upraszczamy zapisy w ułamkach 2

Nauczyciel: Marzena Mrzygłód Przedmiot: matematyka Klasa: 3 TOR

Temat lekcji: Rozwiązywanie równań trygonometrycznych Data lekcji: 7.04.2020

Wprowadzenie do tematu: równania i nierówności trygonometryczne Instrukcje do pracy własnej:

Przykład 1.

Rozwiąż równanie: 4𝑠𝑖𝑛³𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥

4𝑠𝑖𝑛³𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥=0 przenosimy wszystko na jedną stronę 𝑠𝑖𝑛𝑥(4𝑠𝑖𝑛²𝑥 − 1) = 0 wyłączamy sin x przed nawias

𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 ∨ 4𝑠𝑖𝑛²𝑥 − 1 = 0 rozpisujemy na dwa równania 𝑥 = 𝜋𝑘 4𝑠𝑖𝑛²𝑥 = 1

𝑠𝑖𝑛²𝑥 =¹

4

𝑠𝑖𝑛𝑥 =¹₂ ∨ 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −¹

2 𝑥 =^𝜋₆+ 2𝜋𝑘 ∨ x= ⁵

6𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =^7𝜋

6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥 =¹¹

6 𝜋 + 2𝜋𝑘 𝑘 ∈ 𝐶

Przykład 2.

Rozwiąż równanie:

2𝑠𝑖𝑛²𝑥 − 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3 zamieniamy sinx z jedynki trygonometrycznej na cos x 2(1 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥) − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3 przenosimy wszystko na jedną stronę i porządkujemy

−2𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0 mamy równanie sprowadzalne do równania trygonometrycznego Podstawiamy: cos 𝑥 = 𝑡; 𝑡 ∈ 〈−1; 1〉

−2𝑡²− 3𝑡 − 1 = 0 ∆= 9 − 8 = 1 𝑡1=³⁻¹

−4 = −¹

2 ∨ 𝑡₁=³⁺¹

−4 = −1

𝑐𝑜𝑠𝑥 = −¹₂ ∨ cos 𝑥 = −1 𝑥 =^2𝜋

3 + 2𝜋𝑘 ∨ x= ⁴

3𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = −𝜋 + 2𝜋𝑘

Przykład 3.

Rozwiąż równanie:

𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +^𝜋₃) + 𝑐𝑜𝑠𝑥 =³₂ korzystamy ze wzorów str. 175 podręcznik 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠^𝛼+𝛽₂ 𝑐𝑜𝑠^𝛼−𝛽₂

2𝑐𝑜𝑠

𝜋 3+𝑥

2

𝑐𝑜𝑠

𝜋 3−𝑥 2

=

2

upraszczamy zapisy w ułamkach 2𝑐𝑜𝑠

𝜋 3 2

𝑐𝑜𝑠

𝜋 3 2

=

2

2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +

4

) 𝑐𝑜𝑠

6

=

2

wstawiamy wartość 𝑐𝑜𝑠

6

2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +

4

) ∙

2

=

2

upraszamy 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +

) =

2√3

𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +

4

) =

2

𝑥 +

=

6

+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥 +

= −

6

𝜋 + 2𝑘𝜋 𝑥 =

6

−

4

+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥 = −

4

−

6

𝜋 + 2𝑘𝜋

12𝜋 + 2𝑘𝜋

Praca własna:

Wykonaj po jednym przykładzie z zadania 3 str. 173;

zadania 1 str. 175;

zadania 2 str. 175.

Informacja zwrotna:

Spotkanie online na platformie Discord – 7.04.2020 o godz. 9.00 -9.45

Osoby, które się jeszcze nie logowały na platformie, proszę o kontakt przez komunikator na dzienniku w celu podania linku do logowania.

Przesłanie rozwiązanych zadań, pytań na adres matmaxmm121@gmail.com do 8.04.2020 r.

Opracowała Marzena Mrzygłód