1. Introduction. Il est bien connu qu’une fonction f sur R n est har- monique — ∆f = 0 — si et seulement si sa moyenne sur toute sph` ere est

VOL. LXVIII 1995 FASC. 2

MOYENNES SPH ´ ERIQUES

ET OP ´ ERATEUR DE HELMHOLTZ IT ´ ER ´ E

PAR

FRANCISCO JAVIER G O N Z ´ A L E Z V I E L I (LAUSANNE)

1. Introduction. Il est bien connu qu’une fonction f sur R ⁿ est har- monique — ∆f = 0 — si et seulement si sa moyenne sur toute sph` ere est

´

egale ` a sa valeur au centre de cette sph` ere.

De mani` ere semblable, f v´ erifie l’´ equation de Helmholtz ∆f + cf = 0 si et seulement si sa moyenne sur la sph` ere de centre x et de rayon r vaut Γ (n/2)(r √

c/2) ^(2−n)/2 J (n−2)/2 (r √

c) · f (x).

Dans ce travail, nous g´ en´ eralisons ces r´ esultats ` a l’op´ erateur (∆ + c) <sup>k</sup> o` u k est un entier strictement positif et c une constante non nulle. Bien qu’une m´ ethode pour y parvenir soit esquiss´ ee dans [CH] (pp. 286–289), il semble que les calculs explicites n´ ecessaires n’aient jamais ´ et´ e faits en toute g´ en´ eralit´ e pour cet op´ erateur (voir, pour le cas n = 3, [F], p. 87).

La formule de la moyenne ` a laquelle nous aboutissons permet de d´ emon- trer — r´ esultat cit´ e par Herz ([H], p. 711) — qu’une fonction born´ ee f dont le spectre est dans S <sup>n−1</sup> v´ erifie (∆ + 4π <sup>2</sup> ) <sup>k</sup> f = 0 o` u k = b(n + 1)/2c, et ceci sans utiliser Beurling–Pollard.

2. Notations. Dans R ⁿ (n ≥ 3) muni de la norme euclidienne k k, nous notons B(x, r) la boule ouverte de centre x et de rayon r, B ⁰ (x, r) son adh´ erence, S(x, r) la sph` ere de centre x et de rayon r, dσ r (y) l’´ el´ ement d’aire sur S(x, r). Si f est int´ egrable sur S(x, r) nous posons

M(f, x, r) = 1 ω n r ⁿ⁻¹

R

S(x,r)

f (y) dσ r (y) o` u ω n est l’aire de S ⁿ⁻¹ = S(0, 1) — i.e. ω n = 2π ^n/2 /Γ (n/2).

Nous d´ esignons par ∆ le laplacien usuel : P n

j=1 ∂ ² /∂x ² _j , et par ∆ ^k k it´ er´ es successifs de ∆, avec ∆ ⁰ = id.

Nous notons E ⁰ (R ⁿ ) l’ensemble des distributions ` a support compact dans R ⁿ ; si T en est une, sa transform´ ee de Fourier F T est la fonction (analytique) en x, T (y 7→ e ^−2πi(x|y) ) (voir [S]).

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 35J30; Secondary 42B10.

[207]

La fonction de Bessel de premi` ere esp` ece d’ordre ν est d´ efinie par (cf. [W]) J ν (z) =

∞

X

k=0

(−1) ^k k! Γ (1 + k + ν)

 z 2

 2k+ν

.

Le coefficient binomial ^m _r
est pos´e ´egal `a z´ero pour r < 0 ou r > m.

Le polynˆ ome [y] m en y de degr´ e m est d´ efini par [y] 0 = 1 et [y] m = y(y − 1) . . . (y − m + 1) pour m ≥ 1. Enfin, nous notons bxc la partie enti` ere du nombre r´ eel x.

3. D´ erivabilit´ e

D´ efinition 1. Soit U un ouvert de R ⁿ . Nous posons C _∆ ⁰ (U ) = C ⁰ (U );

puis, par r´ ecurrence, C _∆ ^2k (U ) = {f ∈ C ² (U ) | ∆f ∈ C _∆ ^2k−2 (U )} pour tout k ∈ N; et enfin C ∆ ^∞ (U ) = T

m∈N C _∆ ^2m (U ).

Propri´ et´ es.

C ^2k (U ) ⊂ C _∆ ^2k (U ) ⊃ C _∆ ^2k+2 (U ) ⊃ C _∆ ^∞ (U ) ⊃ C ^∞ (U ).

Supposons qu’une fonction f ∈ C ⁰ (U ) v´ erifie, pour toute boule B ⁰ (x, r)

⊂ U , une formule de la moyenne du type

(1) M(f, x, r) = ϕ(r)f (x)

o` u ϕ est une fonction analytique ne d´ ependant pas de x, avec ϕ(0) = 1.

Nous avons

R

S(x,r)

f (y) dσ r (y) = ω n r ⁿ⁻¹ ϕ(r)f (x), d’o` u

R

R

0

dr R

S(x,r)

f (y) dσ r (y) = f (x)

R

R

0

ω n r ⁿ⁻¹ ϕ(r) dr, c’est-` a-dire

(2) R

B(x,R)

f (z)dz = ψ(R)f (x)

pour toute boule B ⁰ (x, R) ⊂ U , avec ψ analytique non nulle.

On d´ emontre en d´ erivant que, r´ eciproquement, si (2) a lieu dans toute boule B ⁰ (x, R) ⊂ U , alors (1) est v´ erifi´ ee pour toute boule B ⁰ (x, r) dans U . Remarquons encore que, puisque les z´ eros de ψ sont isol´ es, il suffit de v´ erifier (2) hors de ceux-ci pour l’avoir partout, vu la continuit´ e en R de R

B(x,R) f (z) dz.

Si f est continue, la fonction x 7→ R

B(x,R) f (z) dz est continˆ ument d´ eri-

vable par rapport ` a la l <sup>e</sup> variable ([Vo], II, p. 150). D’apr` es (2) c’est donc

aussi le cas de f (x) et nous avons (mˆ eme r´ ef´ erence) ψ(R) ∂f

∂x l

(x) = ∂

∂x l

R

B(x,R)

f (z) dz = R

B(x,R)

∂f

∂z l

(z) dz.

Par induction il vient que si f∈C ⁰ (U )v´ erifie, pour toute boule B ⁰ (x, r)⊂U , M(f, x, r) = ϕ(r)f (x) o` u ϕ est analytique, avec ϕ(0) = 1, alors f est de classe C ^∞ sur U et ses d´ eriv´ ees de tous ordres v´ erifient cette mˆ eme formule de la moyenne.

Soient maintenant k ∈ N et f ∈ C ∆ ^2k (U ) qui v´ erifie, pour toute boule B ⁰ (x, r) ⊂ U , une formule de la moyenne du type

M(f, x, r) =

k

X

p=0

ϕ p (r)∆ ^p f (x)

o` u les ϕ p sont analytiques ind´ ependantes de x, ϕ 0 (0) = 1 et ϕ 1 (0) = . . . = ϕ k (0) = 0. Ainsi,

ϕ k (r)∆ ^k f (x) = M(f, x, r) −

k−1

X

p=0

ϕ p (r)∆ ^p f (x) et, comme plus haut, ceci ´ equivaut ` a

(3) ψ k (R)∆ ^k f (x) = R

B(x,R)

f (z) dz −

k−1

X

p=0

ψ p (R)∆ ^p f (x) pour toute boule B ⁰ (x, R) ⊂ U , avec ψ k analytique non nulle.

Puisque, par hypoth` ese, le membre de droite dans (3) est, comme fonc- tion de x, de classe C <sup>2</sup> , c’est aussi le cas du membre de gauche; d’o` u f ∈ C _∆ ^2k+2 (U ) et

ψ k (R)∆ ^k+1 f (x) = R

B(x,R)

∆f (z) dz −

k−1

X

p=0

ψ p (R)∆ ^p+1 f (x)

Par induction il vient que si f ∈ C _∆ ^2k (U ) v´ erifie, pour toute boule B ⁰ (x, r) ⊂ U , M(f, x, r) = P k

p=0 ϕ p (r)∆ ^p f (x) o` u ϕ 0 , . . . , ϕ k sont analytiques, avec ϕ 0 (0) = 1 et ϕ l (0) = 0 pour 1 ≤ l ≤ k, alors f ∈ C _∆ ^∞ (U ) et ∆ ^m f v´ erifie cette mˆ eme formule de la moyenne, quel que soit m ∈ N.

4. Moyennes sph´ eriques. Ce paragraphe ´ etant essentiellement une

g´ en´ eralisation ` a R ⁿ , n ≥ 3 quelconque, d’un travail de Pizetti en dimension 3

(cf. [P]), nous nous permettrons d’omettre le d´ etail des calculs, que le lecteur

int´ eress´ e pourra reconstruire ais´ ement.

Fixons-nous U un ouvert de R ⁿ , x ∈ U et R > 0 tel que B ⁰ (x, R) ⊂ U . Si f est une fonction C ² sur U , on obtient, en appliquant la formule de Green

R

Ω

(f · ∆g − g · ∆f ) dz = R

∂Ω

(f · ∂ ν g − g · ∂ ν f ) dσ

` a

g(z) = 1

kz − xk ⁿ⁻² − 1 R ⁿ⁻² et Ω = B(x, R) \ B ⁰ (x, δ) et en faisant δ → 0 + , l’identit´ e

(n − 2)ω n f (x) = n − 2 R ⁿ⁻¹

R

S(x,R)

f (y) dσ R (y)

+ R

B(x,R)

∆f (z)

 1

R ⁿ⁻² − 1

kz − xk ⁿ⁻²

 dz.

D’o` u

(4) M(f, x, R) = f (x) + 1 n − 2

R

R

0



% − % ⁿ⁻¹ R ⁿ⁻²



M(∆f, x, %) d%.

Ceci justifie l’introduction de la

D´ efinition 2. Si g est une fonction continue sur R + , nous notons (I m g) _m∈N la suite de fonctions continues sur R + d´ efinies par r´ ecurrence ainsi :

I ₀ g = g, I m g(t) = 1

n − 2

t

R

0



% − % ⁿ⁻¹ t ⁿ⁻²



I m−1 g(%) d% si m ≥ 1.

Nous notons encore en particulier I m = I m 1.

Propri´ et´ es. On a

I m (t) = Γ (n/2) m!Γ (m + n/2)

 t 2

 2m

, I _k (I l g) = I k+l g, I _m (g + h) = I m g + I m h,

|I _m g(t)| ≤ sup

0≤a≤t

|g(a)| · I _m (t).

On d´ emontre ais´ ement par r´ ecurrence ` a l’aide de la formule (4) la Proposition 1. Si f ∈ C ∆ ^2m+2 (U ) et B ⁰ (x, r) ⊂ U , alors

M(f, x, R) = Γ  n 2

 ^m X

j=0

∆ ^j f (x) j!Γ (j + n/2)

 R 2

 2j

+ I m+1 M(∆ ^m+1 f, x, %)(R).

Il en d´ ecoule, avec la majoration |M(g, x, %)| ≤ sup _y∈B

(x,r) |g(y)| si 0 ≤ % ≤ r :

Proposition 2. Si f ∈ C ∆ ^2m+2 (U ) et x ∈ U , alors

∆ ^m f (x) = lim

r→0

m!Γ (m + n/2) Γ (n/2)

×  2 r

 2m 

M(f, x, r) − Γ  n 2

 m−1

X

j=0

∆ ^j f (x) j!Γ (j + n/2)

 r 2

 2j  .

5. Calculs combinatoires. Soient k un entier ≥ 1 et c une constante non nulle. Supposons qu’une fonction u sur R ⁿ v´ erifie l’´ equation

(∆ + c) ^k u = 0, c’est-` a-dire

k

X

p=0

 k p



c ^k−p ∆ ^p u = 0.

Ainsi ∆ ^k u est combinaison lin´ eaire des ∆ ⁰ u, . . . , ∆ ^k−1 u :

∆ ^k u = −

k−1

X

p=0

 k p



c ^k−p ∆ ^p u.

Il en est bien sˆ ur de mˆ eme pour les ∆ ^k+l u avec l ≥ 0; posons donc

(5) ∆ ^k+l u = (−1) ^l+1

k−1

X

p=0

a(p, l)c ^k+l−p ∆ ^p u, les coefficients a(p, l) d´ ependant ´ egalement de k et de n.

Il d´ ecoule de l’´ equation (5) les formules suivantes : a(p, 0) =  k

p



pour 0 ≤ p ≤ k − 1, a(0, l + 1) = a(k − 1, l) pour l ≥ 0, a(p, l + 1) =  k

p



a(k − 1, l) − a(p − 1, l) pour 1 ≤ p ≤ k − 1 et l ≥ 0, qui d´ eterminent enti` erement les coefficients a(p, l).

En calculant quelques termes a(p, l) pour k = 2, 3, 4 et 0 ≤ l ≤ 4, on remarque que a(0, l) = ^k+l−1 _k−1
; `a partir de cette hypoth`ese il vient, pour tous l ≥ 0 et 1 ≤ p ≤ k − 1,

(6) a(p, l) =

p

X

r=0

(−1) ^r

 k p − r

 k + l − 1 − r k − 1



et il suffit, pour v´ erifier la validit´ e de cette formule, de constater que l’identit´ e a(0, l + 1) = a(k − 1, l), qui s’´ ecrit maintenant

 k + l k − 1



=

k−1

X

r=0

(−1) ^r

 k

k − 1 − r

 k + l − 1 − r k − 1

 , d´ ecoule, par exemple, de l’identit´ e (5a), p. 6 de [R].

Nous voulons maintenant ´ etudier la s´ erie indiqu´ ee par la proposition 1 :

∞

X

j=0

1 j!Γ (j + n/2)

 R 2

 2j

∆ ^j u,

en la r´ eduisant ` a une combinaison lin´ eaire de ∆ ⁰ u, . . . , ∆ ^k−1 u. Pour cela transformons le terme

∞

X

j=k

1 j!Γ (j + n/2)

 R 2

 2j

∆ ^j u

=

∞

X

j=k

1 j!Γ (j + n/2)

 R 2

 2j



(−1) ^j−k+1

k−1

X

p=0

a(p, j − k)c ^j−p ∆ ^p u 

=

k−1

X

p=0

(−1) ^−k+1 c ^−p

 ∞

X

j=k

(−1) ^j a(p, j − k) j!Γ (j + n/2)

 R √ c 2

 2j 

∆ ^p u

= (−1) ^k−1  R √ c 2

 −ν

×

k−1

X

p=0

c ^−p

 ∞

X

j=k

(−1) ^j a(p, j − k) j!Γ (1 + j + ν)

 R √ c 2

 2j+ν 

∆ ^p u

o` u nous notons ν = (n − 2)/2.

Comme

(7) a(p, x − k) =

p

X

r=0

(−1) ^r

 k p − r

 [x − 1 − r] k−1

(k − 1)! ,

a(p, x − k) est un polynˆ ome en x de degr´ e k − 1 (ceci implique la convergence absolue et uniforme sur tout compact — en z — des s´ eries

∞

X

j=k

(−1) ^j a(p, j − k) j!Γ (1 + j + ν)

 z √ c 2

 2j+ν

pour p = 0, . . . , k − 1). Nous pouvons donc d´ efinir des coefficients b(p, m)

pour 0 ≤ p, m ≤ k − 1 par

(8) a(p, x − k) =

k−1

X

m=0

b(p, m)[x + ν] m . Alors

∞

X

j=k

(−1) ^j a(p, j − k) j!Γ (1 + j + ν)

 R √ c 2

 2j+ν

=

∞

X

j=k

(−1) ^j j!

P k−1

m=0 b(p, m)[j + ν] m

Γ (1 + j + ν)

 R √ c 2

 2j+ν

=

k−1

X

m=0

b(p, m)

∞

X

j=k

(−1) ^j j!Γ (1 + j + ν − m)

 R √ c 2

 2j+ν

=

k−1

X

m=0

b(p, m)  R √ c 2

 m

×



J ν−m (R √ c) −

k−1

X

j=0

(−1) ^j j!Γ (1 + j + ν − m)

 R √ c 2

 2j+ν−m 

=

k−1

X

m=0

b(p, m)  R √ c 2

 m

J ν−m (R √ c)

−

k−1

X

j=0

(−1) ^j j!

 R √ c 2

 2j+ν k−1

X

m=0

b(p, m) Γ (1 + j + ν − m)

=

k−1

X

m=0

b(p, m)  R √ c 2

 m

J ν−m (R √ c) −

k−1

X

j=0

(−1) ^j a(p, j − k) j!Γ (1 + j + ν)

 R √ c 2

 2j+ν

. Les coefficients a(p, l) n’ont d’abord ´ et´ e d´ efinis que pour l ≥ 0, mais la formule (7) permet de les g´ en´ eraliser ` a l < 0, justifiant la derni` ere expression ci-dessus. Un calcul dans quelques cas permettra au lecteur de soup¸ conner que, pour tous 0 ≤ p, r ≤ k − 1,

a(p, r − k) = (−1) ^r−k+1 δ p,r ,

ce qui devient ´ evident si l’on consid` ere la signification de la formule (5) pour −k ≤ l < 0, les ∆ ⁰ u, . . . , ∆ ^k−1 u ayant ´ et´ e implicitement suppos´ ees lin´ eairement ind´ ependantes.

Remarquons que ceci implique l’identit´ e, pour 0 ≤ p ≤ k − 1,

(9) a(p, x − k) = 1

p!(k − 1 − p)!

[x] k

(x − p) ,

puisque ce sont l` a deux polynˆ omes de degr´ e k − 1 prenant la mˆ eme valeur aux points 0, . . . , k − 1. En particulier, en comparant le coefficient dominant de a(p, x − k) dans (9) et (8) nous obtenons

(10) b(p, k − 1) = 1

p!(k − 1 − p)! = 1 (k − 1)!

 k − 1 p

 . Nous avons donc

∞

X

j=k

(−1) ^j a(p, j − k) j!Γ (1 + j + ν)

 R √ c 2

 2j+ν

=

k−1

X

m=0

b(p, m)  R √ c 2

 m

J ν−m (R √

c) − (−1) ^1−k 1 p!Γ (1 + p + ν)

 R √ c 2

 2p+ν

. Par cons´ equent,

∞

X

j=k

1 j!Γ (j + n/2)

 R 2

 2j

∆ ^j u

= (−1) ^k−1  R √ c 2

 −ν k−1

X

p=0

c ^−p

 ^k−1 X

m=0

b(p, m)  R √ c 2

 m

J ν−m (R √ c)



∆ ^p u

−  R √ c 2

 −ν k−1

X

p=0

c ^−p 1

p!Γ (1 + p + ν)

 R √ c 2

 2p+ν

∆ ^p u.

D’o` u enfin la formule (11)

∞

X

j=0

1 j!Γ (j + n/2)

 R 2

 2j

∆ ^j u

= (−1) ^k−1

k−1

X

m=0

 R √ c 2

 m−ν

J ν−m (R √ c)  ^k−1 X

p=0

b(p, m)c ^−p ∆ ^p u  .

6. R´ esultats

Th´ eor` eme. Soient U un ouvert de R ⁿ , k un entier ≥ 1, u une fonction de C ⁰ (U ) et c une constante non nulle.

(i) Supposons u ∈ C _∆ ^2k−2 (U ). Si , pour tout x ∈ U , il existe r 0 = r 0 (x) > 0 avec B ⁰ (x, r 0 ) ⊂ U tel que, quel que soit 0 < r ≤ r 0 ,

M(u, x, r) = Γ (n/2)(−1) ^k−1

×

k−1

X

m=0

 r √ c 2

 m−ν

J ν−m (r √ c)  ^k−1 X

p=0

b k (p, m)c ^−p ∆ ^p u(x) 

,

alors (∆ + c) ^k u = 0 sur U .

(ii) R´ eciproquement , si (∆ + c) ^k u = 0 sur U , alors la formule de la moyenne ci-dessus est v´ erifi´ ee pour tous x ∈ U et r > 0 avec B ⁰ (x, r) ⊂ U .

R e m a r q u e. Les coefficients b k (p, m) sont d´ efinis, pour 0 ≤ p, m ≤ k − 1, par

k−1

X

m=0

b k (p, m)[x + ν] m = 1 p!(k − 1 − p)!

[x] k

(x − p) et ν = n − 2 2 . P r e u v e d u T h ´ e o r ` e m e. Supposons d’abord que, pour tout x ∈ U , il existe r 0 > 0 avec B ⁰ (x, r 0 ) ⊂ U tel que, quel que soit 0 < r ≤ r 0 , la formule de la moyenne ´ enonc´ ee en (i) soit v´ erifi´ ee. Alors, vu le paragraphe 3, u ∈ C _∆ ^∞ (U ) et, utilisant la proposition 2, nous avons

∆ ^k u(x) = lim

r→0

−

k−1

X

p=0

A(p, r) · ∆ ^p u(x) o` u

A(p, r)

= k!Γ

 k + n

2

 2 r

 2k

×



(−1) ^k c ^−p

 ^k−1 X

m=0

b(p, m)  r √ c 2

 m−ν

J ν−m (r √ c)



+ 1

p!Γ (p + n/2)

 r 2

 2p 

= k!Γ

 k + n

2

 2 r

 2k

×



(−1) ^k c ^−p

∞

X

j=0

(−1) ^j a(p, j − k) j!Γ (1 + j + ν)

 r √ c 2

 2j

+ 1

p!Γ (p + n/2)

 r 2

 2p 

(voir calculs apr` es la formule (8)).

La s´ erie d´ efinissant A(p, r) ´ etant uniform´ ement convergente dans B ⁰ (0, r 0 ), nous trouvons

r→0 lim

A(p, r)

= k!Γ

 k + n

2



(−1) ^k c ^−p

∞

X

j=k+1

(−c) ^j a(p, j − k) j!Γ (1 + j + ν) lim

r→0

 r 2

 2j−2k 

+ lim

r→0

k!Γ

 k + n

2



(−1) ^k c ^−p

k−1

X

j=0

(−c) ^j a(p, j − k) j!Γ (1 + j + ν) 1  r

2

 2j−2k

+ 1

p!Γ (p + n/2)

 r 2

 2p−2k 

+ lim

r→0

k!Γ

 k + n

2



(−1) ^k c ^k−p (−1) ^k a(p, 0) k!Γ (1 + k + ν)

= 0 + 0 + c ^k−p  k p

 ,

parce que a(p, j − k) = (−1) ^j−k+1 δ p,j si 0 ≤ j ≤ k − 1 et a(p, 0) = ^k _p
.

Bref,

∆ ^k u(x) = −

k−1

X

p=0

c ^k−p  k p



∆ ^p u(x);

d’o` u (∆ + c) ^k u(x) = 0 et (i) est ´ etabli.

Supposons ensuite que (∆ +c) ^k u = 0 sur U . Comme l’op´ erateur (∆ +c) ^k est hypoelliptique, u est C ^∞ sur U (cf. [S], p. 143); par le paragraphe 5 nous savons que la s´ erie

∞

X

j=0

1 j!Γ (j + n/2)

 r 2

 2j

∆ ^j u(x)

converge uniform´ ement sur tout compact et vaut, d’apr` es (11), (−1) ^k−1

k−1

X

m=0

 r √ c 2

 m−ν

J ν−m (r √ c)  ^k−1 X

p=0

b(p, m)c ^−p ∆ ^p u(x)  . La proposition 1 appliqu´ ee ` a u et ` a B ⁰ (x, r) ⊂ U donne

M(u, x, r) = Γ  n 2

 ^m X

j=0

1 j!Γ (j + n/2)

 r 2

 2j

∆ ^j u(x) + I m+1 M(∆ ^m+1 u, x, %)(r).

De plus,

|I _m+1 M(∆ ^m+1 u, x, %)(r)|

≤ Γ (n/2)

(m + 1)!Γ (m + 1 + n/2)

 r 2

 2m+2

sup

y∈B

(x,r)

|∆ ^m+1 u(y)|

≤ Γ (n/2)

(m + 1)!Γ (m + 1 + n/2)

 r 2

 2m+2

×

k−1

X

p=0

|a(p, m + 1 − k)c ^m+1−p | sup

y∈B

(x,r)

|∆ ^p u(y)|;

comme les s´ eries

∞

X

j=0

(−1) ^j a(p, j − k) j!Γ (1 + j + ν)

 r √ c 2

 2j

, p = 0, . . . , k − 1,

convergent absolument et uniform´ ement sur tout compact, nous en d´ edui- sons que

m→∞ lim I _m+1 M(∆ ^m+1 u, x, %)(r) = 0.

La conclusion suit.

R e m a r q u e. Une autre m´ ethode pour obtenir ce r´ esultat consisterait

`

a calculer l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi´ ee par la fonction radiale r 7→ M(u, x, r), puis ` a l’int´ egrer (cf., pour k = 1, [FH], prop. II.3, p. 25; voir aussi [Va] dans ce mˆ eme cercle d’id´ ees).

Corollaire 1. Soit T ∈ E ⁰ (R ⁿ ) une distribution ` a support dans S <sup>n−1</sup> . Notons τ = F T et prenons k un entier ≥ 1. La fonction τ v´ erifie sur tout R <sup>n</sup> l’´ equation (∆ + 4π <sup>2</sup> ) <sup>k</sup> τ = 0 si et seulement si , quel que soit x ∈ R <sup>n</sup> , M(τ, x, r) = O(r <sup>k−(n+1)/2</sup> ) ` a l’infini.

P r e u v e. La condition M(τ, x, r) = O(r ^k−(n+1)/2 ) ` a l’infini est n´ eces- saire d’apr` es la partie (ii) du th´ eor` eme et parce que J µ (t) = O(t <sup>−1/2</sup> ) ` a l’infini pour tous µ ∈ ¹ ₂ Z (cf. [W], p. 199).

Montrons qu’elle est suffisante. Nous savons d´ ej` a qu’il existe l ∈ N tel que (∆ + 4π <sup>2</sup> ) <sup>l</sup> τ = 0 sur tout R <sup>n</sup> (voir [S], pp. 128 et 284). Si l est inf´ erieur ou ´ egal ` a k, il n’y a rien ` a ´ etablir. Supposons donc l > k. Vu le th´ eor` eme, partie (ii),

M(τ, x, r) = Γ (n/2)(−1) ^l−1

×

l−1

X

m=0

 r √ c 2

 m−ν

J ν−m (r √ c)

 X ^l−1

p=0

b l (p, m)c ^−p ∆ ^p τ (x)



pour tous x ∈ R ⁿ , r > 0, o` u c = 4π ² . Comme

 r √ c 2

 l−1−ν

J ν−l+1 (r √

c) = O(r l−1−(n−2)/2−1/2 ) = O(r ^l−(n+1)/2 ), l’hypoth` ese entraˆıne

l−1

X

p=0

b l (p, l − 1)c ^−p ∆ ^p τ (x) = 0, c’est-` a-dire (voir (10))

l−1

X

p=0

1 (l − 1)!

 l − 1 p



c ^−p ∆ ^p τ (x) = 0 ou encore, pour tous x ∈ R ⁿ ,

(4π ² ) ^1−l

(l − 1)! (∆ + 4π ² ) ^l−1 τ (x) = 0.

En proc´ edant par induction, on montre que (∆ + 4π ² ) ^k τ = 0.

Corollaire 2. Soit f ∈ L ^∞ (R ⁿ ) avec spec f ⊂ S ⁿ⁻¹ . Alors (∆ + 4π ² ) ^k f = 0 sur tout R ⁿ , o` u k = b(n + 1)/2c.

P r e u v e. Comme le spectre de f est inclus dans S ⁿ⁻¹ , f est la trans- form´ ee de Fourier d’une distribution ` a support dans S <sup>n−1</sup> . Parce que f est born´ ee, M(f, x, r) = O(1) pour tous x ∈ R <sup>n</sup> , r > 0. Soit l ∈ N minimal pour lequel (∆ + 4π <sup>2</sup> ) <sup>l</sup> f = 0 , c’est-` a-dire, vu le corollaire 1, minimal pour lequel M(f, x, r) = O(r ^l−(n+1)/2 ) ` a l’infini; nous devons avoir l − (n + 1)/2 ≤ 0, i.e. l ≤ b(n + 1)/2c.

BIBLIOGRAPHIE

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[H] C. S. H e r z, Spectral synthesis for the circle, Ann. of Math. 68 (1958), 709–712.

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[R] J. R i o r d a n, Combinatorial Identities, Wiley, New York, 1968.

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INSTITUT DE MATH ´ EMATIQUES UNIVERSIT ´ E DE LAUSANNE 1015 LAUSANNE, SWITZERLAND

Re¸ cu par la R´ edaction le 13.4.1994