Zadanie 2. Wyka», »e ∀ x6=0 , e x > 1 + x + x2!2+ x3!3.

ANALIZA I 16 grudnia 2014 Semestr zimowy

Lista XV

Szereg Taylora Javier de Lucas Zadanie 1. Wyka», »e ∀ x6=0 , e ^x > 1 + x

Zadanie 2. Wyka», »e ∀ x6=0 , e ^x > 1 + x + ^x _2!

+ ^x _3!

.

Zadanie 3. Rozwi« wielomian f(x) = x ² − 5x + 6 : a) wokóª punktu x = 1, b) wokóª punktu x = −5.

Zadanie 4. Rozwi« za pomoc¡ wzoru Taylora w otoczeniu x 0 = 0 do n-tego stopnia wª¡cznie nast¦puj¡ce funkcje: e ^x , sin(x), cos(x), (1 + x) ^m , _1+x ¹ , √

1 + x , ^√ _1+x ¹

Zadanie 5. Rozwi« za pomoc¡ wzoru Taylora w otoczeniu x 0 = 0 do n-tego stopnia wª¡cznie nast¦puj¡ce funkcje: ln(x), ln(1 + x), arctg x, e

.

Zadanie 6. Napisa¢ rozwini¦cie funkcji e ^{sin x} do wyrazów z x ³ . Zadanie 7. Napisa¢ rozwini¦cie funkcji ln(cos x) do wyrazów z x ⁶ . Zadanie 8. Oblicz za pomoc¡ wzoru Taylora: lim x→0 sin x

ln(1+x) ,lim x→0 sin x x . Zadanie 9. Oblicz za pomoc¡ wzoru Taylora: lim x→0 x+ln( √

1+x

−x)

x

,

lim _{x→0 x} ³

− ^{cos x+2} _x

sin x

, lim x→0 (1 + x) ^{ln x}

Zadanie 10. Korzystaj¡c ze wzoru Taylora oblicz granice: lim x→0 cos x−cosh x+x

x

sin

x , lim x→

(tg(x)) ^tg(2x) .

1