobec twierdzenia o g¦sto±ci liczb pierwszych, 0, 99999... ≥ 1. Nierówno±¢ w drug¡ stron¦ jest oczywista.
Uwaga. cisªy sens nadamy symbolowi 0, 99999... pó¹niej, w rozdziale o szeregach.
Najwa»niejsz¡ nierówno±ci¡ jest x2 ≥ 0 (x ∈ R). Caªkiem elementarnie mo»na z niej wywnioskowa¢ wiele interesuj¡cych twierdze«.
Przykªad 9. Rozwa»my trójmian kwadratowy p x2+ q x + r (p > 0). Gdy q2 − 4 p r < 0 to , za± p x2+ q x + r > 0 dla wszystkich x. Gdy q2− 4 p r = 0, to p x2+ q x + r ≥ 0dla wszystkich x. Gdy q2− 4 p r > 0, to p x2+ q x + r przyjmuje zarówno dodatnie, jak ujemne warto±ci.
Dowód. Teza wynika wprost z równo±ci p x2+ q x + r = p
(x + 2pq )2−q2−4 p r4p oraz z najwa»- niejszej nierówno±ci.
Liczba q2− 4 p r nazywana jest wyró»nikiem trójmianu kwadratowego p x2+ q x + r. Przykªad 10 (nierówno±¢ Cauchy'ego-Schwarza-Buniakowskiego). Dla dowolnych liczb rze- czywistych a1, a2, a3, ..., an oraz y1, y2, y3, ..., yn zachodzi
(a1b1+ a2b2+ a3b3+ ... + anbn)2 ≤ (a21+ a22+ a23+ ... + a2n) (b12+ b22 + b23+ ... + b2n).
Dowód. Zachodzi:
0 ≤ (a1x − b1)2+ (a2x − b2)2+ (a3x − b3)2 + ... + (anx − bn)2
= (a21+ a22 + ... + a2n) x2+ 2(a1b1+ a2b2+ ... + anbn)x + (b21+ b22+ b23+ ... + b2n).
Oznacza to, »e wyró»nik trójmianu kwadratowego po prawej stronie jest niedodatni.
Wa»nymi pozdbiorami R s¡ przedziaªy. Je±li a < b, to oznaczamy:
(a, b) = {c : a < c < b} , [a, b] = {c : a ≤ c ≤ b} , [a, b) = {c : a ≤ c < b} , (a, b] = {c : a < c ≤ b} . Ponadto de niujemy przedziaªy nieograniczone:
(a, ∞) = {c : a < c} , [a, ∞) = {c : a ≤ c} , (−∞, b) = {c : c < b} , (−∞, b] = {c : c ≤ b} .
