1. Rozkłady empiryczne
UWAGA: Zadania 1.4.x pochodzą ze skryptu do wykładu ze Statystyki prof. W. Niemiro.
Zadanie 1.4.1 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu o dystrybuancie F . Oblicz E ˆF (x), V ar ˆF (x), Cov( ˆF (x), ˆF (y)).
Zadanie 1.4.2 Pokazać, że ciąg zmiennych losowychp(n)( ˆFn(x) − F (x)) jest zbieżny do rozkładu normalnego. Zidentyfikować parametry tego rozkładu.
Zadanie 3 Mając następujący szereg rozdzielczy punktowy:
xi 0 1 2 3 4 5 6 7
ni 78 164 160 101 52 23 8 2
oblicz średnią z próby, wariancję próbkową i medianę. Porównaj rozkład empiryczny z prawdopodobieństwami rozkładu Poiss(2). Wyznacz dystrybuantę empiryczną.
Zadanie 4 Czas oczekiwania na wizytę u specjalisty trzystu losowo wybranych pacjentów ma następujący rozkład empiryczny:
Czas oczekiwania w minutach 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25
Liczba pacjentów 46 66 70 68 50
a) jaki jest przeciętny czas oczekiwania na wizytę?
b) narysuj histogram,
c) oblicz odchylenie próbkowe, drugi moment centralny.
Zadanie 1.4.3 Pokazać, że zmienna losowa Xk:n ma dystrybuantę P (Xk:n ≤ x) =
n
X
i=k
n i
F (x)i(1 − F (x))n−i.
Zadanie 1.4.4 Pokaż, że jeśli zmienne losowe Xi mają gęstość f (x) = (d/dx)F (x), to k-ta statystyka pozycyjna ma gęstość
d
dxP (Xk:n ≤ x) = cn − 1 k − 1
f (x)F (x)k−1(1 − F (x))n−k.
Zadanie 1.4.5 Obliczyć EUk:n, gdzie Uk:n oznacza statystykę pozycyjną z rozkładu jed- nostajnego U (0, 1).
Zadanie 1.4.6 Załóżmy (dla uproszczenia, to nie jest istotne), że dystrybuanta F jest funkcją ciągłą i ściśle rosnącą, a zatem istnieje funkcja odwrotna F−1 :]0, 1[−→ R. Poka- zać, że jeśli U ∼ U (0, 1) to zmienna losowa X := F−1(U ) ma dystrybuantę F .
Zadanie 1.4.7 (Ciąg dalszy) Pokazać, że Xk:n= F−1(Uk:n).
1
Zadanie 1.4.8 Wskazać numer statystyki pozycyjnej, która jest p − tym kwantylem próbkowym. Która statystyka pozycyjna jest najmniejszym kwantylem (w sytuacji nie- jednoznaczności)? Która jest największym?
Zadanie 11 Rejestrujemy wiek pacjentów zgłaszających się na badania profilaktyczne w zakresie chorób nowotworowych. Zaobserwowano następujące wyniki: 27, 48, 27, 53, 51, 31, 58, 40, 66, 46, 29, 42, 41, 38, 25, 33, 46, 57, 33, 63. Dokonaj odpowiedniej agregacji danych i sporządź histogram. Opisz charakter histogramu, wartości wskaźników położenia i rozproszenia dla danych pogrupowanych.
Zadanie 12 Z partii bawełny pobrano próbk¸e złożon¸a z 64 włókien, a nast¸epnie zmie- rzono długości tych włókien (w mm). Otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki: 23, 8, 15, 35, 21, 20, 10, 4, 28, 12, 9, 7, 24, 25, 31, 26, 23, 17, 13, 33, 29, 27, 24, 22, 32, 16, 9, 29, 22, 20, 8, 16, 21, 25, 31, 29, 23, 15, 32, 22, 23, 19, 24, 15, 21, 20, 29, 27, 23, 19, 16, 18, 24, 31, 28, 21, 8, 17, 24, 13, 12, 18, 23, 25. Zbudować szereg rozdzielczy, przyjmując liczbę klas k = 8, a jako początek pierwszej klasy liczbę 3,5. Narysować histogram, tak dobierając skalę na osi pionowej, aby pole histogramu było równe 1.
Zadanie 1.4.9 Udowodnić następujące stwierdzenie z rachunku prawdopodobieństwa:
Jeżeli EXn −→ a i V arXn−→ 0, to Xn −→P a (a jest liczbą).
2
