1
Wykład I Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa nie dziwi tylko
tych, którzy jej nie rozumieją
Niels Bohr1 Zalecany podręcznik: L. Schiff, Mechanika kwantowa,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1977
Kwantowe odkrycia i Stara teoria kwantów
Stała Plancka2 (1900) - uniwersalna stała fizyczna o wymiarze działania
Js 10 63 .
6 ⋅ −34
=
h ,
π 2
≡ h
h
Wprowadzona dla opisania uniwersalnego charakteru widma promieniowania ciała doskonale czarnego, które zależy tylko od temperatury T ciała, nie zależy zaś od własności materiału, kształtu ciała itp.
Widmo promieniowania
dv
I(ν) ilość energii wyemitowana w zakresie częstotliwości (ν,ν +dν)
z jednostki powierzchni, w jednostce czasu, w jednostkowy kąt bryłowy,
1 exp
1 ) 2
( 2
3
−
=
T k c h
I h
B
ν
ν ν ,
c – prędkość świtała, kB – stała Boltzmanna
Argument wymiarowy pokazuje, że uniwersalny charakter widma
promieniowania ciała doskonale czarnego wymaga istnienia stałej Plancka!
1 Niels Bohr 1885-1962
2 Max Planck 1858-1947
2
Wykład I cd. Mechanika kwantowa
Dualizm korpuskularno-falowy
• Albert Einstein3 (1905): fala elektromagnetyczna o częstotliwości ν
(częstości ω) jest zbiorem cząstek – fotonów – o energii E =hν (E=hω), pędzie p=hν /c (p=hω/c) i zerowej masie.
• Louis de Broglie4 (1924): z cząstka o pędzie p stowarzyszona jest fala materii o długości
p
= h λ . Długość fali fotonu
p c = h
= ν
λ 1 zgadza się z hipotezą Broglie.
Efekt fotoelektryczny
Prąd elektryczny pojawia się powyżej pewnej minimalnej częstotliwości światła νmin nie- zależnie od jego intensywności. Energia fotonu
νmin
h równa jest pracy potrzebnej do wyrwania elektronu z katody.
Efekt Comptona5 (1922)
Długość fali promieniowania Roentgena zwiększa się przy przechodzeniu przez materię. Dzieje się tak na skutek rozpraszanie fotonów na elektronach. Jeśli przyjąć, że elektron początkowo spoczywa to Eγ >Eγ', a co z tym idzie λ <λ'.
3 Albert Einstein 1879 – 1955
4 Louis de Broglie 1892 – 1987
5 Artur Holly Compton 1892 – 1962
3
Wykład I cd. Mechanika kwantowa
Model Bohra atom wodoru (1913)
Na orbicie stacjonarnej (elektron nie promieniuje) moment pędu elektronu jest (całkowitą) wielokrotnością h, a siła elektrostatycznego przyciągania jest równoważona przez siłę odśrodkową bezwładności. Zakładamy dalej, że orbita jest okręgiem o promieniu r i oraz że środek masy pokrywa się z położeniem protonu (gdyż masa elektronu m jest dużo mniejsza od masy protonu). Wtedy mamy:
moment pędu:
mr n n
n mr
L h
K
h, 1,2,3 v
v= = ⇒ =
=
warunek równowagi sił:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
v v
me r n mr e
n r
e mr m n r
m e r
e r
m h h h
⇒ =
⇒ =
=
⇒
⇒ =
=
Argument wymiarowy pokazuje, że określone rozmiary atomów wymagają istnienia stałej Plancka!
Energia kinetyczna: 2 2
4 2
2
2 2 2
v
n h me r e T =m = =
Energia potencjalna: 2 2
4 2
n h me r
V =−e =−
Energia całkowita: 2 2 2
4
2 n
R n
V me T
En = + =− =−
h , energia jest skwantowana!
MeV 6 . 2 2 13
4
=
≡ h
R me – stała Rydberga6
Jeśli elektron znajduje się na orbicie n’ i przechodzi na niższą orbitę n (n'>n), to wyemitowany foton ma energię:
−
=
−
= ' 2 2
' 1 1
n R n
E E Eν n n
Częstotliwość (częstość) promieniowania:
−
= 2 2
' '
1 1
n n h R
νnn
−
= 2 2
' '
1 1
n n R
nn h
ω
=1
n - seria Lymana7, n=2 - seria Balmera8, n=3 - seria Paschena9
6 Johannes Rydberg 1854-1919
7 Theodore Lyman 1874-1954
8 Johann Jakob Balmer 1825-1898
9 Louis Karl Heinrich Friedrich Paschen 1865-1947
4
Wykład I cd. Mechanika kwantowa
Dygresja
Wprowadzanie sił bezwładności często budzi kontrowersje, warto więc pokazać, że równanie równowagi mv2/r=e2/r2 można łatwo wyprowadzić nie odwołując się do pojęcia sił bezwładności. Rozpatrując ruch pod działaniem siły Coulomba po okręgu o ustalonym promieniu r znajdującym się w płaszczyźnie x-y, mamy dwa newtonowskie równania ruchu
−
=
−
= r y y e m
r x x e m
3 2 3 2
&
&
&
&
znak minus wynika z faktu, że siła jest przyciągająca
Wprowadzając współrzędne biegunowe (r,ϕ), współrzędne kartezjańskie równe są ϕ
cos r
x= i y=rsinϕ, a równania ruchu przyjmują postać
=
−
= +
⇒
−
=
−
−
−
= +
−
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
sin cos
sin
cos sin
cos sin
) cos sin
(
cos )
sin (cos
3 2 2
3 2 2
2 2 2
2 2 2
mr e mr
e
r m e
r mr e
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
Mnożąc pierwsze równanie przez sinϕ, a drugie przez cosϕ i odejmując stronami od pierwszego równania drugie, dostajemy ϕ&&=0, co oznacza, że ruch po okręgu odbywa się ze stała prędkością kątową ϕ& .
Mnożąc pierwsze równanie przez cosϕ, a drugie przez sinϕ i dodając równania stronami, dostajemy
2 2 2 2
2 2 3
2
2 v
r e r m r
mr e mr
e ⇒ = ⇒ =
= ϕ
ϕ& & ,
gdzie zostało uwzględnione, że v=rϕ&.
Zasada nieoznaczoności Heisenberga10 (1926)
W świecie kwantowym są pary wielkości zwane sprzężonymi, takie jak np.
składowa x położenia cząstki i pęd px tej cząstki, które nie mogą być znane jednocześnie z dowolnie wysoką dokładnością, lecz spełniają warunek
gdzie ∆x≡ x2 − x 2 , ∆px ≡ p2x − px 2 są odchyleniami standardowymi od wartości średnich x i px . Im lepiej mierzymy x, tym gorzej znamy px i odwrotnie, im dokładniejszy jest pomiar px tym gorsza jest znajomość x.
10 Werner Heisenberg 1901-1976
