Niech v b¦dzie nietrywialn¡ waluacj¡ dyskretn¡ na ciele K, O v to pier±cie«

Pier±cienie Dedekinda, Lista 11

Niech v b¦dzie nietrywialn¡ waluacj¡ dyskretn¡ na ciele K, O v to pier±cie«

waluacji v, m v maksymalny ideaª w O v oraz k v := O _v /m _v .

1. Udowodni¢, »e O v jest zwarty (gdy k v jest sko«czone) i K nie jest zwarte.

2. Udowodni¢, »e jesli v 1 , . . . , v _n s¡ waluacjami dyskretnymi na K, to pier±cie« O v

∩ . . . ∩ O _v

jest PID.

3. Niech (a n ) n∈N b¦dzie ci¡giem elementów z K. Udowodni¢, »e:

(a) Ci¡g (a n ) n∈N jest ci¡giem Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy a _n+1 − a _n → 0 .

(b) Ci¡g ( P _m

n=1 a n ) m∈N jest ci¡giem Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy a n → 0 .

4. Niech v b¦dzie waluacj¡ p-adyczn¡ na Q. Udowodni¢, »e {0, 1, . . . , p−1}

jest zbiorem reprezentantów (F p w Z (p) ).

5. Udowodni¢, »e Q _p = {

X ∞ n=r

a _n p ⁿ | r ∈ Z, a _n ∈ {0, 1, . . . , p − 1}}.

6. Zaªó»my, »e char(k v ) = p > 0 , a, b ∈ O v i v(a−b) > n > 0. Udowodni¢,

»e dla k ∈ N mamy v(a ^p

− b ^p

) > n + k .

7. Zaªó»my, »e K jest zupeªne i |k v | = q . Udowodni¢, »e:

(a) Pierwiastek pierwotny z 1 stopnia q − 1 nale»y do K.

(b) Zbiór

{a ∈ K | a = 0 lub a ^q−1 = 1}

jest zbiorem reprezentantów (k v w O v ).

8. Udowodni¢, »e je±li pierwiastek pierwotny z 1 stopnia n nale»y do Q p i p - n , to n|p − 1.

1