MODELOWANIE DYNAMIKI PRZEDMIOTU TOCZONEGO Z PODTRZYMKĄ Z ZASTOSOWANIEM RECEPTANCJI LINIOWEJ

(1)

MODELOWANIE DYNAMIKI PRZEDMIOTU TOCZONEGO Z PODTRZYMKĄ

Z ZASTOSOWANIEM RECEPTANCJI LINIOWEJ

Marcin Jasiewicz

^1a

, Bartosz Powałka

^1b

1Instytut Technologii Mechanicznej, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

a marcin.jasiewicz@zut.edu.pl, ^bbartosz.powalka@zut.edu.pl

Streszczenie

W pracy zaprezentowano problematykę modelowania dynamiki przedmiotu toczonego z podtrzymką na potrzeby przewidywania stabilności obróbki. Dla rozpatrywanej tokarki można przyjąć, że właściwości dynamiczne wrzeciona i konika są niezmienne i mogą zostać określone doświadczalnie na podstawie wyników testu impulsowego. Zmienną w układzie OUPN (obrabiarka – uchwyt – przedmiot – narzędzie) jest zatem przedmiot obrabiany oraz ustawienie podtrzymki, co z kolei może zostać zamodelowane analitycznie. Wykorzystując tzw.

metodę receptancji liniowej, możliwe jest przeprowadzenie syntezy modeli doświadczalnych (wrzeciono i konik) oraz analitycznego (przedmiot z podtrzymką), dzięki czemu nie jest konieczne przeprowadzanie testu impulsowego dla całego układu OUPN. W pracy przedstawiono model analityczny przedmiotu toczonego z pod- trzymką oraz metodykę jego syntezy z modelami konika i wrzeciona. W podsumowaniu zaprezentowano wery- fikację doświadczalną przeprowadzonych obliczeń.

Słowa kluczowe: toczenie, podtrzymka, receptancja liniowa

MODELING THE DYNAMICS OF TURNED PARTS

WITH STEADY REST USING RECEPTANCE COUPLING

Summary

This paper presents the problem of modeling the dynamics of turned parts with steady rest for machining stability prediction. Dynamic properties of the spindle and tailstock are assumed to be constant and can be determined experimentally based on the results of the impact test. Hence, the variable of system “machine - handle – part – tool” is the machined part and steady rest setting, which can be modeled analytically. The method of receptance coupling enables the synthesis of experimental (spindle and tailstock) and analytical (machined part with steady rest) models, so impact testing of the entire system becomes unnecessary. The paper presents an analytical model of the machined parts with steady rest and methodology of its synthesis with the spindle and tailstock experimental models. In the summary the experimental verification of the calcula- tions is presented.

Keywords: turning, steady rest, receptance coupling

1. WSTĘP

Obróbka skrawaniem części charakteryzujących się wysoką podatnością jest trudna w realizacji ze względu na występujące drgania o wysokich amplitudach. Przy- kładem takiej obróbki może być toczenie wiotkich prętów, których wymiar średnicy jest znacznie mniej-

szy od długości. Toczenie takie realizowane jest zwykle z zastosowaniem podtrzymki (rys.1), której celem jest zapewnienie usztywnienia przedmiotu obrabianego tak, aby operacja toczenia przebiegała w warunkach stabil- nych.

(2)

Rys. 1 Toczenie z zastosowaniem podtrzymki Wyróżnić można dwa rodzaje podtrzymek: nieru- chome, podtrzymujące przedmiot obrabiany w stałym punkcie, oraz ruchome, poruszające się wraz z supor- tem narzędziowym w kierunku osi przedmiotu obrabianego. Aby obróbka była stabilna, dobór głębokości skrawania i prędkości obrotowej wrzeciona może być prowadzony z wykorzystaniem tzw. krzywych worko- wych [1], które zależą od właściwości dynamicznych układu OUPN (obrabiarka – uchwyt – przedmiot – narzędzie). Rozpatrując obróbkę z zastosowaniem podtrzymki ruchomej, zauważyć należy, że na właści- wości te oprócz geometrii i właściwości materiałowych przedmiotu obrabianego zasadniczy wpływ będzie miało położenie podtrzymki.

Eksperymentalne wyznaczanie właściwości dynamicznych układu dla każdego montowanego na tokarce przedmiotu, przy różnych położeniach podtrzymki, jest zbyt pracochłonne, oraz wymaga dysponowania odpowiednim sprzętem pomiarowym. Elementami układu, których właściwości dynamiczne można uznać za niezmienne podczas obróbki, są wrzeciono oraz konik i mogą one zostać określone eksperymentalnie (np. test impulsowy) lub analitycznie (np. na podstawie modelu MES). Przedmiot obrabiany z podtrzymką można natomiast potraktować jako belkę o przekroju koło- wym z dodatkową podporą sprężystą i właściwości dynamiczne określić analitycznie. Dysponując funkcjami przejścia dla wszystkich elementów układu, można przeprowadzić ich syntezę, wykorzystując metodę receptancji liniowej (ang. receptance coupling) [2].

W pozycjach literaturowych [2] – [5] synteza funkcji przejścia dokonywana jest na potrzeby wyznaczenia właściwości dynamicznych zespołu wrzeciono frezarskie – narzędzie. Rozpatrywane są układy o różnych stop- niach złożoności: w poz. [2] dodatkowo uwzględniano dynamikę połączeń, w [3] modelowano łożyskowanie wrzeciona natomiast autorzy [4] rozpatrują wrzeciono i uchwyt jako dwa komponenty. Elementy składowe układów modelowane są analitycznie (wrzeciono i narzędzie [3], uchwyt [4]), eksperymentalnie (wrzeciono i narzędzie [2], wrzeciono [4], [5]) lub z zastosowaniem metody elementów skończonych (narzędzie [5])

W niniejszej pracy metodę receptancji liniowej wyko- rzystano na potrzeby wyznaczenia właściwości dynamicznych układu tokarki, gdzie analitycznie modelowano przedmiot obrabiany z podtrzymką, natomiast eksperymentalnie wrzeciono i konik.

2. ELEMENTY UKŁADU OUPN

Poniżej przedstawiono metodykę wyznaczania funkcji przejścia poszczególnych elementów układu OUPN.

2.1. WRZECIONO

Właściwości dynamiczne wrzeciona nie ulegają zmianie podczas obróbki i mogą zostać określone m.in.

na podstawie modelu MES/SES lub eksperymentalnie, poprzez zarejestrowanie funkcji przejścia przy wykorzystaniu testu impulsowego. W rozpatrywanym przypadku przeprowadzono test impulsowy.

Oprócz wyznaczenia funkcji przejścia na kierunku X konieczne jest również zidentyfikowanie rotacyjnych funkcji przejścia [5] (rys.2), gdyż sposób zamocowania w uchwycie trójszczękowym, powoduje, że kąt obrotu wrzeciona i przedmiotu obrabianego w punkcie moco- wania jest taki sam.

Rys. 2. Wrzeciono tokarki

W postaci macierzowej zapisać można:

(1) gdzie:

x – przemieszczenia na kierunku x, φ – kąt obrotu względem początku układu współrzędnych, F – siła na kierunku x, M – moment względem początku układu współrzędnych, H –funkcje przejścia.

Rotacyjne funkcje przejścia mogą zostać wyzna- czone w sposób pośredni na podstawie testu impulsowego z zastosowaniem tzw. metody skończonych różnic pierwszego rzędu [6,7].

=

∙

(3)

Zakłada ona przeprowadzenie testu impulsowego w dwóch punktach rozmieszczonych w pewnej odległości oznaczonej s, co przedstawiono na rys. 3.

Rys. 3. Schemat wyznaczenia rotacyjnych funkcji przejścia Rejestrowane są odpowiednio funkcje przejścia HAA,

HAB HBA i HBB

(2)

Dokonując odpowiednich przekształceń, uzyskuje się składowe funkcje przejścia wrzeciona (3).

(3)

2.2. PRZEDMIOT OBRABIANY Z POD- TRZYMKĄ

Kolejnym elementem układu jest przedmiot obrabiany z podtrzymką.

Układ ten może zostać zamodelowany za pomocą belki swobodnej o przekroju kołowym, natomiast podtrzymka modelowana jest jako sprężysta podpora prze- suwająca się wraz z narzędziem skrawającym (rys. 4).

Rys. 4. Przedmiot obrabiany z podtrzymką - belka swobodna z podporą sprężystą

Rozważana belka jest uznana za swobodną, gdyż warunki brzegowe nakładane są na układ w trakcie jego syntezy i wynikają z właściwości wrzeciona oraz konika.Funkcja przejścia pomiędzy dwoma punktami belki z1 i z2 określona jest zależnością (4):

(4)

gdzie:

^௠− m-ta częstotliwość własna belki, – współczyn- nik tłumienia, – gęstość materiału belki, – pole przekroju belki, ^௠ – m-ta funkcja własna belki.

2.3. KONIK

Sposób podparcia przedmiotu obrabianego na kle konika powoduje, że w punkcie tym występują jedynie przemieszczenia translacyjne na kierunku x (rys. 5) – przemieszczenia rotacyjne przedmiotu i konika są nie- zależne.

Rys. 5. Konik tokarki

Właściwości dynamiczne konika będą zatem okre- ślone częstotliwościową funkcją przejścia (5) na kierun-

=∙ =∙

=

= =−

=− 2+

^௭ଵ௭ଶ() = ^௠^ଶ+^௠−^ଶ

^௠^ଶ ^௠^ଵ^௠^ଶ

ஶ

௠ୀଵ

^௠^ଶ= ^௠^ଶ

௟

଴

(4)

ku x, w rozpatrywanym przypadku wyznaczoną na podstawie wyników testu impulsowego.

(5)

3. RECEPTANCJA LINIOWA

Dysponując wszystkim niezbędnymi funkcjami przejścia, należy dokonać ich syntezy, wykorzystując metodę receptancji liniowej.

Rys. 6. Elementy składowe układu OUPN Każdy z elementów układu OUPN opisać można za pomocą macierzy, w lokalnych układach współrzęd- nych (6),(7),(8).

Wrzeciono:

(6) Przedmiot obrabiany z podtrzymką:

(7)

Konik:

(8)

Rys. 7. Układ po połączeniu

Dla układu po połączeniu (rys. 7) można zapisać relacje matematyczne, którym przyporządkowuje się współrzędne układu zsyntezowanego:

Warunki brzegowe:

(9) Warunki równowagi sił:

Uwzględniając relacje (9) i (10), można zapisać równa- nie macierzowe dla układu po połączeniu:

(11)

gdzie macierz transformacji (na którą składają się składowe funkcje przejścia wszystkich elementów ukła- du: wrzeciona, belki z podtrzymką i konika) przyjmuje postać:

(12)

4. WERYFIKACJA DOŚWIADCZALNA

Kolejnym etapem badań było przeprowadzenie weryfikacji doświadczalnej.

Rozpatrywano układ, w którym przedmiotem obra- bianym jest wałek o średnicy 35mm i długości 1300mm ( rys. 8). Na potrzeby weryfikacji zastosowano pod- trzymkę umieszczoną w odległości 600mm od początku układu współrzędnych, czyli od wrzeciona.

Rys. 8. Obiekt doświadczalny

Pierwszym krokiem było zarejestrowanie funkcji przejścia wrzeciona.

Zgodnie z założeniami przedstawionej wcześniej metody wyznaczania rotacyjnych funkcji przejścia (3) konieczne było przeprowadzenie testów impulsowych w dwóch punktach. W tym celu w uchwycie trójszczę- kowym wrzeciona zamocowano krótki pręt aluminiowy, pozwalający na wymuszenie młotkiem modalnym oraz rejestrowanie drgań w punkcie odległym od punktu znajdującego się na jednej ze szczęk wrzeciona (rys. 9).

^௪ଵ

^௪ଵ = ^௪ଵଵ ^௪ଵଶ

^௪ଶଵ ^௪ଶଶ ∙ ^௪ଵ^௪ଵ

^஻ଵ

^஻ଶ

^஻ଷ

^஻ସ

=

^஻ଵଵ ^஻ଵଶ ^஻ଵଷ

^஻ଶଵ ^஻ଶଶ ^஻ଶଷ

^஻ଷଵ ^஻ଷଶ ^஻ଷଷ

^஻ଵସ ^஻ଵହ

^஻ଶସ ^஻ଶହ

^஻ଷସ ^஻ଷହ

^஻ସଵ ^஻ସଶ ^஻ସଷ

^஻ହଵ ^஻ହଶ ^஻ହଷ ^஻ସସ ^஻ସହ

^஻ହସ ^஻ହହ

∙

^஻ଵ

^ଶ

^ଷ

^஻ସ

^௄ସ = ^௄ସ ∙ ^௄ସ

^௪ଵ=^஻ଵ=^ଵ

^஻ସ=^௄ସ=^ସ

^ଵ

^஻ଶ

^஻ଷ

^ସ

= ∙

^஻ଵଵ ^஻ଵଶ ^஻ଵଷ

^஻ଶଵ ^஻ଶଶ ^஻ଶଷ

^஻ଷଵ ^஻ଷଶ ^஻ଷଷ

^஻ଵସ ^஻ଵହ

^஻ଶସ ^஻ଶହ

^஻ଷସ ^஻ଷହ

^஻ସଵ ^஻ସଶ ^஻ସଷ

^஻ହଵ ^஻ହଶ ^஻ହଷ ^஻ସସ ^஻ସହ

^஻ହସ ^஻ହହ

∙

^ଵ

^ଶ

^ଷ

^ସ

=

1 +஻ଵଵ௪ଶଶ−஻ଵଶ௪ଵଶ

௪ଵଵ௪ଶଶ−௪ଵଶ௪ଶଵ

஻ଶଵ௪ଶଶ−஻ଶଶ௪ଵଶ

஻ସଵ௪ଶଶ−஻ସଶ௪ଵଶ

஻ହଵ௪ଶଶ−஻ହଶ௪ଵଶ

஻ଵଶ௪ଵଵ−஻ଵଵ௪ଵଶ

1 +஻ଵଵ௪ଶଶ−஻ଵଶ௪ଵଶ

஻ସଶ௪ଶଶ−஻ସଵ௪ଵଶ

஻ହଶ௪ଶଶ−஻ହଵ௪ଵଶ

0 0 ஻ଵହ

௄ସ

0 0 ஻ଶହ

௄ସ

1 0 ஻ଷହ

௄ସ

0 1 ஻ସହ

௄ସ

0 0 1 +஻ହହ

௄ସ ^ିଵ

௄ = ௄ ∙ ௄

+ =

(5)

Rys. 9. Test impulsowy wrzeciona Następnie zarejestrowano funkcję przejścia

Kolejno zamocowano przedmiot na tokarce, podtrzy kę umieszczono w odpowiednim punkcie.

Układ wymuszano w punkcie odległym o 10 cm od podtrzymki, po stronie konika – w miejscu gdzie zna dowałoby się narzędzie podczas obróbki.

Rys. 10. Test układu OUPN

5. WYNIKI BADAŃ

Poniżej przedstawiono wyniki weryfikacji doświa czalnej. Na rys. 11 i 12 przedstawiono porównanie postaci drgań układu zidentyfikowanej doświadczalnie oraz wyznaczonej analitycznie przy wykorzystaniu opisanej procedury.

Rys. 11. Postać drgań wyznaczona eksperymentalnie wrzeciona Następnie zarejestrowano funkcję przejścia konika.

Kolejno zamocowano przedmiot na tokarce, podtrzym- kę umieszczono w odpowiednim punkcie.

Układ wymuszano w punkcie odległym o 10 cm od w miejscu gdzie znaj- dowałoby się narzędzie podczas obróbki. (rys. 10)

. Test układu OUPN

Poniżej przedstawiono wyniki weryfikacji doświad- przedstawiono porównanie postaci drgań układu zidentyfikowanej doświadczalnie oraz wyznaczonej analitycznie przy wykorzystaniu

. Postać drgań wyznaczona eksperymentalnie

Rys. 12. Postać drgań wyznaczona

Porównanie funkcji przejścia w punkcie wymusz nia (przyłożenia narzędzia) zidentyfikowanej doświa czalnie oraz wyznaczonej analitycznie

rys. 13.

Rys. 13. Porównanie funkcji przejścia Widoczne są rozbieżności wyników częstotliwości różnice w tłumieniu

5. PODSUMOWANIE I WNIOSKI

Niewątpliwą zaletą przedstawionego podejścia wysoka efektywność – zmienna wyznaczana

tycznie, co przy możliwościach obliczeniowych wspó czesnych komputerów pozwala

na bieżąco. Ponadto należy zwrócić uwagę na wość zastosowania zaprezentowanej procedury w w runkach przemysłowych – dla analizowanej można określić właściwości dynamiczne jej kompone tów, natomiast element zmienny całego układu (przedmiot obrabiany) definiowany jest poprzez wpr wadzenie kilku podstawowych parametrów (geometria i właściwości materiałowe). Do zalet procedury należy również zaliczyć możliwość określeni

nego punktu układu, co rozwojowo pozwala wadzenie dodatkowych modyfikacji np. aktywnej po trzymki.

W powyższych rozważaniach rozpatrywano jedynie drgania na kierunku osi X, gdyż przy toczeniu prz mieszczenia na kierunkach Y i Z

wstaniu drgań samowzbudnych.

. Postać drgań wyznaczona analitycznie Porównanie funkcji przejścia w punkcie wymusze-

zidentyfikowanej doświad- czalnie oraz wyznaczonej analitycznie przedstawiono na

. Porównanie funkcji przejścia

rozbieżności wyników – różnica 10Hz różnice w tłumieniu.

PODSUMOWANIE I WNIOSKI

przedstawionego podejścia jest zmienna wyznaczana jest anali- przy możliwościach obliczeniowych współ- zmiany te obserwować . Ponadto należy zwrócić uwagę na możli-

zaprezentowanej procedury w wa- dla analizowanej tokarki można określić właściwości dynamiczne jej komponen-

ast element zmienny całego układu (przedmiot obrabiany) definiowany jest poprzez wprowadzenie kilku podstawowych parametrów (geometria i

. Do zalet procedury należy określenia dynamiki dowol- adu, co rozwojowo pozwala na wprowadzenie dodatkowych modyfikacji np. aktywnej pod-

W powyższych rozważaniach rozpatrywano jedynie X, gdyż przy toczeniu przemieszczenia na kierunkach Y i Z nie decydują o po-

zbudnych.

(6)

Zaprezentowane wyniki pokazują, że pewne elementy zaprezentowanej metody wymagają nieco innego podej- ścia.

Podstawową modyfikacją będzie zastąpienie modelowania podtrzymki jako podpory sprężystej poprzez wprowadzenie kolejnego komponentu określonego funk- cją przejścia (uzyskana eksperymentalnie lub modelo- wo). Modelowanie tylko jej sztywności okazuje się zbyt dużym uproszczeniem.

Kolejną modyfikacją byłoby inne podejście przy okre- ślaniu właściwości dynamicznych konika. Wzbudzanie realizowane było na nieruchomej części, co w rezultacie dało wyższą sztywność przedmiotu obrabianego w punkcie styku niż jest w rzeczywistości. Następny etap prac obejmował będzie wprowadzenie przedstawionych modyfikacji.

Literatura

1. Marchelek K.; Pajor M.; Powałka B.: Vibrostability of the milling process described by the time-variable parameter model. “Journal of Vibration and Control” 2002, 8.4, p. 467-479.

2. Matuszak M., Powałka B.: Wybrane problemy badawcze właściwości dynamicznych obrabiarki do mikro- skrawania. “Modelowanie Inżynierskie “ 2010 nr 39, s. 151-158.

3. Erturk A., Ozguven H.N., Budak E.: Analytical modeling of spindle–tool dynamics on machine tools using Timoshenko beam model and receptance coupling for the prediction of tool point FRF. “International Jour- nal of Machine Tools & Manufacture” 2006, 46, p. 1901–1912.

4. Schmitz T.L, Duncan G.S: Three-component receptance coupling substructure analysis for tool point dynamics prediction, “International Journal of Machine Tools and Manufacture” 2009 49/12-13/947–957.

5. Park S. S.; Altintas Y. Movahhedy M.: Receptance coupling for end mills. “International Journal of Machine Tools and Manufacture” 2003, 43.9, p. 889-896.

6. Duarte M. L. M.; Ewins D. J.: Rotational degrees of freedom for structural coupling analysis via finite- difference technique with residual compensation. “Mechanical Systems and Signal Processing” 2000, 14.2, p.

205-227.

7. Varoto P.S,, Lofarno M., Cicogna T. R., Oliveira L. P. R.: Moment mobility FRF measurement techniques, IMAC-XXIV Conference & Exposition on Structural Dynamics. St. Louis, Missouri, 2000.