Wyka», »e liczba

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

FINAŠ

25 kwietnia 2016 GIMNAZJUM

ZADANIE 1.

Wyka», »e liczba

2222 . . . 2

| {z }

2ncyfr 2

3333 . . . 3

| {z }

3ncyfr 3

4444 . . . 4

| {z }

4ncyfr 4

5555 . . . 5

| {z }

5ncyfr 5

jest podzielna przez 45 dla ka»dej liczby naturalnej n.

ZADANIE 2.

Rozwi¡» ukªad równa«



 

 

(x + y)(x + y + z) = 72 (y + z)(x + y + z) = 120 (x + z)(x + y + z) = 96.

ZADANIE 3.

W trapezie ABCD punkt S le»y na podstawie AB, punkt R le»y na podstawie CD. Odcinki DS i AR przecinaj¡ si¦ w punkcie K, a odcinki CS i BR przecinaj¡ si¦ w punkcie L. Wyka»,

»e suma pól trójk¡tów AKD i LBC jest równa polu czworok¡ta KSLR.

ZADANIE 4.

Na naª Ligi Matematycznej w dniu 25 kwietnia przyszªo 149 nalistów ze szkoªy podstawowej i gimnazjum. Ka»dy z nich u±ciskiem dªoni przywitaª ka»dego swego znajomego w±ród na- listów. Uzasadnij, »e istnieje nalista, który ma parzyst¡ liczb¦ znajomych w±ród nalistów.

ZADANIE 5.

Wyka», »e liczba czterocyfrowa, której cyfra tysi¦cy jest równa cyfrze dziesi¡tek, a cyfra setek

jest równa cyfrze jedno±ci, nie mo»e by¢ kwadratem liczby naturalnej.