Pokazać, że liczba surjekcji X → Y jest równa: (♯Y )!♯X ♯Y

Zestaw 10

Zadanie 1. Niech X, Y - dowolne skończone zbiory. Pokazać, że liczba surjekcji X → Y jest równa:

(♯Y )!♯X

♯Y

 , gdzie ♯X oznacza moc (liczbę elementów) zbioru X.

Zadanie 2. Pokazać, że dla dowolnego n ∈ N zachodzą następujące równości:

(1) X

k

(−1)^kn k



= [n = 0] − [n = 1].

(2)

n

X

k=0

kn k



= n!Hn.

Zadanie 3. Niech Bn oznacza n-tą liczbę Bella, z definicji równą liczbie podziałów n elementowego zbioru na niepuste podzbiory. Udowodnić, że:

Bn = 1 e

∞

X

k=0

kⁿ k!.

Wskazówka. Zapisać Bn jako sumę liczb Stirlinga. Skorzystać z (6.19), a następnie wykonać jedną z sum.

Zadanie 4. Udowodnić, że:

X

n≥1

Fn

2ⁿ = 2 , X

n≥1

nFn

2ⁿ = 10 .

Wskazówka: Wykorzystać postać funkcji tworzącej dla liczb Fibonacciego.

Zadanie 5. Udowodnić wzór (7.47):

X

0≤n

 n k



zⁿ= z^k

(1 − z)(1 − 2z) . . . (1 − kz). Wskazówka: Dla odpowiednio małego z mamy: _1−jz¹ = P

0≤m(jz)^m. Zatem prawa strona (7.47) jest równa:

z^k(1 + z + z²+ z³+ . . . )(1 + 2z + 4z²+ 8z³+ . . . ) . . . (1 + kz + k²z²+ k³z³+ . . . ).

Posługując się techniką kombinatoryczną pokazać, że współczynnik przy zⁿ w powyż- szym wyrażeniu jest równy n

k

 . Ponadto zadania: 6, 27 z rozdziału 6.