par des produits de puissances de nombres alg´ ebriques

LXXIX.2 (1997)

Approximation simultan´ ee

par des produits de puissances de nombres alg´ ebriques

par

Michel Waldschmidt (Paris)

D´edi´e au Professeur J. W. S. Cassels

`a l’occasion de ses 75 ans

1. Introduction. Soit d un entier positif et soit Γ un sous-groupe de type fini de (C

)

. L’adh´erence de Γ pour la topologie complexe est un groupe de Lie r´eel et on s’int´eresse `a l’approximation de ses points par des ´el´ements de Γ . Dans ce texte on supposera que les coordonn´ees des

´el´ements de Γ sont des nombres alg´ebriques : Γ ⊂ (Q

)

, o` u Q est la clˆoture alg´ebrique de Q dans C. En prenant l’image inverse par l’application exponentielle, on se ram`ene `a l’´etude de l’approximation des points d’un sous-espace vectoriel r´eel de C

par des ´el´ements d’un sous-groupe additif Y , form´e de points dont les coordonn´ees sont des logarithmes de nombres alg´ebriques : Y ⊂ L

, o` u L d´esigne le Q-espace vectoriel form´e des loga- rithmes de nombres alg´ebriques :

L = exp

(Q

) = {λ ∈ C : e

∈ Q

}.

Commen¸cons par le cas r´eel. D’apr`es un r´esultat de Kronecker (voir par exemple [3], [7], th. 442, et [2], chap. 7, §1, n

3, corollaire 2 de la proposition 7), une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un sous-groupe de type fini Y de R

soit dense dans R

est que, pour toute forme lin´eaire non nulle ϕ : R

→ R, l’image ϕ(Y ) ait un rang ≥ 2 sur Z. Ainsi, en posant V = Ker ϕ, pour v´erifier que Y est dense il faut majorer le rang sur Z de Y ∩ V pour tout hyperplan V de R

.

Consid´erons maintenant un sous-groupe de type fini de C

. Un th´eor`eme de transcendance, le th´eor`eme du sous-groupe lin´eaire (cf. th´eor`eme 2.1 ci- dessous), permet de majorer la dimension du Q-espace vectoriel L

∩ V quand V est un hyperplan de C

dont l’intersection avec Q

est r´eduite

L’auteur a b´en´efici´e du soutien de la Japan Society for the Promotion of Science : bourse JSPS 96029.

[137]

`a {0}. Pour un hyperplan V de C

contenant un ´el´ement non nul de Q

, le Q-espace vectoriel L

∩ V est de dimension infinie. Aussi, Y ´etant un sous-groupe de type fini de L

, pour pouvoir majorer le rang de Y ∩ V pour tout hyperplan V de C

, on est amen´e `a introduire une hypoth`ese : il faut supposer que Y ne contient pas trop de points dans un mˆeme hyperplan rationnel sur Q.

D´ efinition. Un sous-groupe de type fini Y de C

poss`ede la propri´et´e (IL) si, pour tout sous-espace W de C

rationnel sur Q de dimension < d, on a Y ∩ W = {0}.

Si y

, . . . , y

est une base de Y sur Z, avec y

= (u

, . . . , u

), la pro- pri´et´e (IL) signifie que les coordonn´ees u

des y

satisfont la condition d’ind´ependance lin´eaire suivante :

• pour tout t = (t

, . . . , t

) ∈ Z

, t 6= (0, . . . , 0), et tout s = (s

, . . . , s

) ∈ Z

, s 6= (0, . . . , 0), on a

X

X

t

s

u

6= 0.

On pourrait affaiblir cette condition (IL), en imposant seulement une ma- joration au rang de Y ∩ W en fonction de la codimension de W dans C

(voir par exemple le §1.3 de [19]), mais cela alourdirait les ´enonc´es. Nous donnerons seulement un exemple dans cette direction (corollaire 2.4).

Quand les nombres u

sont tous r´eels, la propri´et´e (IL) s’´ecrit de ma- ni`ere ´equivalente sous la forme multiplicative suivante, avec α

= e

:

• pour tout t = (t

, . . . , t

) ∈ Z

, t 6= (0, . . . , 0), et tout s = (s

, . . . , s

) ∈ Z

, s 6= (0, . . . , 0), on a

Y

Y

α

6= 1.

Cela signifie que le sous-groupe Γ de G

(R) = (R

)

, engendr´e par γ

, . . . . . . , γ

, avec γ

= (α

, . . . , α

) (1 ≤ j ≤ l), qui est de rang l, poss`ede la propri´et´e suivante :

• pour tout sous-groupe alg´ebrique G

de G

de dimension < d, on a Γ ∩ G

(R) = {1}.

Quand les nombres u

ne sont pas tous r´eels, sous la condition (IL), on peut seulement majorer le rang de Γ ∩ G

(C) quand G

est un sous-groupe alg´ebrique de G

(cf. lemme 4.2).

La question de densit´e soul`eve, nous l’avons vu, un probl`eme d’irrationa-

lit´e. Nous consid`ererons aussi le probl`eme de transcendance qui lui est natu-

rellement associ´e. Plus g´en´eralement, nous d´eduirons le r´esultat suivant

d’une minoration (2.3) de la dimension du Q-espace vectoriel engendr´e par ϕ(Y ).

Th´ eor` eme 1.1. Soient Y = Zy

+ . . . + Zy

un sous-groupe de L

de rang l poss´edant la propri´et´e (IL) et ϕ : C

→ C une forme lin´eaire non nulle.

(a) Si l ≥ d

− d + 1, alors un au moins des l nombres ϕ(y

) (1 ≤ j ≤ l) n’est pas nul.

(b) Si l ≥ d

− d + 2, alors un au moins des l nombres ϕ(y

) (1 ≤ j ≤ l) est irrationnel.

(c) Si l ≥ d

+ 1, alors un au moins des l nombres ϕ(y

) (1 ≤ j ≤ l) est transcendant.

L’´enonc´e (a) s’´ecrit rang

(Y ∩ Ker ϕ) ≤ d

− d, ou encore rang

ϕ(Y ) ≥ l −d

+d. Il entraˆıne donc imm´ediatement (b). Cet ´enonc´e d’irrationalit´e (b) a ´et´e utilis´e par Damien Roy dans [14] pour d´emontrer le r´esultat suivant, r´epondant `a un probl`eme pos´e par Sansuc [15] :

• Soit k un corps de nombres de degr´e d = r

+ 2r

sur Q, o`u r

est le nombre de plongements de k dans R et 2r

le nombre de plongements non r´eels deux-`a-deux conjugu´es de k dans C. Il existe un sous-groupe de type fini de k

de rang r

+ r

+ 1 dont l’image par le plongement canonique k

→ (R

)

× (C

)

est dense.

Le th´eor`eme principal de ce texte (th´eor`eme 1.6) repr´esente une premi`ere

´etape vers un analogue quantitatif de ce r´esultat de densit´e de D. Roy.

Consid´erons maintenant un sous-groupe Y = Zy

+ . . . + Zy

de type fini et de rang l de R

. Choisissons une norme | · | sur R

. Si Y est dense, pour chaque ξ = (ξ

, . . . , ξ

) ∈ R

, la fonction

T 7→ min

t∈Z^l

|tj|≤T

|ξ − t

y

− . . . − t

y

|

tend vers 0 en d´ecroissant quand T tend vers l’infini. La “vitesse” de d´ecrois- sance de cette fonction donne une “mesure” de la densit´e de Y dans R

.

Deux outils nous permettront d’´etablir une telle estimation. Le premier est un lemme de transfert (que nous allons exposer dans le paragraphe 3), qui permet de ramener la question de densit´e effective `a une minoration de min

kϕ(y

)k, quand k · k d´esigne la distance `a l’entier le plus proche et ϕ : C

→ C est une forme lin´eaire non nulle. La minoration en question d´epend du maximum des coefficients de ϕ : pour ϕ(z) = ϑ

z

+ . . . + ϑ

z

, on posera

N(ϕ) = max

1≤i≤d

|ϑ

|.

Le second outil est donc un ´enonc´e d’approximation diophantienne, raf- finement quantitatif du th´eor`eme 1.1 qui fournit les estimations requises pour l’utilisation du lemme de transfert. Pour ´enoncer ces estimations nous introduisons les notations suivantes.

• Soient d, l deux entiers positifs et Y = Zy

+. . .+Zy

un sous-groupe de L

de rang l poss´edant la propri´et´e (IL). On ´ecrit y

= (u

, . . . , u

) (1 ≤ j ≤ l) et on pose α

= exp(u

) (1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ j ≤ l). Soit K un corps de nombres de degr´e D sur Q contenant les dl nombres α

. On d´esigne par A un nombre r´eel positif satisfaisant, pour 1 ≤ i ≤ d et 1 ≤ j ≤ l,

log A ≥ max{e/D, h(α

), (e/D)|u

|}.

Enfin soit ϕ : C

→ C une forme lin´eaire non nulle.

La version quantitative suivante de la partie (a) du th´eor`eme 1.1 sera

´etablie au paragraphe 4 :

Th´ eor` eme 1.2. On suppose d ≥ 2 et l ≥ d

− d + 1. Alors

1≤j≤l

max |ϕ(y

)| ≥ N(ϕ) exp{−c

(D log A)

}, avec

κ

= κ

(d, l) = dl

l − d

+ d et c

= c

(d, l) = d

l

.

On en d´eduira (´egalement au paragraphe 4) un raffinement quantitatif de la partie (b) du th´eor`eme 1.1 :

Corollaire 1.3. On pose N = max{1, N(ϕ)}. Si l ≥ d

− d + 2, alors

1≤j≤l

max kϕ(y

)k ≥ N(ϕ) exp{−c

N

}, avec

κ

= d(l − 1)

l − d

+ d − 1 et c

=

 c

(d, l − 1)d

(D log A)

si d ≥ 2, D log 2 + (D log A)

si d = 1.

Au paragraphe 5 nous d´emontrerons la version effective suivante de la partie (c) du th´eor`eme 1.1 :

Th´ eor` eme 1.4. Supposons d ≥ 1 et l ≥ d

+ 1. Soient β

, . . . , β

des

´el´ements de K, non tous nuls, et soit B ≥ e/D un nombre r´eel tel que log B ≥ max

1≤j≤l

h(β

).

Alors

1≤j≤l

max |ϕ(y

) − β

| ≥ exp{−c

(D log A)

(D log B)

}, avec

κ

= l

l − d

et c

=

 d

l

si d ≥ 2,

10

(l − 1)

si d = 1.

A titre de curiosit´e on d´eduira (au paragraphe 5) du cas particulier d = 1, l = 2 du th´eor`eme 1.4 une minoration d’une combinaison lin´eaire de deux logarithmes. Ce n’est pas la meilleure estimation connue (comparer notamment `a [9]), mais elle est cependant d´ej`a assez fine, vu le peu d’effort que nous avons consacr´e `a cet aspect de la question.

Corollaire 1.5. Soient λ

et λ

deux ´el´ements de L lin´eairement ind´e- pendants sur Q et soit β un nombre alg´ebrique. On pose α

= e

(j = 1, 2), et on d´esigne par D le degr´e du corps de nombres Q(α

, α

, β) sur Q. Soient A et B deux nombres r´eels positifs satisfaisant

A ≥ max{e/D, h(α

), h(α

), (e/D)|λ

|, (e/D)|λ

|}, B ≥ max{e/D, h(β)}.

Alors

|βλ

− λ

| ≥ exp{−10

D

(log A)

(log B)

}.

Voici maintenant le th´eor`eme principal de cet article, qui fournit un r´esultat effectif de densit´e concernant un groupe multiplicatif form´e de points

`a coordonn´ees alg´ebriques. On le d´eduira des th´eor`emes 1.2 et 1.4 dans le paragraphe 6.

Th´ eor` eme 1.6. Soient r

et r

des entiers ≥ 0 avec n = r

+ r

> 0.

On pose aussi d = r

+ 2r

. Soit Γ un sous-groupe de (R

)

× (C

)

, engendr´e par des ´el´ements (α

)

(j = 1, . . . , l). On suppose que pour tout a = (a

, . . . , a

) ∈ Z

, a 6= 0, et tout b = (b

, . . . , b

) ∈ Z

, b 6= 0, on a

Y

 Y

i=1

α

Y

α



6= 1.

(a) On suppose l ≥ d

− d + 2, et on pose θ

= 1

d − d − 1 l − 1 .

Il existe des constantes positives c

et c

, ne d´ependant que de d, l et des α

, poss´edant la propri´et´e suivante : pour tout ζ = (ζ

, . . . , ζ

) ∈ (R

)

× (C

)

, et pour tout T ≥ c

max{1, |log |ζ

||, . . . , |log |ζ

||}, le syst`eme d’in-

´equations

1≤j≤l

max |t

| ≤ T et max

1≤i≤n

|ζ

− α

. . . α

| ≤ c

(log T )

admet une solution (t

, . . . , t

) ∈ Z

.

(b) On suppose l > d

, et on pose θ

=

 (l − d

)/l si d ≥ 2,

1 si d = 1.

Alors la mˆeme conclusion vaut avec la borne

1≤i≤n

max |ζ

− α

. . . α

| ≤ exp{−c

(log T )

},

pour une constante c

qui ne d´epend que de d, l et des α

.

R e m a r q u e. La condition l ≥ d

−d+2 s’´ecrit aussi θ

> 0. L’estimation obtenue en (a) est assez faible, puisqu’elle s’´ecrit

1≤i≤n

max |ζ

− α

. . . α

| ≤ exp{−θ

log log T + log c

}.

Nous verrons d’ailleurs que pour d = 1 elle s’obtient `a partir de l’argument de Liouville (alors que pour d ≥ 2 elle n’est pas triviale). L’estimation obtenue en (b) est sensiblement meilleure : on ne peut pas esp´erer un exposant θ

sup´erieur `a 1.

Il semble raisonnable de conjecturer que, sous les hypoth`eses du th´eor`eme 1.6 avec l > d, la conclusion peut ˆetre remplac´ee par

(1.7) max

1≤i≤n

|ζ

− α

. . . α

| ≤ c

T

pour tout ε > 0, avec une constante c

ne d´ependant que de d, l, des α

et de ε. Un tel ´enonc´e serait optimal.

2. Transcendance sur les tores complexes. Voici une variante (th´eo- r`eme 2.1 de [20]) du th´eor`eme du sous-groupe lin´eaire. On en trouvera d’autres notamment dans [13]; voir aussi [4] et [21].

Th´ eor` eme 2.1 (th´eor`eme du sous-groupe lin´eaire). Soient d

et d

deux entiers ≥ 0 avec d

+ d

> 0. Soit V un sous-espace vectoriel de C

tel que

V ∩ (Q

× {0}

) = {0} et V ∩ ({0}

× Q

) = {0}.

Alors le Q-espace vectoriel V ∩ (Q

× L

) est de dimension finie major´ee par

dim

(V ∩ (Q

× L

)) ≤ d

(d

+ d

− 1).

Le corollaire suivant nous permettra d’´etablir le th´eor`eme 1.1.

Corollaire 2.2. Soit Y un sous-groupe de type fini de L

et soit ϕ : C

→ C une forme lin´eaire non nulle. On d´esigne par r la dimension du Q- espace vectoriel engendr´e par ϕ(Y ). Alors il existe un sous-espace vectoriel W de C

, de codimension d

≥ 1, rationnel sur Q, tel que

rang

(Y /Y ∩ W ) ≤ d

(d

+ r − 1).

D ´e m o n s t r a t i o n. Soit W le sous-espace vectoriel de C

sur C en-

gendr´e par Q

∩ Ker ϕ. C’est le plus grand sous-espace de C

, rationnel

sur Q, qui soit contenu dans Ker ϕ. On note d

la codimension de W dans

C

et on choisit d

´el´ements de Q

lin´eairement ind´ependants modulo W .

Leurs images par la surjection canonique C

→ C

/W donnent une base de

C

/W , ce qui fournit une surjection π : C

→ C

de noyau W v´erifiant

π(Q

) = Q

. Soit e ϕ : C

→ C la forme lin´eaire d´eduite par passage au

quotient de ϕ. Comme W a ´et´e choisi maximal, le noyau Ker e ϕ = π(Ker ϕ) de e ϕ ne contient pas d’´el´ement non nul de Q

. On ´ecrit

e

ϕ(z) = ϑ

z

+ . . . + ϑ

z

, z = (z

, . . . , z

) ∈ C

.

D’autre part, on choisit une base ξ

, . . . , ξ

du Q-espace vectoriel engendr´e par ϕ(Y ). On d´esigne d’abord par ψ l’homomorphisme de groupes addi- tifs de Y dans Q

qui envoie y ∈ Y sur les composantes de ϕ(y) dans la base ξ

, . . . , ξ

. On d´esigne ensuite par e Y l’image de Y dans C

par l’application y 7→ (ψ(y), π(y)). On d´esigne enfin par V l’hyperplan de C

d’´equation

ξ

z

+ . . . + ξ

z

= ϑ

z

+ . . . + ϑ

z

.

On a V ∩ (Q

× {0}

) = {0} car ξ

, . . . , ξ

sont lin´eairement ind´ependants sur Q, et V ∩ ({0}

× Q

) = {0} car V ∩ ({0}

× C

) = {0}

× Ker e ϕ. Par cons´equent, on peut appliquer le th´eor`eme 2.1 avec d

= r :

dim

(V ∩ (Q

× L

)) ≤ d

(d

+ r − 1).

On remarque pour terminer que e Y est un sous-groupe de C

qui satisfait rang

Y ≥ rang e

π(Y ) et Y ⊂ V ∩ (Q e

× L

),

donc

rang

(Y /Y ∩ W ) ≤ rang

Y ≤ dim e

(V ∩ (Q

× L

)) ≤ d

(d

+ r − 1).

D ´e m o n s t r a t i o n d u t h ´e o r `e m e 1.1. Sous les hypoth`eses du corol- laire 2.2, si le sous-groupe Y poss`ede la propri´et´e (IL), alors son rang l est born´e par

(2.3) l ≤ d(d + r − 1).

On obtient la partie (a) du th´eor`eme 1.1 en prenant r = 0 et la partie (c) en prenant r = 1.

R e m a r q u e. De la partie (a) du th´eor`eme 1.1 on d´eduit le th´eor`eme des six exponentielles de Lang et Ramachandra ([8], chap. II, §1, th. 1 et [10], p. 67). De mˆeme le th´eor`eme de Gel’fond–Schneider ([6], chap. III,

§2 et [17], chap. II, th. 14) r´esulte de la partie (c) du th´eor`eme 1.1. En

prenant d = 1 dans (2.3) on obtient la version homog`ene du th´eor`eme de

Baker [1], chap. 2, th. 2.1 : des ´el´ements Q-lin´eairement ind´ependants de L

sont Q-lin´eairement ind´ependants. Pour obtenir la version non homog`ene

de ce mˆeme th´eor`eme : toute combinaison lin´eaire non nulle d’´el´ements de

L `a coefficients alg´ebriques est transcendante, il faut faire intervenir des

d´erivations, ce que permet la version plus g´en´erale du th´eor`eme du sous-

groupe lin´eaire (th´eor`eme 4.1 de [21], ou bien les variantes de [13]). A ce

propos, on peut donner une d´emonstration “duale” du corollaire 2.2, util-

isant le groupe alg´ebrique G

, avec l = rang

Y , o` u on remplace les facteurs

G

par r d´erivations. Pour cela on consid`ere, dans l’espace tangent C

, le sous-groupe de rang d engendr´e par les vecteurs lignes de la matrice dont les vecteurs colonnes sont les composantes d’une base de Y sur Z. On con- sid`ere aussi le sous-espace vectoriel de C

, rationnel sur Q, de dimension r, engendr´e par les vecteurs lignes de la matrice dont les colonnes sont les com- posantes de ξ

, . . . , ξ

. Quand on se restreint `a la situation du corollaire 1.5, cette d´emonstration duale s’apparente `a la m´ethode de Gel’fond, tandis que celle que nous avons donn´ee est plus proche du point de vue de Schneider dans sa solution du septi`eme probl`eme de Hilbert.

En utilisant le th´eor`eme de Kronecker cit´e dans le premier paragraphe, on d´eduit du corollaire 2.2 le r´esultat de densit´e suivant :

Corollaire 2.4. Soit Y un sous-groupe de (L ∩ R)

. On suppose que pour tout entier d

≥ 1 et tout sous-espace vectoriel W de R

rationnel sur Q de codimension d

, on a

rang

(Y /Y ∩ W ) ≥ d

(d

− 1) + 2.

Alors Y est dense dans R

.

Dans ce corollaire 2.4, la condition sur le rang de Y /Y ∩ W n’est pro- bablement pas optimale, mais elle est naturelle : actuellement les m´ethodes de transcendance ne permettent pas d’´etablir la densit´e dans R

d’un sous- groupe contenu dans (L ∩ R)

de rang < d(d − 1) + 2, mˆeme s’il poss`ede la propri´et´e (IL).

D ´e m o n s t r a t i o n. Soit Y un sous-groupe de (L ∩ R)

qui n’est pas dense. D’apr`es le th´eor`eme de Kronecker, il existe une forme lin´eaire non nulle ϕ : R

→ R telle que ϕ(Y ) soit de rang < 2 sur Z. Si l est le rang de Y , alors celui l

du sous-groupe Y

= Y ∩ Ker ϕ v´erifie l

> l − 2. Le corollaire 2.2 avec r = 0 donne l’existence d’un sous-espace vectoriel W de C

, de codimension d

≥ 1, rationnel sur Q, tel que

rang

(Y

/Y

∩ W ) ≤ d

(d

− 1).

Alors on a

rang

(Y ∩ W ) ≥ rang

(Y

∩ W ) ≥ l

− d

(d

− 1) > l − d

(d

− 1) − 2, donc

rang

(Y /Y ∩ W ) < d

(d

− 1) − 2.

3. Lemme de transfert

(a) Une version quantitative du th´eor`eme de Kronecker . On va utiliser

une version quantitative d’un th´eor`eme de Kronecker. Rappelons d´ej`a la

version qualitative — voir [3]; voir aussi [23], chap. II, §4, ainsi que les

travaux de D. Roy [11] et [12] sur les sous-groupes minimaux. Soient m et

n deux entiers positifs, et soient ϑ

(1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ i ≤ m) des nombres r´eels. On pose

γ

= (ϑ

, . . . , ϑ

) ∈ R

(1 ≤ i ≤ m) et

δ

= (ϑ

, . . . , ϑ

) ∈ R

(1 ≤ j ≤ n).

Ainsi

Γ = Z

+ Zγ

+ . . . + Zγ

⊂ R

et ∆ = Z

+ Zδ

+ . . . + Zδ

⊂ R

sont les sous-groupes engendr´es par les vecteurs colonnes des matrices





1 . . . 0 ϑ

. . . ϑ

.. . . .. ... ... ... .. . 0 . . . 1 ϑ

. . . ϑ



 et





1 . . . 0 ϑ

. . . ϑ

.. . . .. ... .. . . .. .. . 0 . . . 1 ϑ

. . . ϑ



 .

D’apr`es Kronecker, Γ est dense dans R

si et seulement si ∆ est de rang n + m sur Z. Un lemme de transfert de Khinchine permet de pr´eciser ce r´esultat de la mani`ere suivante (comparer avec le lemme 5.1 de [18]).

Lemme 3.1. Soient ϑ

(1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ i ≤ m) des nombres r´eels, T et S des nombres r´eels positifs avec T > 1.

(i) On pose η = 2

((n+m)!)

et on suppose que pour tout (s

, . . . , s

)

∈ Z

\ {0} v´erifiant max

|s

| ≤ S, on a ks

δ

+ . . . + s

δ

k ≥ ηT

.

Alors pour tout ζ ∈ R

, il existe (t

, . . . , t

) ∈ Z

v´erifiant max

|t

|

≤ T , et tel que

kζ − t

γ

− . . . − t

γ

k ≤ ηS

.

(ii) On suppose que pour tout ζ ∈ R

, il existe (t

, . . . , t

) ∈ Z

v´erifiant max

|t

| ≤ T , et

kζ − t

γ

− . . . − t

γ

k ≤ 1 2(n + m)S .

Alors pour tout (s

, . . . , s

) ∈ Z

\ {0} v´erifiant max

|s

| ≤ S, on a ks

δ

+ . . . + s

δ

k ≥ 1

2(n + m)T . On a not´e k · k :

• la distance `a Z

dans l’hypoth`ese de (i) et dans la conclusion de (ii),

• la distance `a Z

dans l’hypoth`ese de (ii) et dans la conclusion de (i).

C’est surtout la partie (i) qui nous sera utile : elle ram`ene la question de densit´e effective `a un probl`eme d’approximation diophantienne homog`ene.

La partie (ii) montre qu’il y a en fait ´equivalence entre les deux questions,

`a des constantes explicites pr`es.

La d´emonstration du lemme 3.1 utilise un lemme de transfert de Khin- chine pour les formes lin´eaires L

, . . . , L

, M

, . . . , M

d´efinies par

L

(x) = X

ϑ

x

(1 ≤ j ≤ n) et M

(u) = X

ϑ

u

(1 ≤ i ≤ m).

Lemme 3.2. Soient C > 0 et X > 1 des nombres r´eels. Soit ζ = (ζ

, . . . , ζ

) ∈ R

.

(A) Une condition n´ecessaire pour qu’il existe t ∈ Z

v´erifiant

(3.3) max

1≤j≤n

kL

(t) − ζ

k ≤ C et max

1≤i≤m

|t

| ≤ X est que l’in´egalit´e

(3.4) ks

ζ

+ . . . + s

ζ

k ≤ γ max{X max

1≤i≤m

kM

(s)k; C max

1≤j≤n

|s

|}

soit satisfaite pour tout s ∈ Z

avec γ = m + n.

(B) Une condition suffisante pour qu’il existe t ∈ Z

v´erifiant (3.3) est que l’in´egalit´e (3.4) soit satisfaite pour tout s ∈ Z

avec γ = 1/(2η).

D ´e m o n s t r a t i o n. Ce lemme 3.2 n’est autre que le th´eor`eme XVII du chapitre V, §8 de [3].

D ´e m o n s t r a t i o n d u l e m m e 3.1. Pour d´emontrer l’assertion (i), on utilise la partie (B) du lemme 3.2, avec C = ηS

et X = T . Soit ζ ∈ R

. Comme on a (L

(t))

= t

γ

+ . . . + t

γ

dans R

, il suffit de v´erifier, pour tout s = (s

, . . . , s

) ∈ Z

,

ksζk ≤ 1

2η max{X max

1≤i≤m

kM

(s)k; C max

1≤j≤n

|s

|},

o` u sζ d´esigne le nombre r´eel s

ζ

+ . . . + s

ζ

. Cette in´egalit´e est vraie pour s = 0. Comme ksζk ≤ 1/2, elle est aussi trivialement v´erifi´ee pour les s ∈ Z

tels que max

|s

| > S. Il ne reste plus qu’`a consid´erer les s ∈ Z

pour lesquels 0 6= max

|s

| ≤ S, et pour ceux-l`a on applique l’hypoth`ese (i) qui donne

1≤i≤m

max kM

(s)k ≥ η/X.

Pour montrer (ii), on raisonne par l’absurde : supposons qu’il existe (s

, . . . , s

) ∈ Z

v´erifiant 0 < max

|s

| ≤ S et

ks

δ

+ . . . + s

δ

k < 1 2(n + m)T .

On choisit ζ ∈ R

tel que ksζk = 1/2, et on utilise la partie (A) du lemme 3.2, avec C = (2(n + m)S)

et X = T : il n’existe pas de (t

, . . . , t

) ∈ Z

v´erifiant max

|t

| ≤ T et

1≤j≤n

max kL

(t) − ζ

k ≤ C.

R e m a r q u e. Le th´eor`eme de Dirichlet ([3], chap. I, th. VI, [16], chap. 2, th. 1E) montre que pour tout S r´eel > 1, il existe (s

, . . . , s

) ∈ Z

v´erifiant 0 < max

|s

| ≤ S, et

ks

δ

+ . . . + s

δ

k ≤ S

.

Donc l’hypoth`ese de l’assertion (i) du lemme 3.1 ne peut pas ˆetre v´erifi´ee avec un nombre T inf´erieur `a ηS

. On v´erifie ´egalement, grˆace au principe des tiroirs, que pour tout entier T ≥ 1, il existe ζ ∈ R

tel que, pour tout (t

, . . . , t

) ∈ Z

v´erifiant max

|t

| ≤ T , on ait

kζ − t

γ

− . . . − t

γ

k ≥ 1

2 (2T + 1)

.

Par cons´equent, si l’hypoth`ese de la condition (ii) du lemme 3.1 est v´erifi´ee, alors

S ≤ 1

n + m (2T + 1)

.

Soient E un R-espace vectoriel norm´e de dimension n et soit Ω un r´eseau de E. On note E

= Hom

(E, R) l’espace vectoriel dual de E, et Ω

= {ϕ ∈ E

: ϕ(Ω) ⊂ Z} le r´eseau dual de Ω (cf. [2], chap. 7, §1, n

3). Il r´esulte du th´eor`eme de Kronecker qu’un sous-groupe de type fini Y de E contenant Ω est dense dans E si et seulement si, pour tout ϕ ∈ Ω

non nul, on a ϕ(Y ) 6⊂ Z. Nous allons donner une version quantitative de cet ´enonc´e. On fixe un entier m ≥ 1 et on pose encore η = 2

((n + m)!)

.

L’´enonc´e qui suit fait intervenir une fonction r´eelle de variable r´eelle F , d´efinie et continue sur un intervalle [S

, ∞) de R

, `a valeurs > 1/η. On suppose F strictement croissante et non born´ee : lim

F (S) = ∞. On d´esigne par F

la bijection r´eciproque de F , on pose T

= ηF (S

) et on d´efinit une fonction G, continue et croissante sur l’intervalle [T

, ∞) et `a valeurs r´eelles positives, par

G(T ) = F

(T /η) η P

j=1

|ω

| .

Lemme 3.5. Soient S

un nombre r´eel positif et F : [S

, ∞) → R

une fonction continue, strictement croissante, non born´ee, `a valeurs > 1/η.

Soient ω

, . . . , ω

des ´el´ements de Ω lin´eairement ind´ependants (sur Z ou sur R, c’est ´equivalent), et soient y

, . . . , y

des ´el´ements de E. On suppose que pour tout ϕ ∈ Ω

non nul, si on pose

S = max{|ϕ(ω

)|, . . . , |ϕ(ω

)|; S

}, on a

1≤i≤m

max kϕ(y

)k ≥ 1/F (S).

Alors pour tout x ∈ E et pour nombre r´eel T ≥ T

, il existe ω ∈ Ω et (t

, . . . , t

) ∈ Z

v´erifiant

max{|t

|, . . . , |t

|} ≤ T et |x − ω − t

y

− . . . − t

y

| ≤ 1/G(T ).

En posant ε

= S

η P

j=1

|ω

|, on peut ´ecrire la conclusion sous la forme suivante : pour tout x ∈ E et pour tout ε dans l’intervalle 0 < ε < ε

, il existe ω ∈ Ω et (t

, . . . , t

) ∈ Z

v´erifiant

|x − ω − t

y

− . . . − t

y

| ≤ ε avec

max{|t

|, . . . , |t

|} ≤ ηF (S), o`u S = ε

η X

|ω

|.

D ´e m o n s t r a t i o n. Pour d´emontrer le lemme 3.5, on ´ecrit y

, . . . , y

dans la base ω

, . . . , ω

de E : y

=

X

ϑ

ω

(1 ≤ i ≤ m).

On va utiliser la partie (i) du lemme 3.1. Soit S un nombre r´eel ≥ S

et soit s ∈ Z

v´erifiant 0 < max

|s

| ≤ S. On d´efinit ϕ ∈ Ω

par ϕ(ω

) = s

(1 ≤ j ≤ n). Alors

ϕ(y

) = X

ϑ

s

(1 ≤ i ≤ m).

On a par hypoth`ese

1≤i≤m

max

X

ϑ

s

≥ 1/F (S),

ce qui permet d’appliquer le lemme 3.1. Soit x ∈ E, soit T un nombre r´eel ≥ T

, et soit S le nombre r´eel d´efini par F (S) = T /η. On ´ecrit x = ζ

ω

+ . . . + ζ

ω

avec (ζ

, . . . , ζ

) ∈ R

. Alors il existe t ∈ Z

v´erifiant max

|t

| ≤ T et

1≤j≤n

max ζ

−

X

ϑ

t

≤ η/S.

Autrement dit, il existe a = (a

, . . . , a

) ∈ Z

tel que

1≤j≤n

max  

ζ

− a

− X

t

ϑ

 ≤ η/S.

On pose alors ω = a

ω

+ . . . + a

ω

et on utilise la relation η

S X

|ω

| = 1

G(T ) .

R e m a r q u e s. 1. Si l’hypoth`ese du lemme 3.5 est vraie pour une fonction F , alors elle est encore vraie pour toute fonction qui majore F . Ainsi il est quelquefois plus simple d’´enoncer la conclusion non pas pour la fonction G elle mˆeme, mais pour une fonction minorant G.

2. Plusieurs types de fonctions F interviendront.

• Le cas le plus favorable est celui o` u l’hypoth`ese est vraie avec F (S) = cS

pour S ≥ S

(o` u S

, c et κ sont trois constantes);

l’exposant κ est alors n´ecessairement ≥ n/m. Dans ce cas on a G(T ) = c

T

pour T ≥ T

avec θ = 1/κ et deux autres constantes T

et c

. En particulier on a θ ≤ m/n. Dans ces circonstances, le nombre θ + 1 est le coefficient de densit´e de [19], chap. I, §3; il est major´e par l/n, o` u l est le rang de Ω + Y sur Z. Le lemme 1.3.7 de [19] donne une majoration de ce coefficient introduisant des condi- tions alg´ebriques (comparer `a l’hypoth`ese du corollaire 2.4), et non diophantiennes, sur la r´epartition de Ω + Y dans R

.

• Si l’hypoth`ese du lemme 2.3 est satisfaite pour une fonction F (S) = exp{c(log S)

} avec κ ≥ 1, alors la conclusion est vraie pour une fonction G de la forme G(T ) = exp{c

(log T )

} pour T ≥ T

, avec θ = 1/κ.

• Enfin, dans les cas moins favorables, on aura seulement F (S) = exp(cS

), avec κ > 0, donc G(T ) = c

(log T )

avec θ = 1/κ.

(b) Variante r´eelle du lemme de transfert. Le lemme 3.5 est bien adapt´e au cas o` u l’espace r´eel ambiant contient un r´eseau apparaissant de fa¸con naturelle. Quand il n’y a pas de r´eseau naturel, on peut appliquer la variante suivante, dans laquelle | · | d´esigne la norme |x| = max

|x

| sur R

.

Lemme 3.6. Soient y

, . . . , y

des ´el´ements de R

, S

un nombre r´eel positif et F : [S

, ∞) → R

une fonction r´eelle de variable r´eelle, continue, croissante et non born´ee. On suppose que pour toute forme lin´eaire φ ∈ Hom

(R

, R) satisfaisant N(φ) ≥ S

, on a

1≤j≤l

max kφ(y

)k ≥ 1/F (S) avec S = N(φ).

Sous ces hypoth`eses il existe des constantes T

, C

et C

positives telles que, si on pose G(T ) = C

F

(C

T ) pour T ≥ T

, alors pour tout x ∈ R

et tout T ≥ T

(1 + |x|), le syst`eme d’in´equations

1≤j≤l

max |t

| ≤ T et |x − t

y

− . . . − t

y

| ≤ 1/G(T ) admet une solution t ∈ Z

.

D ´e m o n s t r a t i o n. Le sous-groupe Y = Zy

+ . . . + Zy

est dense dans

R

: en effet, l’hypoth`ese implique que pour tout ϕ ∈ Hom

(R

, R), ϕ 6= 0,

on a ϕ(Y ) 6⊂ Z. En particulier, {y

, . . . , y

} contient une base de R

. Il n’y

a donc pas de restriction `a supposer que y

, . . . , y

sont lin´eairement ind´ependants sur R. On pose m = l − n, ω

= y

(1 ≤ i ≤ n) et Ω = Zω

+ . . . + Zω

. Comme Ω

est un r´eseau de Hom

(R

, R), il existe un nombre r´eel c

> 0 tel que, pour tout ´el´ement non nul ϕ de Ω

, on ait N(ϕ) ≥ c

. Soit N

un entier positif v´erifiant N

≥ S

/c

.

On va utiliser le lemme 3.5. Pour en v´erifier l’hypoth`ese, on consid`ere un

´el´ement non nul ϕ de Ω

, et on pose φ = N

ϕ. Alors le nombre S := N(φ) = N

N(ϕ) satisfait S ≥ S

. On a aussi S ≤ c

max

|ϕ(ω

)|, avec une constante c

qui ne d´epend que de y

, . . . , y

. On pose encore e S

= c

S

, S = max{|ϕ(ω e

)|, . . . , |ϕ(ω

)|, e S

} et on d´efinit une fonction e F : [ e S

, ∞) → R

par e F ( e S) = N

F (c

S). Alors e

1≤j≤l

max kϕ(y

)k = N

max

1≤j≤l

kφ(y

)k ≥ 1

N

F (S) ≥ 1

N

F (c

S) e = 1 F ( e e S) . Les hypoth`eses du lemme 3.5 sont donc v´erifi´ees pour la fonction e F . Par cons´equent, il existe une constante c

≥ 1 telle que, pour tout T

≥ c

et tout x ∈ R

, il existe t ∈ Z

avec

1≤j≤m

max |t

| ≤ T

et |x − t

y

− . . . − t

y

| ≤ 1/ e G(T

), avec une fonction e G de la forme

G(T e

) = c

F e

(c

T

).

On majore max

|t

| par c

(T

+ |x|) et on pose T

= 2c

c

. Pour T ≥ T

(1 + |x|), on peut appliquer ce qui vient d’ˆetre d´emontr´e avec T

= T /2c

. On obtient ainsi le r´esultat annonc´e avec C

= c

et C

= c

/(2c

).

(c) Variante complexe du lemme de transfert. Soient r

et r

des entiers

≥ 0 avec (r

, r

) 6= (0, 0). On pose n = r

+ r

et d = r

+ 2r

. Pour ξ ∈ R

×C

on pose |ξ| = max

|ξ

|. On d´esigne enfin par z le complexe conjugu´e de z ∈ C.

L’´enonc´e suivant g´en´eralise le lemme 3.6 (qui correspond au cas r

= 0, n = d = r

); c’est un analogue quantitatif de la variante complexe du th´eor`eme de Kronecker de [22], th. 5.1 (voir aussi [23], chap. II, §6).

Pour σ = (σ

, . . . , σ

) ∈ R

× C

, on d´efinit ψ

: R

× C

→ R par ψ

(ξ) = σ

ξ

+ . . . + σ

ξ

+ σ

ξ

+ . . . + σ

ξ

.

Proposition 3.7. Soient y

, . . . , y

des ´el´ements de R

× C

et F : [S

, ∞) → R

une fonction r´eelle de variable r´eelle, continue, croissante et non born´ee. On suppose que, pour tout σ = (σ

, . . . , σ

) ∈ R

× C

v´erifiant

S := max{|σ

|, . . . , |σ

|} ≥ S

,

on a

1≤j≤l

max kψ

(y

)k ≥ 1/F (S).

Il existe des constantes T

, C

et C

positives poss´edant la propri´et´e sui- vante : si on pose G(T ) = C

F

(C

T ) pour T ≥ T

, alors pour tout ξ ∈ R

× C

et tout T ≥ T

(1 + |ξ|), le syst`eme d’in´equations

1≤j≤l

max |t

| ≤ T et |ξ − t

y

− . . . − t

y

| ≤ 1/G(T ) admet une solution t ∈ Z

.

D ´e m o n s t r a t i o n. On d´esigne par E l’espace vectoriel r´eel norm´e R

× C

. On d´efinit une application R-lin´eaire θ : E → R

× C

par θ(x, z) = (x, z, z) et un isomorphisme R-lin´eaire χ : E → R

par χ(x, z) = (x, <(z), =(z)). On d´efinit encore e y

= χ(y

) (1 ≤ j ≤ l). On va v´erifier l’hypoth`ese du lemme 3.6 (avec n remplac´e par d) pour le sous- groupe de R

engendr´e par e y

, . . . , e y

. Pour cela, soit φ une forme lin´eaire non nulle dans Hom

(R

, R). On d´esigne par (e

, . . . , e

) la base canonique de R

, on pose e σ

= φ(e

) (1 ≤ i ≤ d) et on d´efinit σ = (σ

, . . . , σ

) ∈ E par

σ

=

 e σ

pour 1 ≤ ν ≤ r

,

1

2

(e σ

− ie σ

) pour r

< ν ≤ n, de sorte que ψ

= φ ◦ χ.

L’hypoth`ese de la proposition 3.7 concernant max

kψ

(e y

)k per- met donc de v´erifier l’hypoth`ese correspondante du lemme 3.6 portant sur max

kφ(y

)k. On d´eduit du lemme 3.6 l’existence de constantes e C

, C

et T

telles que, si on pose e G(T ) = e C

F

(C

T ) pour T ≥ T

, alors pour tout ξ ∈ E et pour tout T ≥ T

(1 + |x|) avec x = χ(ξ), le syst`eme d’in´equations

1≤j≤l

max |t

| ≤ T et |x − t

y e

− . . . − t

y e

| ≤ 1/ e G(T ) admet une solution t ∈ Z

. On prend C

= e C

/ √

2, de sorte que G(T ) = G(T )/ e √

2, et on peut conclure, pour T ≥ T

(1 + |ξ|),

|ξ − t

y

− . . . − t

y

| ≤ √

2/ e G(T ) = 1/G(T ).

4. Approximation diophantienne sur les tores. Ce paragraphe est consacr´e `a la d´emonstration du th´eor`eme 1.2 et `a celle du corollaire 1.3.

Commen¸cons par une remarque concernant l’hypoth`ese d ≥ 2 du th´eo-

r`eme 1.2. Pour d = 1 on peut ´ecrire ϕ(z) = λz avec un nombre complexe

non nul λ de module N(ϕ). Comme l ≥ d

− d + 1 = 1 et que y

, . . . , y

sont

lin´eairement ind´ependants, on a y

6= 0 pour 1 ≤ j ≤ l. Posons α

= e

.

L’in´egalit´e de Liouville entraˆıne, pour 1 ≤ j ≤ l, soit α

= 1, soit |α

− 1| ≥

2(2e

)

. Comme y

6= 0, on en d´eduit |y

| ≥ (2e

)

, ce qui donne (4.1) |ϕ(y

)| ≥ N(ϕ)2

A

(1 ≤ j ≤ l).

Cette in´egalit´e est l´eg`erement moins pr´ecise que ce que donnerait le th´eor`eme 1.2 avec κ

= 1 et c

= l. C’est pourquoi nous avons suppos´e d ≥ 2. Si, pour d = 1, on impose A ≥ 2, alors la conclusion du th´eor`eme 1.2 est encore vraie avec κ

= κ

(1, l) = 1 et c

= c

(1, l) = 2.

Voici comment interviendra la condition (IL). Soit d un entier positif.

On d´esigne par G le groupe alg´ebrique G

et par exp

son application exponentielle. En identifiant l’espace tangent `a l’origine de G(C) `a C

, on

´ecrit

exp

: C

→ (C

)

, (z

, . . . , z

) 7→ (e

, . . . , e

).

Lemme 4.2. Soit Y un sous-groupe de type fini de C

poss´edant la pro- pri´et´e (IL). Si G

est un sous-groupe alg´ebrique connexe de G, distinct de G, tel que Y ∩ exp

(G

(C)) 6= {0}, alors la codimension de G

dans G est 1, et

rang

(Y ∩ exp

(G

(C))) ≤ 1.

R e m a r q u e. Notons Γ = exp

Y ⊂ (C

)

. L’image par exp

de Y ∩ exp

(G

(C)) est Γ ∩ G

(C), donc

rang

(Γ ∩ G

(C)) ≤ rang

(Y ∩ exp

(G

(C))).

En particulier, la condition Γ ∩ G

(C) 6= {1} entraˆıne Y ∩ exp

(G

(C)) 6= {0}.

D ´e m o n s t r a t i o n d u l e m m e 4.2. Les hypoth`eses du lemme 4.2 impliquent clairement d ≥ 2. On d´esigne par Ω = (2iπZ)

le noyau de exp

. Comme Y poss`ede la propri´et´e (IL), on a Y ∩ Ω = {0}. L’espace tangent `a l’origine de G

est un sous-espace de celui de G; on a identifi´e les points complexes du second `a C

; ceux du premier forment alors un sous-espace W de C

, rationnel sur Q, de dimension dim

W = dim G

. De plus, G

´etant connexe, on a exp

(G

(C)) = W + Ω.

Soit y ∈ Y ∩ (W + Ω) : il existe ω ∈ Ω tel que y + ω ∈ W . Alors y appartient `a W + Cω, qui est un sous-espace vectoriel de C

rationnel sur Q. Si G

est de codimension > 1 dans G, alors W + Cω 6= C

, donc y = 0. Si G

est de codimension 1 et si y

et y

sont deux ´el´ements de Y ∩ (W + Ω), on ´ecrit, pour j = 1 et j = 2,

y

+ ω

∈ W avec ω

∈ Ω.

Etant donn´e que W est rationnel sur Q, le Z-module Ω/Ω ∩ W est de

rang 1. Par cons´equent, il existe s = (s

, s

) ∈ Z

, s 6= (0, 0), tel que

s

ω

+ s

ω

∈ Ω ∩ W . Alors s

y

+ s

y

∈ Y ∩ W = {0}, et finalement

s

y

+ s

y

= 0.