STUDIA SOCJOLOGICZNE 2003. 1 (168) ISSN 0039-3371
Jacek Haman
U n iw e rsy tet W arszaw ski
STABILNOŚĆ I ZMIENNOŚĆ W PRZESTRZENNYCH MODELACH GŁOSOWANIA
Artykuł przedstawia podstaw owe modele przestrzennej teorii głosowania, zaczynając od jednowymiarowych modeli Blacka i Downsa oraz twierdzenia Blacha o medianowym wyborcy i je g o rozszerzeń. W dalszej części artykułu przedstawione są konsekwencje zwiększenia liczby wymiarów (twierdzenia
0 wielowymiarowych medianach i twierdzenie M cKelveya) oraz modele „kie
runkow e”, w których o preferencjach wyborców decyduje nie tylko odległość kandydata od „punktu idealnego” wyborcy, ale również położenie wyborcy 1 kandydata względem punktu „status q u o ”.
Główne pojęcia: przestrzenna teoria głosowania, modele jednowymiarowe, m odele w ielow ym iarowe, m odele odległościow e, m odele kieru nko w e
W prowadzenie
Problemy społecznego podejmowania decyzji
Od końca XVIII wieku znany jest nauce „paradoks Condorceta” : gdy jakaś zbiorowość dokonuje wyboru spośród trzech lub więcej alternatyw x, y, z, m oż
liwe jest, że większość wyborców przedkłada x nad y, większość przedkłada y nad z , ale jednocześnie większość przedkłada z nad λ; - i tym samym każda de
cyzja może być zakwestionowana przez niezadowoloną większość. Tym samym podstawowe kryterium podejmowania demokratycznych decyzji społecznych - reguła większości - może okazać się w pewnych sytuacjach całkowicie nieefek
tywna. Rezygnacja z reguły większości na rzecz innej metody głosowania, choć
Jacek Haman, Instytut Socjologii Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa, ul. Karowa 18; e-mail:
jh a m a n @ is . uw . e d u . pl
może rozwiązać problem cykliczności społecznej preferencji, nie uwalnia od in
nych paradoksów podejmowania decyzji społecznych. W 1951 roku K. Arrow (1951, 1963 - p o r . Kamiński 1994) udowodnił twierdzenie wykluczające istnie
nie jakiejkolw iek „funkcji społecznego dobrobytu”, która dla dowolnej konfi
guracji indywidualnych preferencji wyborców spełniałaby kryteria niezależno
ści od alternatyw niezwiązanych, pozytywnego związku wartości społecznych i indywidualnych, suwerenności obywatelskiej i niedyktatury.
Częściowym rozwiązaniem paradoksów Condorceta i Arrowa może być re
zygnacja z zasady „nieograniczonej dziedziny” . Niepożądane własności metod podejm owania społecznych decyzji ujaw niają się tylko przy niektórych konfi
guracjach preferencji wyborców i jeśli na bazie jakieś teorii możemy „parado
ksalne preferencje” wykluczyć, daną metodę można uznać za dobrą dla społecz
ności, w których preferencje indywidualne są z tą teorią zgodne. Taką teorią (a właściwie zespołem teorii) jest „przestrzenna teoria głosow ania”, zapocząt
kowana w latach pięćdziesiątych przez D. Blacka i A. Downsa, w której przyj
muje się, że tak alternatywy, jak i stanowiska wyborców można reprezentować jako punkty w przestrzeni („przestrzeni ideologii” albo „przestrzeni intere
sów”), a preferencje wyborców wobec alternatyw zależą od ich względnego w tej przestrzeni położenia.
W artykule przedstawię konsekwencje przyjęcia różnych wersji „założeń przestrzennych” dla własności decyzji społecznych podejm owanych zgodnie z regułą większości, w szczególności dla istnienia „cyklów większościowych”, a także stabilności lub zmienności decyzji podejmowanych wielokrotnie.
Podstawowe pojęcia
Zakładam, że czytelnik poniższego artykułu zna podstawowe pojęcia i sym
bolikę teorii wyboru społecznego1; tutaj ograniczę się jedynie do ich bardzo skrótowego przypomnienia.
Problem społecznej decyzji zakłada istnienie zbioru wyborców (decyden
tów) N ={1,..., /? } oraz zbioru alternatyw A={x, y,..., z}. Dla każdego z wybor
ców i określona jest jego relacja preferencji indywidualnej R na parach alterna
tyw. O relacji R. zakładamy że jest spójna, zwrotna i przechodnia; zapis xR. y in
terpretujemy jako „alternatywa x jest dla wyborcy i nie gorsza do alternatywy y ”. Relację R rozbija się na zwrotną, sym etryczną i przechodnią relację indyfe- rencji indywidualnej xLy („x jest dla i równie dobre jak y") oraz przeciwzwrot- ną, antysym etryczną i przechodnią relację mocnej preferencji xP y (, rx jest dla i lepsze o d y ”). Założenie o istnieniu racjonalnych preferencji indywidualnych można sformułować także jako założenie o istnieniu indywidualnych funkcji
1 Jeśli nie, m o że się z nim i zap o zn ać c h o ciaż b y w arty k u łac h L alrn an , Ś w ista k i O p p e n h eim er (1 9 9 4 ) lub L isso w sk i (2001).
S T A B IL N O Ś C I ZM IE N N O Ś Ć W PR ZES TR Z EN N Y C H M O D E L A C H G ŁO SO W A N IA 41
użyteczności u. (x), takich, że u. (x)> ufy)^xP y . W teorii wyboru społecznego z reguły operuje się na preferencjach indywidualnych, a nie na użytecznościach, niektóre modele łatwiej jednak sformułować w kategoriach użyteczności indy
widualnych, nawet, jeśli interesują nas jedynie preferencje (a więc wystarcza nam założenie o porządkowym, a nie interwałowym charakterze użyteczności).
Zestaw wszystkich preferencji indywidualnych wyborców należących do N określamy jako profil preferencji indywidualnych 9Ϊ.
Funkcją społecznej oceny (FSO) nazywamy funkcję, która profilowi prefe
rencji indywidualnych przypisuje relację preferencji społecznej R. Zapis xRy interpretujemy jako „x jest społecznie nie gorsze (w sensie danej FSO) od y ”;
społeczne relacje I oraz P definiujemy analogicznie jak w przypadku preferen
cji indywidualnych. Jeśli relacja R wyznaczana przez daną FSO jest spójna, zwrotna i przechodnia, to FSO jest „funkcją społecznego dobrobytu” . Jeśli rela
cja R jest nieprzechodnia, natomiast przechodnia jest relacja społecznej mocnej preferencji P, FSO określamy jako ąuasi-przechodnią, jeśli natom iast P nie jest przechodnia, nie ma jednak żadnego ciągu alternatyw x, y, z takiego, że xPy, yPz, zPx, to FSO określamy jako acykliczną. Jeśli FSO jest przynajmniej acy
kliczna, to dla każdego podzbioru alternatyw m ożna wyznaczyć najlepszą spo
łecznie - w sensie danej FSO - alternatywę; FSO takie nazywane są „funkcja
mi społecznej decyzji”.
Jeśli FSO określona jest na wszystkich możliwych profilach preferencji, to stwierdzamy, że ma ona nieograniczoną dziedzinę. Jeśli preferencje społeczne wyznaczane przez FSO nie zależą od nazw alternatyw, a jedynie od ich pozycji w preferencjach wyborców, to jest ona neutralna. Jeśli FSO jest niezależna od nazw wyborców (a więc wszyscy wyborcy traktowani są jednakow o), to jest ona anonimowa. Jeśli preferencja społeczna na parze alternatyw x i y zależy wy
łącznie od preferencji indywidualnych na tej parze alternatyw (a nie zależy od preferencji indywidualnych na innych alternatywach), to FSO spełnia kryterium niezależności od alternatyw niezwiązanych.
Rozpatrzm y profile preferencji 9Ϊ oraz 9Γ, różniący się od w yłącznie zm ianą z x l y na xP^y lub z y P x na xR^y (a więc w yłącznie na korzyść x) w preferencjach indyw idualnych niektórych osób. FSO je s t m onotoniczna, jeśli przy 9Γ zaw sze w yznacza nie gorszą dla x relację preferencji społecznej m iędzy x a y. FSO je s t m ocno m onotoniczna, jeśli dodatkow o, w sytuacji, gdy przy 9Ϊ w yznaczała preferencję społeczną xly, to dla 9Γ zaw sze w yzna
cza xPy.
„Regułą większości” nazywamy FSO, która dla każdej pary alternatyw x i y wyznacza preferencję społeczną xRv wtedy i tylko wtedy, gdy liczba w y
borców, którzy uw ażająx za nie gorsze od y , jest nie mniejsza niż liczba wybor
ców, którzy uw ażająy za nie gorsze od x. Alternatywę, która ze względu na re
gułę większości wygrywa z każdą inną alternatywą należącą do zbioru A, nazy
wamy „(mocnym) zwycięzcą Condorceta”; jeśli alternatywa nie przegrywa z żadną inną (co nie wyklucza jednak wyników remisowych), jest „słabym zw y
cięzcą Condorceta”.
Kenneth O. M ay sformułował twierdzenie (May 1952: 684), zgodnie z którym reguła większości jest jedyną FSO spełniającą warunki anonim owo
ści, neutralności, mocnej monotoniczności, nieograniczonej dziedziny i nieza
leżności od alternatyw niezwiązanych2. Reguła większości nie jest jednak prze
chodnia, ani nawet acykliczna, co ilustruje słynny „paradoks Condorceta” : gdy trzech wyborców ma preferencje xyz, yzx, zxy (tzn. pierwszy przedkłada x nad y nad z, drugi y nad z nad x, trzeci z nad x nad y), to zgodnie z regułą większo
ści x jest społecznie preferowany nad y , y jest preferowany nad z, ale z jest pre
ferowany nad x - w zbiorze {x, y, z) nie ma zwycięzcy Condorceta. W efekcie reguła większości może nie wyznaczać nawet słabego uporządkowania alterna
tyw, a co za tym idzie — nie zawsze pozwala na wskazanie alternatywy „spo
łecznie najlepszej”.
Reguła większości jest podstawowym narzędziem podejm owania dem okra
tycznych decyzji społecznych. Wynika to, z jednej strony, z unikatowych w ła
ściwości reguły większości określonych we wspominanych twierdzeniach M a
ya, odwołujących się do podstawowych kryteriów demokracji - równości (ano
nimowość), autonomii obywatelskiej (neutralność) i adekwatnej reprezentacji (monotoniczność). Z drugiej strony, jeśli decyzja społeczna byłaby niezgodna z regułą większości, to od początku istniałaby przeciwna jej większościowa opozycja, przedkładająca inne rozwiązanie, a to oznaczałoby trudności w reali
zacji podjętej decyzji, a jeśli wybór dotyczył osoby (np. prezydenta, burmistrza) - j e j pozycja od początku byłaby słaba. Paradoks Condorceta pokazuje, że sytu
acje takie m ogą być jednak nie do uniknięcia, stąd też istnieje potrzeba poszu
kiwania i stosowania innych niż reguła większości reguł decyzyjnych - chyba że w danej społeczności, w danej kwestii można a priori wykluczyć takie kom binacje preferencji indywidualnych, które prowadzą do zajścia paradoksu Con
dorceta.
Przestrzeń alternatyw jako ograniczenie dziedziny
R ozpatrzm y następujący problem decyzyjny. Dw udziestoosobow a rada pewnej gminy m a zadecydować o pom alowaniu elewacji ratusza, przy czym do w yboru są kolory biały (b), żółty (z) i czerwony (c). W takiej sytuacji m oż
liwe jest 13 różnych racjonalnych preferencji indywidualnych - np. bze (dana osoba woli biały od żółtego, a te dwa od czerwonego), bez (dana osoba woli
2 T w ierd z en ie to sta n o w i u o g ó ln ie n ie bard ziej z n an eg o „tw ie rd ze n ia M a y a ” , d o ty cz ąc e g o u n i
k a to w y ch w ła sn o śc i re g u ły w ię k sz o ści p rz y w y b o rz e sp o śró d d w ó ch alte rn aty w , p o c h o d zą ce g o z re s z tą z teg o sa m eg o artykułu.
S T A B IL N O Ś C I ZM IE N N O Ś Ć W PR ZESTR Z EN N Y C H M O D EL A C H G ŁO SO W A N IA 43
biały od czerwonego, a te dwa od żółtego), b-zc (osoba indyferentna pom iędzy białym i żółtym, ale przedkładająca je nad czerwony) itd. Gdyby wśród decy
dentów preferencje rozłożyły się tak, że 7 m iałoby preferencję bzc, 7 bez i 6 cbz, zw ycięzcą Condorceta byłaby decyzja o pom alowaniu ratusza na biało.
Gdyby jednak zdarzył się rozkład preferencji 7 bzc, 7 zeb, 6 cbz, m ielibyśm y do czynienia z paradoksem Condorceta, a reguła większości nie pozwoliłaby na podjęcie decyzji.
Z ałóżm y jed nak, że jedynym kryterium oceny koloru elew acji, stosow a
nym przez radnych je s t to, czy je s t ona jasn a, czy ciem na. W takiej sytuacji zw olennicy elew acji jasnej m ieliby p referencję bzc, ciem nej - czb, „um iar
kow ani” m ogliby mieć preferencję np. zbc, zeb lub inne, jednakże nie b y ło by osób o preferencjach takich, ja k np. bez lub cbz (gdyż osoba, która n a j
m ocniej preferuje elew ację najjaśniejszą, nie pow inna na drugim m iejscu staw iać elew acji najciem niejszej, ani na odwrót). Tak więc przyjęte zało że
nie - hipoteza o kryterium oceny koloru elew acji - m ożem y traktow ać jako teorię odgraniczającą dziedzinę społecznego w yboru poprzez w ykluczenie a p r io ri pew nych preferencji społecznych (czytelnikow i pozostaw iam ścisłe określenie, które z 13 m ożliw ych preferencji zostają w ten sposób w y elim i
now ane).
Przyjm ując pow yższą hipotezę o kryterium oceny koloru elew acji, zbiór m ożliw ych kolorów m ożem y potraktow ać jak o zbiór punktów na osi lic z b o wej określającej w ym iar „jasny-ciem ny” . K ażda m ożliw a decyzja rep rezen tow ana je s t jak o inny punkt (lub liczba); także stanow iska radnych m ożem y traktow ać jak o punkty na tej osi. Przedstaw iony wyżej przykład je s t zatem przykładem „jednow ym iarow ego problem u decyzyjnego” . Innym i p rzy k ła
dami takich problem ów decyzyjnych m ogą być decyzje o w ielkości budżetu na jak iś cel (np. zbrojenia) - stanow iska decydentów m ożna w tedy rep re
zentow ać poprzez w ielkość kwoty, k tó rą uw ażają oni za optym alną, a p o szczególne projekty budżetu poprzez w ielkość zakładanych przez nie w y datków. Podobnie ja k w pierw szym przykładzie, zakładam y, że np. decy
dent, który przedkłada budżet 1000S nad 1100$ będzie także przedkładał obie te propozycje nad 2000$, a w ięc w ykluczam y a p rio ri pew ne p referen cje indyw idualne.
O „w ielow ym iarow ych problem ach decyzyjnych” będziem y m ów ili, gdy alternatyw y oceniane są ze w zględu na więcej niż jedn o kryterium (np. k o lory ze w zględu na jasność i nasycenia, budżet - ze w zględu na w ydatki na zbrojenia oraz na rolnictw o). W takiej sytuacji alternatyw y oraz stanow iska decydentów reprezentow ane są jak o punkty w przestrzeni w ielow ym iarow ej bądź też jak o w ektory w spółrzędnych tych punktów (punkt reprezentujący stanow isko decydenta nazyw any je s t jeg o „punktem idealnym ”). P referen cje indyw idualne decydentów zależą jedynie od w zględnego położenia p o
szczególnych alternatyw w zględem ich punktu idealnego (w om aw ianych w tym artykule dalej „m odelach kierunkow ych” także od położenia w yróż
nionego punktu status quo). W najprostszych m odelach preferencje te za
leżą w yłącznie od odległości poszczególnych alternatyw od punktu id ealne
go - im alternatyw a „leży” bliżej punktu idealnego decydenta, tym wyżej znajduje się w jeg o preferencji indyw idualnej. M odele jed n o - i w ielow ym ia
rowe w ykluczają a p rio ri pew ne kom binacje preferencji indyw idualnych (np. w przypadku m odeli dw uw ym iarow ych dopuszczalne są w praw dzie d o
w olne uporządkow ania trójek alternatyw, ale ju ż nie w szystkie uporządko w ania czw órek).
A nalizą sytuacji decyzyjnych przy zbiorach alternatyw opisanych jako punk
ty w przestrzeni «-wymiarowej (n = l, 2, 3... ) zajmuje się część teorii wyboru społecznego i publicznego znana jako „przestrzenna teoria głosow ania”. Jej po
czątki wiąże się z pracami An economic theory o f democracy A. Downsa (1957) oraz The theory o f committees and elections D. Blacka (1958), a wcześniej je szcze z pracami Hotellinga (1929) dotyczącymi przestrzennego rozmieszczenia firm. O ile jednak w pracach Hotellinga „położenie w przestrzeni” oznaczało przede wszystkim (choć nie wyłącznie) położenie geograficzne - lokalizację firmy (np. sklepu) względem lokalizacji (miejsc zamieszkania) jej potencjal
nych klientów, o tyle w downsowsko-blackowskich modelach decyzji politycz
nych jest to raczej abstrakcyjna przestrzeń interesów lub przestrzeń ideologicz
na - wyznaczana przez wymiary takie jak lew ica-praw ica, liberalizm ekono
miczny - socjalizm itp. Przestrzeń tę może wyznaczać także stosunek do kon
kretnych kw estii szczegółow ych, jeśli ich charakter um ożliw ia rozpatryw anie rozw iązań różniących się jedynie „natężeniem ” jakiegoś działania: ilością pieniędzy, jakie chcemy przeznaczyć na określony cel, radykalizm em lub ła godnością środków, jakie chcem y przeciw staw ić czyimś bezpraw nym działa
niom itp.
W ramach przestrzennej teorii głosowania dwie kwestie budziły największe zainteresowanie badaczy - czy wynikające z niej ograniczenia dziedziny w y
starczają dla efektywnego podejm owania decyzji za pom ocą reguły większości, a także, jakie własności będą miały - przy różnych modelach przestrzennych - decyzje podejm owane bądź za pom ocą reguły większości, bądź też innych pro
cedur decyzyjnych.
Reguła większości w przestrzeni jednowymiarowej:
twierdzenie Blacka i jego uogólnienia
W swojej teorii decyzji i głosowań komitetowych Black rozważał klasę pro
blemów decyzyjnych spełniających następujące warunki:
S T A B IL N O Ś C I Z M IE N N O Ś Ć W PR Z E S T R Z E N N Y C H M O D EL A C H G ŁO SO W A N IA 45
1. Przestrzeń alternatyw ma charakter jednowymiarowy, przy czym każda alter
natywa zajmuje osobny punkt w przestrzeni.
2. Każdy z wyborców (członków komitetu) m a swój punkt idealny - taką pozy
cję w przestrzeni alternatyw, którą uważa za najlepsze możliwe rozwiązanie rozważanej kwestii (punkty idealne różnych wyborców m ogą się pokrywać).
3. Wyborcy m ają unimodalne preferencje {funkcje użyteczności): najbardziej preferow aną alternatywą jest punkt idealny danego wyborcy, jeśli zaś dwie alternatywy znajdują się po tej samej stronie punktu idealnego, to za lepszą z nich (m ającą w iększą użyteczność) uznaje tę, która leży bliżej.
Rysunek 1. Preferencje unimodalne i nieunimodalne
W y b o r c y 1 i 2 m a j ą p r e f e r e n c j e u n i m o d a ln e ( u n i m o d a l n e f u n k c je u ż y te c z n o ś c i ) , n a t o m ia s t p r e f e r e n c j e W y b o r c ó w 3 i 4 n ie s ą u n im o d a ln e .
Poniew aż wyborców (podobnie jak alternatywy) m ożna uporządkow ać ze względu na położenie ich punktów idealnych w przestrzeni alternatyw, co naj
mniej jed en z nich, nazywany „w yborcą m cdianow ym ”, w uporządkow aniu zajm uje pozycję środkową, a zatem, jeśli przedstaw im y przestrzeń alternatyw jako poziom ą linię, zarówno po lewej, jak i po prawej stronie jego punktu ide
alnego znajdują się punkty idealne nie więcej niż połowy wyborców. Jeśli liczba wyborców n je st nieparzysta, jest dokładnie jedna pozycja w przestrze
ni, w której m oże znajdow ać się punkt idealny „medianowego w yborcy”
(MV), odpow iadający punktowi idealnem u w yborcy zajm ującem u w uporząd
kowaniu pozycję (n /2 )+ l. Jeśli liczba wyborców jest parzysta, to m edianą punktów idealnych m oże być dowolny punkt przestrzeni alternatyw pom iędzy punktam i idealnym i wyborców n! 2 i (n/2 )+ l.
Rysunek 2. M ediana punktów idealnych - parzysta lub nieparzysta liczba wy
borców
a ) 1 2 3 4 5
b ) 1 2 3 5
W s y tu a c ji p r z e d s t a w i o n e j n a r y s u n k u a ) p u n k t W y b o r c y 3 j e d n o z n a c z n ie o k r e ś l a m e d i a n ą p u n k t ó w i d e a l n y c h - z a te m W y b o r c a 3 j e s t w y b o r c ą m e d ia n o w y m . J e ś li j e d n a k z e s k ł a d u k o m it e tu w y ł ą c z y m y W y b o r c ą 4 ( r y s u n e k b ) , m e d i a n a p u n k t ó w id e a ln y c h p r z e s ta je b y ć j e d n o z n a c z n i e o k r e ś l o n a - a ś c iś le j, d o w o ln y p u n k t z o d c in k a o d p u n k t u i d e a l n e g o 2 d o p u n k t u i d e a l n e g o 3 d z ie li w y b o r c ó w n a d w ie r ó w n e g ru p y .
Tw i e r d z e n i e Bl a c k a (t w i e r d z e n i e o m e d i a n o w y m w y b o r c y) (por. Black 1958: 16). Jeśli spełnione są warunki 1-3, a liczba wyborców jest nieparzysta, alternatywa leżąca w punkcie idealnym medianowego wyborcy jest mocnym zwycięzcą Condorceta.
Do w ó d twierdzenia o medianowym wyborcy jest intuicyjnie bardzo prosty:
Jeśli alternatywę leżącą w punkcie MV (punkcie idealnym medianowego w y
borcy) porównuje się z dow olną inną alternatywą, to uzyska ona głosy m edia
nowego wyborcy oraz wszystkich wyborców, których punkty idealne leżą po przeciwnej - względem położenia alternatywy konkurencyjnej - stronie MV.
Zgodnie z definicją mediany, jeśli liczba wyborców jest nieparzysta, to wybor
ca m edianowy i wszyscy wyborcy o punktach idealnych leżących po jednej je go stronie stanow ią łącznie ponad połowę ogółu wyborców. Jeśli liczba wybor
ców jest parzysta, a mediana ich punktów idealnych nie jest wyznaczona jedn o
znacznie, to alternatywa leżąca w punkcie mogącym być m edianą wyborców zawsze, przy porównaniu z dowolną inną alternatywą, uzyska głosy co najmniej
S T A B IL N O Ś C I ZM IE N N O Ś Ć W PR Z E S T R Z E N N Y C H M O D E L A C H G LO SO W A N IA 47
połowy wyborców (mianowicie tych o punktach idealnych leżących po jej prze
ciwnej — wzglądem alternatywy konkurencyjnej - stronie); jeśli jednak alterna
tywa ta nie uzyska żadnego głosu wiącej, to głosowanie zakończy się remisem.
Tw i e r d z e n i e o q u a s i-p r z e c h o d n i o ś c i3 r e g u ł y w i ę k s z o ś c i w j e d n o w y m i a r o w e j p r z e s t r z e n i a l t e r n a t y w (por. Black 1958: 19). Jeśli spełnione są w a
runki 1-3, to (niezależnie od parzystości lub nieparzystości liczby głosujących) reguła większości wyznacza quasi-przechodnią relację preferencji społecznej (a więc wyznacza przechodnią relacją mocnej preferencji społecznej oraz za
wsze istnieją takie alternatywy, które nie przegrywają w głosowaniu w iększo
ściowym z żadną inną alternatywą).
Dowód powyższego twierdzenia można znaleźć np. w: Haman (2003).
Z twierdzenia o ąuasi-przechodniości reguły większości w przestrzeni je d nowymiarowej wynika, że, jeśli problem decyzyjny daje się sprowadzić do je d nego wymiaru, to zawsze istnieje co najmniej słaby zwycięzca Condorceta (tzn.
alternatywa, która nie przegrywa w głosowaniu większościowym z żadną inną alternatywą), a reguła większości wyznacza przechodnią (a w najgorszym razie quasi-przechodnią) preferencją społeczną. Z kolei z twierdzenia o medianowym wyborcy wynika, że jeśli w zbiorze alternatyw obecna jest alternatywa leżąca w punkcie idealnym wyborcy medianowego - a więc wyborcy o „wzorcowo centrowych”, um iarkowanych poglądach - to właśnie ona jest zwycięzcą Con
dorceta4. W efekcie zastosowanie reguły większości - w warunkach zgodnych z założeniami twierdzenia - nie tylko pozwala jednoznacznie wyznaczyć decy
zję społeczną, ale, w dodatku, jest to decyzja kompromisowa, odrzucająca roz
wiązania skrajne i zapewne mająca największe szanse na uzyskanie rzeczyw i
ście powszechnej akceptacji - wbrew temu, co zarzucają przeciwnicy rozw ią
zań większościowych twierdząc, że prowadzą one do podziału na zwycięską większość i dyskryminowaną, przegrywającą mniejszość.
Twierdzenia Blacka były historycznie pierwszymi twierdzeniami „prze
strzennej teorii głosowania”. W porównaniu z innymi twierdzeniami tej teorii, które będę sukcesywnie przedstawiał dalej, przyjm ują one bardzo łagodne „za
łożenia przestrzenne” : wym agają jedynie możliwości uporządkowania altema-
3 T akie sfo rm u ło w a n ie tw ierd z en ia je s t p e w n y m a n ac h ro n iz m em - B lac k term in u „q u asi- p rz ec h o d n io ś ć ” je s z c z e n ie u ż y w ał, sam o tw ierd zen ie je d n a k z o stało - c h o ć w n ieco in n y m ję z y k u - sfo rm u ło w a n e p rz ez B lack a.
4 Jeśli w z b io rz e a lte rn a ty w nie m a a lte rn a ty w y p o k ry w ającej się z p u n k tem id ealn y m m ed ia n o w e g o w y b o rcy , tw ierd z e n ia B lac k a sto so w ać b e zp o śre d n io nie m o żn a. Jeśli je d n a k zało że n ie o u n im o d a ln o śc i p re fe re n cji u z u p ełn ić o w y m ó g ich sy m e try c zn o ści (tzn ., b y w y b o rc a p rz ed k ła da! a lte rn a ty w ę b liż s z ą je g o p u n k to w i id ealn em u o d a lte rn a ty w y dalszej tak że w ted y , g d y leż ą one po ró ż n y ch stro n ach je g o p u n k tu id ealn eg o ), to m o żn a w y k azać, że a lte rn a ty w a leżąca n a jb li
żej p u n k tu id ea ln eg o m ed ia n o w eg o w y b o rc y b ęd zie co n ajm n iej słab y m z w y c ię z c ą C o n d o rceta (por. H am an 2003).
tyw i punktów idealnych wyborców na jednym wymiarze, natom iast nie odwo
łują się do takich pojęć jak np. odległości - inaczej rzecz ujmując, w ym agają j e dynie porządkowego, a nie interwałowego pomiaru położenia alternatywy (punktu idealnego) - choć z reguły w teorii przestrzennej przyjm uje się, że współrzędne określone są na skali interwałowej, a preferencje indywidualne są nie tylko unimodalne, ale także symetryczne (w sensie podanym w przypisie 4).
Reguła większości w przestrzeni wielowymiarowej
W wielu sytuacjach problemu decyzyjnego nic można sprowadzić do jedne
go wymiaru. Na przykład, w wielu państwach partie polityczne (a więc i kandy
daci w wyborach) nie różnicują się według jednego wym iaru typu lew ica-pra- wica, lecz według kilku, względnie niezależnych (wymiar stosunku do gospo
darki, wym iar stosunku do „tradycyjnych wartości” itp.; analizę liczby i typów wymiarów sporu politycznego we współczesnych demokracjach przedstawia Lijphart [1984: 127-149]). Również pojedyncze decyzje polityczne m ogą być oceniane jednocześnie na kilku wymiarach, a w sytuacjach, gdy kwestie doty
czące różnych wymiarów sporu politycznego rozstrzygane są oddzielnie, decy
denci m ogą wchodzić ze sobą w nieformalne układy (tzw. vote trading), skutku
jące traktowaniem kilku różnych kwestii łącznie.
R ozpatrzm y sytuację, w której parlam ent decyduje jednocześnie o budżecie dla armii i o budżecie dla agencji rozw oju rolnictwa (nawet, jeśli propozycje dotyczące rozwiązań obu tych kwestii formalnie będą głosowane osobno, to przedm iotem m iędzypartyjnych ustaleń może być „pakiet” zawierający okre
ślone decyzje w obu kwestiach; pakiet, który będzie potem m usiał uzyskać większość w głosowaniu parlamentarnym ). Poszczególne alternatywy możemy w tym wypadku przedstawić jako wektory dwóch liczb (wielkość wydatków na oba cele), bądź też jako punkty na płaszczyźnie; analogicznie m ożem y przed
stawić punkty idealne wyborców. Formalnie, z problem em podejm owania de
cyzji w «-wymiarowej przestrzeni alternatyw (w podanym przykładzie n=2) m am y do czynienia, gdy istnieje funkcja / : ( A u N ) - > f " , a użyteczności wy
borców (i co za tym idzie ich preferencje indywidualne) zależą w określony sposób od położenia alternatyw względem punktu idealnego wyborcy. Tutaj zajm iem y się najprostszą klasą m odeli przestrzennych, w której przyjm uje się, że alternatywa x ma dla wyborcy i w iększą użyteczność niż y, jeśli leży bliżej jego punktu idealnego. Dla wygody (a także zgodności z modelami prezento
wanymi dalej) przyjmijmy, że użyteczność indywidualna alternatywy je s t rów na kwadratowi jej odległości od punktu idealnego danego wyborcy przem no
żonej przez -1 (równie dobrze m ogłaby być to odległość przem nożona przez -1 lub, generalnie, jakakolw iek m alejąca funkcja odległości). Dla przestrzeni
S T A B IL N O Ś C I Z M IE N N O Ś Ć W PR Z E S T R Z E N N Y C H M O D E L A C H G LO SO W A N IA 49
«-wymiarowej odległość tę dla dowolnej alternatywy x i dowolnego wyborcy i m ożna zapisać jako
gdzie i y i n oznaczają współrzędne punktu idealnego wyborcy i na kolejnych wymiarach, i analogicznie x r .. x ; oznaczają współrzędne na kolejnych w ym ia
rach alternatywy x. Tak więc, zgodnie z przyjętymi wcześniej założeniami, u. (x)=-d2(x, i), a zatem x P y = d(x, i)<d(y, i). Aby nie komplikować zapisów, w dalszym ciągu tekstu będę się z reguły odwoływał do przestrzeni dwuwymia
rowej - wtedy wzór na d(x, i) przyjm uje znaną z twierdzenia Pitagorasa postać.
d (x, i) = (/j - x, )2 + (z2 - x2)2
Dla uproszczenia notacji przyjm ę zapisy utożsamiające alternatywy oraz w y
borców z wektorami (punktami) przypisywanymi przez f u n k c ję / tak więc za
pis i—{iy i2) x -(x ,, Xo) będzie oznaczał odpowiednio, że j(i)= (i]t i2) lub f[x)= (xyx 2). Tym samym traktujemy zbiór A jako p o d z b ió r# ". Zasadniczo rela
cja preferencji określana jest jedynie na tych punktach M a, które należą do A, ponieważ jednak odległości możemy liczyć dla dowolnych punktów, będziemy również m ówić o tym, że punkty z jakiegoś podzbioru są przedkładane (indyw i
dualnie, społecznie) nad jakieś inne punkty - w tym znaczeniu, że gdyby punk
ty te reprezentowały alternatywy należące do A, tak właśnie określone byłyby między nimi preferencje.
Jeżeli na kartezjański układ współrzędnych naniesiemy punkt idealny w y
borcy i oraz alternatywę x, to dla wszystkich alternatyw y leżących na okręgu o środku w punkcie idealnym i, przechodzącym przez x będzie zachodziło y lx , dla wszystkich alternatyw w leżących wewnątrz tego okręgu będzie zachodziło wPx, dla wszystkich zaś alternatyw z leżących na zewnątrz tego okręgu będzie zachodziło xP z. Generalnie, w opisanym m odelu każdy okręg o środku w punk
cie idealnym i jest krzywą indyferencji wyborcy i (uogólniając do n wymiarów, hiperpłaszczyzną indyferencji będzie (n-l)-w ym iarow a sfera o środku i).
Rozważmy następujący przykład (przedstawiony niżej w tabeli 1 i na rysun
ku 3), w którym podejm owana jest łączna decyzja o budżecie na zbrojenia i bu
dżecie na rozwój rolnictwa, przy czym zbiór decydentów składa się z trzech po
słów: N={ÄT, L, Ad}, a do zbioru alternatyw należą między innymi opcje x, y, z, w. Treść alternatyw oraz punkty idealne posłów podane są w tabeli; przykłado
wy zapis AT=(100, 200) oznacza, że punkt idealny posła K to budżet przeznacza
jący po 100 min $ na zbrojenia i 200 min $ na rozwój rolnictwa. W tabeli poda
ne są ponadto odległości pom iędzy punktami idealnymi posłów a poszczegól
nymi alternatywami.
n
Tabela 1. Dwuwymiarowy problem decyzyjny Alternatywy
_______________ x = (200, 200) y = (150, 250) z = (240, 280) w = (140, 100) Posłowie odległości pomiędzy alternatywami a punktami idealnymi posłów
K = (100, 200) 100 71 161 108
L = (200, 300) 100 71 45 209
M = (300, 100) 141 212 190 160
Rysunek 3. Dwuwymiarowy problem decyzyjny
Alternatywa x leży na „medianie na wszystkich wymiarach”, nie jest jednak zwycięzcą Condorceta
Alternatyw a x jest medianą na wszystkich wym iarach: jeśli zrzutować alter
natywy i punkty idealne wyborców na osie obu wymiarów, w obu przypadkach rzut alternatywy x pokryje się z pozycją „medianowego w yborcy” na danym wymiarze. Gdyby kwestie budżetu obronnego i na rolnictwo głosowano od
dzielnie, i dopiero potem, ze zwycięskich alternatyw formowano „alternatywę łączną”, byłaby n ią właśnie alternatyw a x, odpow iadająca „centrow ym ” poglądom tak na budżet wojskowy, jak i rolniczy. Z kolei alternatywy z i w leżą poza zbiorem Pareto5 (na rysunku ograniczonym trójkątem KLM). W szczegól
5 Z b ió r P a re to o b e jm u je c zęść p rz estrz e n i altern aty w , w któ rej m o g ą się z n a leź ć w y łą c z n ie al
tern a ty w y o p ty m a ln e P areto . Jeśli nie m a z ew n ę trzn y c h o g ra n ic ze ń w e w łą cz an iu altern a ty w , to
S T A B IL N O Ś C I Z M IE N N O Ś Ć W P R Z E S T R Z E N N Y C H M O D E L A C H G ŁO SO W A N IA 51
ności alternatywa w jest zdominowana w sensie Pareto przez x, a analizując rysunek łatwo wskazać potencjalne propozycje, które wszyscy trzej decydenci przedłożyliby nad z.
Na podstawie odległości z tabeli 1 możemy wyznaczyć preferencje indywid
ualne posłów, Ra.: yxwz, R; : zyxw oraz RM: xwzy, oraz określić preferencję społeczną w yznaczaną przez regułę większości: yPx, zPy, wPz, xPw. Preferencja społeczna okazała się tym samym cykliczna i, co więcej, do cyklu w iększoś
ciowego należy także alternatywa w, pomimo że jest zdominowana w sensie Pareto przez x.
Jednym z podstawowych mechanizmów stosowania reguły większości do wyboru jednej spośród wielu alternatyw jest „sekwencyjne głosowanie w ięk
szościowe” : poddaje się pod głosowanie dwie alternatywy, następnie poddaje się pod głosowanie zwycięzcę poprzedniego głosowania i jedn ą z alternatyw jeszcze nie rozpatrywanych itd. aż do momentu, gdy przegłosowane zostaną wszystkie alternatywy; zwycięzcą jest ta alternatywa, która zwyciężyła w ostat
nim głosowaniu. Jeśli w zbiorze alternatyw jest zwycięzca Condorceta, to zostanie on wybrany niezależnie od kolejności głosowań. Jeśli jednak reguła większości wyznacza cykliczną preferencję społeczną, zwyciężyć może - w zależności od kolejności głosowań - dowolna alternatywa z tzw. „cyklu więk
szościowego”. Tak więc, w sytuacji decyzyjnej opisywanej m odelem więcej niż jednow ym iarow ym nie tylko nie mamy pewności, że zwycięży alternatywa
„centrowa” czy „umiarkowana”, ale musimy się liczyć z ryzykiem, że sekwen
cyjne głosowanie większościowe może doprowadzić nawet do wyboru alter
natywy spoza zbioru Pareto.
Czy jednak w wielowymiarowych sytuacjach decyzyjnych reguła w iększo
ści zawsze wyznacza cykliczną preferencję społeczną? Rozważmy kolejny przykład, z pięciom a decydentami H=(200, 300), J=(200, 100), K= (100, 200), L=(300, 200), M=(200, 200) i - na razie - tylko jed n ą alternatywą x=(200, 200).
Podobnie ja k w poprzednim przykładzie, x jest „m edianą na wszystkich w ym ia
rach”, jeśli jednak tam nie chroniło go to przed przegraniem w głosowaniu z in
nymi alternatywami, tym razem jest inaczej. Przestrzeń alternatyw możemy podzielić na cztery „ćwiartki” (patrz rysunek 4). Zauważmy, że jeśli alternaty
wa y leżałaby w I ćwiartce, to przy porównaniu jej z x, x na pewno uzyska gło
sy Μ , K i J. To, kto dostanie głosy H i L zależeć będzie od dokładniejszego po
łożenia y, ale i tak w najgorszym dla siebie razie x wygrywa co najmniej 3 gło
sami do 2. Analogicznie można pokazać, że x wygrałby z dowolną alternatywą
sp o łeczn ie n ie u z as ad n io n y je s t w y b ó r a lte rn a ty w y sp o z a z b io ru P areto , g d y ż je s t ona z d o m in o w a n a p rz ez ja k ą ś a lte rn a ty w ę n a le ż ą c ą do teg o zbioru. W m o d ela ch je d n o w y m ia ro w y c h z b ió r P a re to o d p o w ia d a o d c in k o w i od p u n k tu id ea ln eg o „sk rajn e g o lew eg o ” w y b o rc y do p u n k tu id ealn eg o
„ sk rajn e g o p ra w e g o ” w yborcy.
ulokow aną w II (dzięki głosom M , J i L), III lub IV ćwiartce - a więc niezależ
nie od tego, jakie inne alternatywy zostaną wzięte pod uwagę, x jest zwycięzcą Condorceta - mamy zatem do czynienia z wielowymiarowym odpowiednikiem zwycięstwa medianowego wyborcy.
Rysunek 4. M ediana na wszystkich kierunkach
Alternatywa x jest „medianą na wszystkich kierunkach”: po jednej stronie dowolnej prostej przechodzącej przez x położone są punkty idealne mniej niż połowy wybor
ców
Niestety, klasa konfiguracji wyborców, dla których m ediana na wszystkich wym iarach jest punktem równowagi w głosowaniu większościowym (a więc, niezależnie od zestawu pozostałych rozpatrywanych alternatyw, jest co naj
mniej słabym zwycięzcą Condorceta), jest bardzo wąska. Została ona określona w pracach Ch. Plotta (1967), Davisa, De Groota i Hinicha (1972) i Enelowa i Hinicha (1983, 1984)6; ich wyniki można podsumować w następującym tw ier
dzeniu (por. Hinich i M unger 1997: 65).
Tw i e r d z e n i e o m e d i a n i e n a w s z y s t k i c h k i e r u n k a c h. Dla «-wymiarowych problem ów decyzyjnych, w których ui(x)=-d2(x, i), alternatywa x nie przegrywa
6 T w ierd zen ia te fo rm u ło w an e b y ły w k a te g o riach z n aczn ie b ard zie o g ó ln y ch m o d eli p rz e strz en n y c h n iż o m a w ia n e w ty m arty k u le; tutaj w n io se k p o d a ję w w ersji d a le ce u p ro sz cz o n e j, o d n o szącej się w y łą c z n ie do tej n ajp ro stszej k lasy m o d eli w ie lo w y m ia ro w y ch ; m o żn a go je d n a k u o g ó ln ić dla zn ac zn ie b ard ziej z ło żo n y ch m odeli.
STA B ILN O ŚĆ I ZM IE N N O Ś Ć W PR Z E S T R Z E N N Y C H M O D E L A C H G LO SO W A N IA 53
w głosowaniu większościowym z żadnym punktem R n wtedy i tylko wtedy, gdy x jest medianą na wszystkich kierunkach.
m e d i a n ą n a w s z y s t k i c h k i e r u n k a c h jest taki punkt ieM n, że dla każdego podziału M" na dwie części poprzez dowolną hiperpłaszczyznę M"A zawierającą i (a więc, dla n=2, dla każdego podziału płaszczyzny na dwie półpłaszczyzny przez prostą przechodzącą przez z) liczba wyborców, których, punkty idealne le
żą w każdej z połówek Mn z wyłączeniem stanowiącej granice podziału prze
strzeni M "'\ jest nie większa niż połowa ogólnej liczby wyborców.
Dla przestrzeni co najmniej dwuwymiarowych w zbiorze alternatyw musi zawsze być co najmniej jedna mediana na wszystkich wymiarach, natomiast może nie być żadnej mediany na wszystkich kierunkach (i najczęściej jej nie ma), bądź też jest dokładnie jedna mediana na wszystkich kierunkach7. Co oczywiste, mediana na wszystkich kierunkach jest m edianą na wszystkich w y
miarach. Sytuacje decyzyjne, w których istnieje mediana na wszystkich kierun
kach, m ają szereg interesujących i pożądanych własności, tyle tylko, że w prze
strzeniach o «>1 są one bardzo rzadkie, co wynika z faktu, że jeśli pominąć sy
tuacje, gdy w samej medianie ulokowane są punkty idealne co najmniej połowy wyborców, to nawet niewielkie zmiany w położeniu punktów idealnych prow a
dzą do zaniknięcia mediany na wszystkich kierunkach.
Jeśli alternatywa wygrywa ze wszystkimi innymi punktami M", jest oczywi
ście zwycięzcą Condorceta. Nie oznacza to jednak, że alternatywa, która w gło
sowaniu przegrałaby z jakim iś elementami M”, zwycięzcą Condorceta w danym problem ie decyzyjnym być nie może: któryś z tych punktów m usiałby jeszcze reprezentować alternatywę należącą do A. Innymi słowy, alternatywa może być zwycięzcą Condorceta nie tyle dlatego, że nie m a w ogóle takiej opcji, która by z nią wygrała, lecz dlatego, że żadna taka opcja nie była wzięta pod rozwagę - np. gdyby w przykładzie z tabeli 1 do A należały tylko alternatywy x, z i w , to zwycięzcą Condorceta byłaby x. Trudno jednak wskazać mechanizm, który miałby zabezpieczyć przed włączaniem do A alternatyw powodujących poja
wienie się cykli większościowych, łatwo natom iast wskazać ten, który do tego właśnie będzie prowadził.
M echanizm ograniczający zbiór alternatyw musiałby mieć albo charakter normy postępowania zabraniającej zgłaszania pod obrady określonych alterna
tyw (co byłoby jednak sprzeczne z zasadami demokracji), albo musiałby być to jakiś „czynnik obiektywny” powodujący, że pewne obszary przestrzeni alterna
tyw byłyby niemożliwe do osiągnięcia - ale w większości przypadków wykonal
ne może być pełne spektrum opcji, przechodzących w siebie w sposób ciągły lub
7 D o w ó d w H a m an (2003). P rz e z m odel je d n o w y m ia ro w y ro z u m iem tu tak ż e tak i, w któ ry m p u n k ty id ealn e w szy stk ic h w y b o rc ó w le ż ą n a je d n e j p ro stej (n aw et, je ś li p ro s tą tą z an u rz y m y w p rz estrz en i w ie lo w y m ia ro w ej).
prawie ciągły (np. budżet obronny może przyjmować dowolną wielkość z przedziału od 0 do 500 min $, kandydat na prezydenta może przyjąć właściwie dowolną pozycję na skali „konserwatyzm—liberalizm” równoważąc w odpowie
dni sposób elementy konserwatywne i liberalne w swoim programie itp. )8.
Z drugiej strony, jeśli w pierwszym przykładzie nie byłoby w zbiorze A al
ternatywy y, to zostałaby ona zapewne zgłoszona przez posłów K i L, którzy po prostu lepiej na niej w yjdą niż na x, a być może wręcz przez posła M, liczącego na to, że (tymczasowe) przejście od niezbyt korzystnej dla niego x do y dopro
wadzi do wznowienia debaty i da mu szanse na późniejsze zawarcie przez nie
go innej koalicji, w wyniku której zostanie przyjęta alternatywa bardziej dla niego korzystna. M echanizm ten ma zresztą swój pozytywny aspekt: jeśli pier
wotnie do A nie należała alternatywa będąca punktem równowagi (jeśli taki ist
niał), to najpewniej zostanie ona przez kogoś (bojącego się, że zostanie przyję
ta inna, mniej dla niego korzystna alternatywa) zgłoszona; to samo dotyczy sy
tuacji, gdy w m odelu jednowym iarowym najbliższa m edianowemu wyborcy alternatywa jest wciąż dosyć od niego odległa - prawdopodobnie medianowy wyborca zgłosi wtedy pod głosowanie alternatywę pokryw ającą się z jego punktem idealnym.
Jak wynika z twierdzenia o medianie na wszystkich kierunkach, gdy ta nie istnieje, możemy mieć (i prawdopodobnie będziemy mieli) do czynienia z cy
klem większościowym. Przy stosowaniu sekwencyjnego głosowania w iększo
ściowego decyzją społeczną może być w tej sytuacji wybór którejkolwiek alter
natywy z cyklu, zależny jedynie od agendy9 określającej porządek głosowań.
Pozostaje jeszcze pytanie - czy można przynajmniej liczyć na to, że będzie to alternatywa w m iarę nieodległa od „mediany na wszystkich w ym iarach”? O d
powiedź faktycznie zawarta była ju ż w pierwszym przykładzie, gdy cykl w ięk
szościowy wykraczał nawet poza zbiór Pareto; ogólną sformułował Richard M cK elvey10:
Tw i e r d z e n i e o c h a o s i e (por. M cKelvey 1976, 1979). Jeśli dla «-wielowy
miarowego problem u decyzyjnego nie ma mediany na wszystkich kierunkach, to dla dowolnej alternatywy należącej do M", można w taki sposób uzupełnić A o skończoną liczbę alternatyw, by alternatywa ta należała do cyklu w iększo
8 M im o to L a v e r i S h ep sle (1 9 9 6 ) sfo rm u ło w ali m o d el stab iln y ch w ie lo p a rty jn y c h rząd o w y c h k o alicji w ię k sz o ścio w y c h w p rz estrz en ia ch w ie lo w y m ia ro w y ch o d w o łu jąc y się w ła śn ie do o g ra n icz en ia d o stę p n y ch altern aty w , p o k a zu jąc m ech an izm , k tó ry m ó g łb y do tak ie g o o g ra n ic ze n ia p ro w ad zić, o p iera ją c y się je d n a k n a - m o im z d an iem - m o cn o d y sk u sy jn y c h zało żen iach .
9 P o ję cie a g e n d y sto su ję tutaj z g o d n ie z je j a n g ie lsk im z n ac ze n iem , n ie m ają cy m n ie s te ty ś c i
słego o d p o w ie d n ik a w ję z y k u p o lsk im , o b e jm u jąc y m zaró w n o sam z es ta w a lte rn a ty w p o d d a w a ny ch p o d o b rad y (g lo so w a n ia), ja k i ich p o rząd ek .
10 R ó w n ie ż M c K e lv ey sfo rm u ło w a ł o ry g in aln ie sw o je tw ierd z en ie w k a teg o riach zn aczn ie o g ó ln iejszej k lasy m o d eli p rz estrz en n y ch .
STA B ILN O ŚĆ I Z M IE N N O Ś Ć W P R Z E S T R Z E N N Y C H M O D E L A C H G ŁO SO W A N IA 55
ściowego, niezależnie od zestawu alternatyw, jaki pierwotnie należał do A.
W takiej sytuacji osoba mająca swobodę włączania dodatkowych alternatyw oraz określająca kolejność głosowań (osoba kontrolująca agendę) może dopro
wadzić w skończonej liczbie kroków do zwycięstwa w sekwencyjnym głosowa
niu większościowym dowolnej alternatywy z R '\
Rysunek 5. W yrzutnia M cKelveya
J e ś li n i e m a „ m e d i a n y n a w s z y s tk i c h k i e r u n k a c h ” o s o b a „ k o n tr o l u j ą c a a g e n d ę ” , a w ię c u s t a la j ą c a k o l e j n o ś ć g ło s o w a ń m o ż e d o p r o w a d z i ć d o z w y c i ę s t w a w s e k w e n c y j n y m g ł o s o w a n i u w i ę k s z o ś c i o w y m d o w o ln e j a lte r n a ty w y . N a r z u c a ją c k o l e j n o ś ć x , y, z, v, w, s d o p r o w a d z a s i ę d o z w y c i ę s t w a s , p o m im o ż e w s z y s c y w y b o r c y w o l e li b y o d n ie j x, y lu b z.
O b s z a r z a c ie n i o w a n y to z b ió r P a r e to . L ite r y p r z y s t r z a ł k a c h o z n a c z a j ą k o a lic ję , k t ó r a j e s t z a i n t e r e s o w a n a p r z e g ł o s o w a n i e m d a n e j z m ia n y .
M ożem y zatem sformułować ogólną rekomendację. Tam, gdzie problem de- eyzyjny można opisać w kategoriach przestrzeni jednowymiarowej i unimodal- nych preferencji, reguła większościowa (realizowana na przykład poprzez se
kwencyjne głosowanie większościowe) działa efektywnie, generując zawsze acykliczną preferencję społeczną oraz niepusty zbiór alternatyw społecznie naj
lepszych, prowadząc przy tym do przyjmowania jako wyboru społecznego al
ternatyw „centrowych”, dalekich od politycznej skrajności. Jeśli jednak jeden wym iar nie wystarcza do opisu społecznego problem u decyzyjnego, sekwencyj
ne głosowanie większościowe z reguły prowadzić będzie do rozwiązań przy
padkowych, zależnych od kolejności głosowań. W takich sytuacjach lepiej albo
poszukać innej m etody podejm owania decyzji, albo przynajmniej rozbić pro
blem decyzyjny na jednow ym iarow e decyzje cząstkowe (czyli - dla podanego wcześniej przykładu - osobno głosować budżet armii, a osobno rolnictwa), choć i wtedy trzeba się liczyć z ryzykiem, że głosujący w drodze nieformalnych uzgodnień i „handlu głosam i” w praktyce będą obie kwestie traktowali łącznie.
W najgorszym przypadku należy zadbać przynajmniej o to, by ograniczyć m oż
liwości „manipulacji agendowych” - w przeciwnym razie osoby, które zdobędą kontrolę nad agendą uzyskają zasadniczy wpływ na wybór społeczny - stąd też istotna rola regulaminów obrad, ściśle określających w jakiej kolejności pow in
ny być poddawane pod głosowanie różne wnioski, uchwały czy poprawki do uchw ał. 11
Kierunkowe modele przestrzenne
Kiedy Duncan Black formułował pierwsze modele przestrzenne, odwoływał się nie do głosowań i wyborów powszechnych, ale do głosowań w „komite
tach”, a więc niewielkich, sformalizowanych grupach kompetentnych decyden
tów, dobrze rozum iejących treść rozważanych wniosków, m ających wobec nich wyrobioną opinię oraz znających stanowiska pozostałych członków. Przykła
dem takiego komitetu może być Rada Polityki Pieniężnej (w dodatku zróżnico
wanie opinii co do wysokości stóp procentowych ma praw dopodobnie ściśle jednow ym iarow y charakter), komisje sejmowe czy, w najlepszym razie, Sejm jako taki. Jeśli jednak próbuje się odnieść modele przestrzenne do głosowań po
wszechnych, obecne w modelach przestrzennych założenia o wiedzy i racjonal
ności wyborców m ogą okazać się zbyt odległe od społecznej rzeczywistości, nawet gdyby traktować model jedynie jako bardzo przybliżony.
Kierunkowe modele przestrzenne odwołują się - tak samo jak przedstaw io
ne wcześniej downsowsko-blackowskie modele „odległościowe” - do jedno- lub wielowymiarowej przestrzeni (ideologicznej, interesów itp. ), w której ulo
kowane są alternatywy oraz punkty idealne wyborców. Ich specyfiką jest odmienny niż w m odelach „odległościowych” mechanizm ustalania użyteczno
ści alternatyw dla wyborców: nie zależy on (wyłącznie) od „odległości” pom ię
11 P rz y p a d k i m a n ip u lac ji p o lity c zn y c h p o leg a ją c y ch n a w p ro w ad z an iu n o w y ch w y m ia ró w op isu je R ik e r (1 9 8 6 ). N a ro d z im y m g ru n c ie m o żn a n a to m iast w sk az ać p rz y p a d e k p ró b y m a n ip u lo w a n ia k o le jn o śc ią g ło so w a ń p rz y u ż y ciu trik u reg u la m in o w e g o d o k o n an ej p rz e z p o sła M iro s ła w a S ty c zn ia (A W S -S K L ) w 1998 ro k u (p rzy g ło so w an iu p o p ra w ek do u sta w y w p ro w ad zającej n o w e w o je w ó d ztw a ); m an ip u lac ji, k tó ra w sen sie tec h n icz n y m się p o w io d ła (g ło so w a n ia p rz e p ro w ad zo n o w k o lejn o śc i p lan o w an e j p rz ez m an ip u lato ra), o sta te cz n ie je d n a k p rz y n io s ła sk u tek o d w ro tn y do zam ierzo n eg o .
S T A B IL N O Ś C I Z M IE N N O Ś Ć W P R Z E S T R Z E N N Y C H M O D E L A C H G LO SO W A N IA 57
dzy alternatyw ą a punktem idealnym, ale (także) od „kierunku” zmiany, jak ą oznaczałoby przyjęcie danej alternatywy w miejsce status quo traktowanego tu
taj jako wyróżniony punkt w przestrzeni, odpowiadający, np. dotychczasowemu prezydentowi, jeśli rozpatrujemy akurat wybory prezydenckie. Twórcy modeli kierunkowych wychodzili z założenia - potwierdzanego analizami wyników przedw yborczych sondaży opinii - że wyborcom (zwłaszcza mniej w yrobio
nym) łatwiej jest ocenić kierunek zmian proponowany przez danego kandydata, niż jego dokładną pozycję w przestrzeni i to właśnie ocena zmian (czy idą one we właściwym, czy niewłaściwym kierunku) ma istotne znaczenie dla oceny poszczególnych kandydatów.
W bieżącym rozdziale przedstawię modele kierunkowe w wersjach Mat- thewsa oraz Rabinowitza i M acdonald, oraz modele mieszane - Iversena i „m o
del zunifikowany” M errilla i Grofmana, łączące tradycyjne modele odwołujące się do odległości i modele kierunkowe. Niech q będzie punktem reprezentują
cym status quo. Literami x, y będziemy oznaczać zarówno kandydatów (alter
natywy), jak i reprezentujące ich punkty w przestrzeni; analogicznie i reprezen
tuje wyborcę i oraz jego punkt idealny; x k oraz odpowiednio ik będą oznaczały k-tą współrzędną położenia x (lub odpowiednio i). Zgodnie z dotychczasową konwencją, d(x, i) oznacza odległość pom iędzy pozycją x a punktem idealnym i, natom iast symbol Z iq x oznacza kąt o wierzchołku w status quo, wyznaczony przez pozycję kandydata x i punkt idealny wyborcy i. Jeśli kąt ten ma miarę 0, to kandydat x deklaruje zmianę polityki realizowanej aktualnie dokładnie w tym kierunku, w jakim tego oczekuje wyborca i; jeśli jest to kąt półpełny - x dekla
ruje zmiany idące dokładnie w przeciwnym kierunku niż te, których oczekuje i.
(a) M odel M atthewsa
W modelu kierunkowym M atthewsa (1979) wyborca, oceniając kandyda
tów, opiera się jed ynie na postulowanym kierunku zmian względem status quo.
W m odelu M atthew sa12 u. (x)=cos(Ziqx), a zatem im mniejszy kąt tw orzą w e
ktory kierunku zmian postulowanego przez wyborcę oraz kandydata, tym w ięk
sza jest użyteczność kandydata (wartość kosinusa jest największa dla kąta 0°, gdzie cos(0°)= l, dla kąta prostego cos(90°)=0 i jest najm niejsza dla kąta 180°, cos(180°)=-l). Jeśli rozpatrujemy modele jednow ym iarow e, kąt Z iq y może mieć albo 0° - wtedy, gdy punkty i oraz y leżą po tej samej stronie status quo, bądź 180°, gdy leżą po jego przeciwnych stronach. Tym samym, w m odelu je d
12 T w ó rcy p o sz c ze g ó ln y c h m o d eli sto so w ali ró ż n ą sy m b o lik ą, a tak że z ap isy w ali te sam e w a r
to ści w ró ż n y ch co do form y, ale ró w n o w aż n y c h p o sta c iac h alg e b raic zn y c h . A b y u n ik n ą ć z w ią zan e g o z tym z a m iesz a n ia , b ę d ę się stara! z ac h o w a ć w m ia rę je d n o litą k o n w e n c ję z ap isu k o le j
n y c h m o d eli, w efek c ie je d n a k ten i k o lejn e p o d a w an e p rz ez e m n ie w z o ry ró ż n ią się co do fo rm y od w z o ró w w ź ró d ło w y ch arty k u łach .
nowym iarowym wyborca i będzie indyferentny wobec wszystkich kandydatów postulujących zmiany względem status quo idące w postulowanym przez niego kierunku, i będzie ich przedkładał nad wszystkich kandydatów, postulujących zmiany idące w kierunku przeciwnym. W efekcie, gdy wyborca lokuje się nie
znacznie na prawo względem status quo i m a do wyboru kandydata skrajnie prawicowego oraz kandydata lokującego się nieznacznie na lewo od q, wybie
rze tego pierwszego, choć dystans dzielący go od kandydata um iarkowanie le
wicowego jest znacznie mniejszy.
Rysunek 6. M odel kierunkowy M atthewsa
P o m i m o ż e k a n d y d a t x le ż y b liż e j p u n k t u id e a ln e g o K n i ż k a n d y d a t y , z g o d n ie z m o d e le m k ie r u n k o w y m M a t th e w s a K b ę d z i e p r e f e r o w a ł y w z g l ę d e m x , p o n i e w a ż k ą t Z y S Q K j e s t m n ie j s z y n i ż k ą t ZxsqK i c o s ( Z y s g K ) > c o s ( Z x s o K ) - i n n y m i s ło w y , k a n d y d a t y p r o p o n u j e z m i a n ę i d ą c ą w b a r d z ie j o d p o w i a d a j ą c y m K k ie r u n k u n iż k a n d y d a t x .
(b) M odel Rabinowitza-M acdonald
Bardziej złożony model zaproponowany został przez Rabinowitza i M acdo
nald (1989). Według nich wyborca uwzględnia nic tylko kierunek proponowa
nych zmian, ale także ich intensywność: kandydat oceniany jest tym wyżej, im większe są postulowane przez niego zmiany w kierunku postulowanym przez wyborcę oraz im większych zmian oczekuje wyborca. W m odelu Rabinowitza- M acdonald
n. (x) = cos{Ziqx)y-d(x, q )y-d(i, q)
STA B ILN O ŚĆ I Z M IE N N O Ś Ć W P R Z E S T R Z E N N Y C H M O D E L A C H G ŁO SO W A N IA 59
M odel Rabinowitza-M acdonald odwołuje się do odległości, jednak w zupeł
nie inny sposób niż modele downsowsko-blackowskie, co najłatwiej pokazać na przykładzie m odelu jednowymiarowego. W m odelu tym wszyscy wyborcy na prawo od status quo powinni udzielić największego poparcia kandydatom skraj
nie prawicowym, a wyborcy na lewo od status quo - kandydatom skrajnie lew i
cowym.
Ponieważ koncentracja poparcia na kandydatach skrajnych jest przew idyw a
niem (na szczęście) nierealistycznym, Rabinowitz i M acdonald zaproponowali uzupełnienie m odelu o określenie granic akceptowalnych dla wyborców pozy
cji ideologicznych i przyjęcie założenia, że z m odelu wyłącza się kandydatów leżących w dalszej niż graniczna odległości od status quo (co odpowiada zało
żeniu, że „normalni w yborcy” nie będą głosowali na partie, powiedzmy, faszy
stowskie i komunistyczne). Postulowanie wspólnego dla wszystkich wyborców
„obszaru akceptowalności” było jednak kwestionowane: indywidualna ocena tego, co jeszcze jest, a co już nie jest dopuszczalne, będzie zależała od pozycji ideologicznej wyborcy.
(c) M odel Iversena
Aby uniknąć założenia o wspólnym dla wszystkich wyborców „obszarze ak
ceptowalności”, T. Iversen13 (1994) zaproponował, by zamiast wspólnego dla wszystkich wyborców „obszaru akceptowalności” przyjąć, że wyborcy „nagra
dzają” kandydatów za radykalizm zmian idących w postulowanym przez nich kierunku (zgodnie z modelem Rabinowitza-M acdonald), ale jednocześnie „ka
rzą” za dużą odległość od ich punktów idealnych. W m odelu Iversena u. (x) = (1 -\i)cos(Z iq x)y*({(x, q)xd(i, q) - \icf(i, x)
gdzie ß jest param etrem m odelu określającym względne wagi składowej
„odległościow ej” i „kierunkowej” m odelu (a zatem przy ß= l m am y do czynie
nia z klasycznym m odelem odległościowym, przy ß=0 z czystym m odelem Rabinowitza-M acdonald). Przekładając m odel Iversena na języ k naturalny, iversenowski w yborca kieruje się dwoma typam i m otywacji: z jednej strony wyborca oczekuje określonych zmian w prowadzonej aktualnie polityce, a im radykalniejszy program m a w tej sprawie kandydat, tym większe są szanse, że
13 Ś ciśle rz ec z b io rąc, o p is m o d elu m ie sz an e g o i p e w n y ch je g o w ła sn o śc i z aw a rty b y ł ju ż w R a b in o w itz i M ac d o n ald (1 9 8 9 : 1 1 5 -1 1 8 ), z asad n ic z a je g o an aliza z n ajd u je się je d n a k w te k ście Iv e rsen a (który, ja k p o śre d n io w y n ik a z je g o arty k u łu , do sfo rm u ło w a n ia tego m o d elu , z re s z tą w innej fo rm ie n iż R a b in o w itz i M acd o n ald , d o sz e d ł częścio w o od n ich n iez ale żn ie). Z tego w z g lęd u b ę d ę s ię do m o d elu m ie sz an e g o o d w o ły w a ł ja k o do „m o d elu Iv e rs e n a ” (i p reze n to w ał m o d el w p o sta ci b liższej do je g o , a nie R a b in o w itz a i M a c d o n ald , u jęcia).
P o ró w n an ie sfo rm u ło w a ń (o raz d o w ó d ich ró w n o w aż n o śc i) „ m o d elu m ie s z a n e g o ” w u ję c iach R ab in o w itz a i M a c d o n ald , Iv ersen a i w je s z c z e n iec o innej w e rsji M e rrilla i G ro fm an a m o żn a z n aleź ć w M e rrill i G ro fm an (1 9 9 9 : 170η).
do zm iany takiej rzeczyw iście doprowadzi, jednocześnie jednak wyborca ocze
kuje, że platform a program owa kandydata będzie jak najbliższa jego punktowi idealnem u - i to oczekiwanie realizowane jest przez „odległościow ą składo
w ą” modelu.
(d) M odel zunifikowany Merrilla-Grofmana
Iversen przyjm uje „składową kierunkową” swojego m odelu za Rabinowit- zem i M acdonald, a nie za M atthewsem, a zatem odwołuje się zarówno do kie
runku, jak i intensywności zapowiadanych przez kandydata i oczekiwanych przez wyborcę zmian. W swoim „modelu zunifikowanym ” Merrill i Grofman (1999: 40-47 ) łączą nie tylko m odele kierunkowe z odległościowym, ale także model M atthewsa z m odelem Rabinowitza i M acdonald. W m odelu zunifikowa
nym
i/. (*)=(l-ß)cos(Z/<7; c)x[i/(; c, q )y d(i, q)Y - $><d2(i, x)
Model charakteryzowany jest poprzez dwa parametry, ß oraz p . Param etr ß pełni identyczną funkcję jak w modelu Iversena14, natomiast drugi parametr, p , charakteryzuje wyłącznie składow ą „kierunkową” : gdy p - 0 składowa „kie
runkowa” wyznaczana jest zgodnie z modelem M atthewsa, dla p= \ zgodnie z modelem Rabinowitza-M acdonald, a przy wartościach pośrednich uwzględnia ona wpływ „intensywności” postulowanych przez wyborcę i zapowiadanych przez kandydata zm ian względem status quo, ale przyznaje im m niejszą wagę niż w m odelu Rabinowitza-M acdonald.
M odele przestrzenne p ozw alają opisać w język u m atem atyki pew ne k ate
gorie m otyw acji stojących za preferencjam i i decyzjam i wyborców. M ożna zadać jed n a k zasadnicze pytanie: czy rzeczyw iście takie kategorie m otyw acji m ają dla decyzji i preferencji w yborców istotne znaczenie - a jeżeli tak, to ja k istotne? Zarów no Rabinow itz i M acdonald, Iversen, jak i M errill i G ro
fm an 15 w eryfikow ali swoje m odele na podstaw ie danych em pirycznych; ich analizy prow adzone były w podobny sposób, opierały się na podobnych lub tych sam ych danych i dawały podobne rezultaty, ograniczę się do przedsta
w ienia pokrótce analiz i w yników M errilla i Grofm ana, opartych na longitu- dinalnym badaniu U niversity o f Chicago, A m erican N ational E lection Stu
dies.
W badaniach tych respondenci określali zarówno pozycję swoją, jak i kan
dydatów w amerykańskich wyborach prezydenckich na skali „liberalizm -kon-
14 W o ry g in a ln y m sfo rm u ło w a n iu „ m o d e lu z u n ifik o w a n y m ” ja k o w a g a „ k ie ru n k o w o śc i” w y stę p o w a ł w s p ó łc z y n n ik 2( 1—ß). W p o d an ej tutaj w e rsji z m ie n iłem go n a ( U ß ) , co nie w p ły w a na je g o sens w z o ru , ale za to p o w o d u je, że p rz y jm u je o n fo rm ę a n a lo g ic z n ą do m o d elu Iversena.
15 P rz e g lą d ty ch b ad ań w ra z ze s z c z e g ó ło w ą b ib lio g ra fią m o żn a z n aleź ć w M e rrill i G ro fm an 1999.
S T A B IL N O Ś C I Z M IE N N O Ś Ć W PR Z E S T R Z E N N Y C H M O D E L A C H G LO SO W A N IA 61
serwatyzm” (a więc odpowiednika europejskiej skali „lew ica-praw ica”); po
nadto respondenci określali swój stosunek do kandydatów na wielostopniowej skali („temperatura uczuć” od 0 do 100). Merrill i Grofman badali korelacje po
między użytecznościami kardynalnymi poszczególnych kandydatów (dla po
szczególnych badanych wyborców) wyznaczonymi na bazie przestrzennego
„modelu zunifikowanego”, a poziomem na skali „temperatury uczuć” (trakto
wanej jako bezpośredni pom iar użyteczności kardynalnej). Przy optymalnie do
branych wartościach param etrów ß i q uzyskiwali współczynniki korelacji li
niowej Pearsona na poziomie od 0, 52 do 0, 73 dla różnych kandydatów w latach 1980-1996.
Analizy M errilla i Grofmana pozw alają także na porównanie wag składo
wych „kierunkowej” i „odległościowej” w optymalnych „modelach zunifiko
wanych” . Jak się okazuje, wagi te były różne dla „inkum bentów” (prezydentów starających się o reelekcję) i „challengerów”. W przypadku inkubentów wagi składowych „kierunkowej” i „odległościowej” w ocenie kandydata przez w y
borcę były podobne, podczas gdy w przypadku challengerów składowa „kierun
kow a” m iała wagę znacznie wyższą. Wynik ten Merrill i Grofman tłumaczyli wskazując, że w przypadku inkumbenta jego rzeczywista pozycja jest dokładnie wyborcom znana, podczas gdy w przypadku challengera wyborcy częściej będą mieli o niej jedynie ogólne pojęcie, dotyczące raczej kierunku proponowanych przez niego zmian; w podobny sposób można wyjaśnić obserwację, że znacze
nie składowej kierunkowej jest większe w przypadku wyborców mniej wyro
bionych politycznie.
Wyniki analiz empirycznych przeprowadzonych przez M errilla i Grofmana (1999: 91-106) na podstawie danych z wyborów amerykańskich, a także wyni
ki podobnych analiz na danych z wyborów we Francji i Norwegii, z jednej stro
ny pokazują, że teoria przestrzenna rzeczywiście opisuje realne motywacje w y
borców, z drugiej zaś potw ierdzają skądinąd oczywisty fakt, że motywacje te (nawet, jeśli ograniczymy się do motywacji „przestrzennych”) m ają charakter wysoce złożony. Wyborca kieruje się zarówno odległością pozycji kandydata od swojego punktu idealnego, jak i zgodnością ze swoimi oczekiwaniami kie
runku postulowanych przez kandydata zmian względem status quo. Kandydat postulujący radykalne zmiany w kierunku postulowanym przez umiarkowanego wyborcę zostanie za swój radykalizm „w słusznej sprawie” przez wyborcę je d nocześnie i nagrodzony, i ukarany, a to, czy kara, czy nagroda okaże się w ięk
sza, może zależeć od charakterystyki zarówno wyborcy (czy jest lepiej, czy go
rzej politycznie wyrobiony), jak i kandydata (inna będzie sytuacja inkumbenta, inna challengera).
